生活中的數(shù)學問題與教學中數(shù)學意識的培養(yǎng)

甘肅省酒泉市第二中學 楊 瑛

在抽象的意義下，一切科學都是數(shù)學。在數(shù)學教學過程中，如何培養(yǎng)學生良好的數(shù)學意識與利用數(shù)學知識解決實際問題是終極目標；在學生學習數(shù)學的過程中，學生具備數(shù)學意識，構(gòu)建數(shù)學模型，建立數(shù)學思維方法，以數(shù)學的視角看問題、解決問題，從而以最優(yōu)的方法解決問題并創(chuàng)新是最高境界。

初中數(shù)學的教學目標指出：在培養(yǎng)學生的數(shù)學意識方面要求“逐漸掌握以數(shù)學的觀點看問題、解決問題，綜合應用數(shù)學理論解決實際問題，提高創(chuàng)新意識，增強理論聯(lián)系實際的能力。”同時，在我們的日常生活中，像儲蓄、債券、保險、購物、決策更是生活中不可避免的現(xiàn)實問題，都需要數(shù)學知識來解決。而由于數(shù)學應用意識，屬于意識范疇，處于隱形狀態(tài)，在應試教育的當下，極易被忽視。而在教材的編排上，卻處處體現(xiàn)了數(shù)學應用意識的培養(yǎng)要求和有意識的應用數(shù)學知識去解決實際問題的內(nèi)容。

一、解決數(shù)學問題，建立數(shù)學意識

【實例一】北京師范大學版數(shù)學，初二下學期二單元，一元方程組，第五節(jié)“不等式與一次函數(shù)”一節(jié)例題：東方傳媒公司計劃在國慶期間組織員工去胡楊林旅游，參與旅游的人數(shù)共有20 人。目前接觸的A,B 兩個旅行服務社的服務內(nèi)容基本相同，服務價格均為200 元/人。經(jīng)過協(xié)商，A 旅行服務社可以提供的七五折的折扣價格，B 旅行服務社給予八折的折扣，并且可以省去其中一人的所有費用，問這個單位選擇哪家這次旅行的花費最少，成本最低？這樣的數(shù)學應用問題，文字敘述較長，沒有明確給出求什么，用什么知識解決，學生感到比較難。盡管學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)與一元一次不等式，但想不到用二者聯(lián)合起來去解決問題，缺乏應用數(shù)學知識的意識。換種問法，把此問題細化成明確的數(shù)學問答，如：（1）設支付的費用為y，參與活動的人數(shù)是x，分別寫出A，B 兩個旅行社所支付的成本y 與總?cè)藬?shù)x之間的數(shù)學函數(shù)關(guān)系式；（2）參加旅游的人數(shù)在什么范圍內(nèi)選A 旅行社費用低于B 旅行社？（3）參加旅游的人數(shù)在什么范圍內(nèi)選B 旅行社費用低于A 旅行社？（4）會不會出現(xiàn)兩家費用相同的情況？問題細化后，學生會從總費用隨著人數(shù)的變化而變化，想到函數(shù)的思想，從而想到一次函數(shù)的增減性，寫出兩家旅行社與人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合一元一次不等式求解。解答過程：

設該單位參與活動的總?cè)藬?shù)為x，選擇A 社進行服務時，所需的成本是y1元，選擇B 社時，所需的成本是y2元，則：

y1=200×0.75x，即y1=150x，

y2=200×0.8（x-1），即y2=160x-160，

由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16，

由y1＞y2，得150x＞160x-160，解得x＜16，

由y1＜y2得150x＜160x-160，解得x＞16。

通過這樣的實例，不僅使學生明白了解決此類問題的數(shù)學方法，而且學生把生活中遇到的實際問題與相應的數(shù)學模型連接起來，建立了數(shù)學意識與思維，提高了同學們的學習能力。

二、解決實際問題，發(fā)展數(shù)學意識

【實例二】北師大版九年級數(shù)學上冊第四章《圖形的相似》第六節(jié)，利用三角形相似測高。根據(jù)旗桿的高度，綜合運用三角形相似的判定定理和相似三角形的定義解決問題，發(fā)展應用意識。

