“冪的運算”章節起始課
——《8.1 同底數冪的乘法》教學設計

江蘇省南京市南京三中文昌初中 董 潔

【教學目標】

1.通過類比學習，明確本章學習的主線，體會學習同底數冪乘法運算的必要性。

2.理解同底數冪的乘法法則的意義，會正確運用法則進行計算。

3.感受并運用從特殊到一般、從具體到抽象等數學思想方法，發現并歸納同底數冪的乘法法則。經歷“觀察、探索、猜想、驗證、概括”的過程，進一步發展符號意識，培養觀察、發現和有條理地進行語言表達的能力以及演繹推理的能力。

設計意圖：第八章“冪的運算”是蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書》七年級上冊第三章“代數式”的延續和發展，也是后續學習整式乘法、因式分解和分式運算的基礎。冪的運算包括同底數冪的乘法和除法、冪的乘方和積的乘方。整式的乘法運算包括單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘以及多項式與多項式的乘法，它們最后都可以轉化為單項式與單項式的乘法，而單項式與單項式的乘法又是以冪的運算性質為基礎的。由此可見，同底數冪的乘法是一個基礎和起點，作為章節起始課，承載著學習的思想方法和研究的基本套路的指引作用。

【教學重難點】

1.教學重點：通過類比學習，明確本章學習的主線；同底數冪的乘法法則的探究和簡單應用。

2.數學難點：底數互為相反數的冪的乘法；類比同底數冪的乘法運算，歸納同底數冪的除法、冪的乘方和積的乘方的運算法則。

設計意圖：“同底數冪的乘法法則”從發現到驗證，經歷了“觀察——探索——猜想——猜想——驗證”的過程，體現了“從特殊到一般”的數學歸納的思想方法。這種研究方法在探索代數運算規律的時候經常用到。當學生理解和掌握了“同底數冪的乘法”的研究方法和“路線圖”的時候，就可以運用類比的方法，自主學習同底數冪的除法、冪的乘方和積的乘方，使學生學會學習、學會研究。因此，本節的重點是同底數冪的