1．通過影子計算旗桿的高度，如圖1

圖1

計算過程：教師讓一個學生在旗桿前站立，陽光照射到學生與旗桿時地上形成影子，測量兩段影子BE 與BD 的長度，如圖2。

圖2

∵光線是平行入射的，∴AE ∥CB，∴∠AEB ＝∠CBD，

經(jīng)過推算得出：通過兩段影子的長度BE 與DB 以及人的高度AB，我們利用方程得出CD 的長度，即旗桿的高度。

2．利用標桿測量旗桿的高度

計算過程：教師讓一名同學參與解題，教師在學生與旗桿間插入一根標準桿，桿的長度預先已經(jīng)測量完畢，教師要求學生不斷移動位置，保證學生的眼睛、旗桿與標桿的頂端三者在同一直線上，這時老師測量學生腳分別與標桿、旗桿之間的位移，根據(jù)標準桿的長度以及兩個位移量，計算出旗桿的長度。如圖3。

圖3

如圖3，過點A 作AN ⊥DC 于N，交EF 于M。

提示：∵學生、標準桿與旗桿都是與水平面垂直的，∴∠ABF＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°，

∴學生、標準桿、旗桿是相互平行的。

∵EF ∥CN，∴∠1 ＝∠2，∵∠3 ＝∠3，

∵學生與標準桿的位移、學生與旗桿的位移，標準桿與學生高度差異EM 都是已知量，

∴能求出CN，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四邊形ABND 所組成的圖形為矩形。

∴DN ＝AB，∴能求出旗桿CD 的高度。

3．利用鏡面反射求解旗桿的高度

操作方法：仍然是讓一名同學參與，這次學生與旗桿之間垂直放一面鏡子，要求學生移動自己的位置，直到學生在鏡子里面可以看見旗桿的頂端。這時老師測量出學生與鏡子的位移以及旗桿與鏡子之間的位移，以此計算出旗桿的高度。

圖4

∵反射角=入射角，∴∠CED ＝∠AEB，∵學生、旗桿直立于地面，90 度垂直，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴

經(jīng)過測量學生、旗桿與反射鏡子之間的位移，已知學生的身高，就可以利用方程求出旗桿的高度CD。

初中數(shù)學教材中編排的實際問題實踐活動探索課，往往由于受條件的限制與應試教育的影響，而被老師忽視或者略過。其實，實踐活動課是以問題為載體，學生自己動手參與探索求知的過程，是數(shù)學知識活化的過程，也是積累數(shù)學活動經(jīng)驗，達到培養(yǎng)學生遇到實際問題要有數(shù)學意識的關(guān)鍵。

三、遇到問題，思維意識數(shù)學化

培養(yǎng)學生有意識地利用數(shù)學概念、理念和意識去解決日常實踐過程中的問題。同學們在平時的生活中經(jīng)常碰到一些需要用數(shù)學知識來描述的現(xiàn)象。當遇到這樣的一些現(xiàn)象時，學生若有一定的應用數(shù)學的意識，善于從數(shù)學的角度，利用數(shù)學思維去表達與理解這些現(xiàn)象，就會開啟數(shù)學奧秘的大門。

例如，在各類比賽活動中，評委人數(shù)一般是奇數(shù)，并且最后得分總是去掉一個最高分與一個最低分，然后求其他數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這樣做的原因是什么？學生學習了數(shù)據(jù)的分析與整理，了解了平均數(shù)，中位數(shù)等知識后，就能有意識地去運用這些知識去分析這一現(xiàn)象，并能給出合理的解釋，實際上就是體現(xiàn)了應用數(shù)學的意識。再解決“在兩個汽車站之間，怎樣設加油站的位置，使得到兩個汽車站的距離最小”這樣的問題時，同學們就會在腦海中浮現(xiàn)，關(guān)于最短路問題的數(shù)學理論。在學生的思維模式中滲透數(shù)學意識，使學生建立起應用數(shù)學知識解決問題的數(shù)學意識，學數(shù)學，用數(shù)學的目的自然就達到了。

數(shù)學思維是通過數(shù)學的視角，以數(shù)學的觀點來探索生活中與數(shù)字、空間幾何有關(guān)的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)問題以及人們的心理活動與思想意識上的反映。在數(shù)學課的教學中，要抓住教材這一載體，滲透建立激發(fā)學生的數(shù)學意識。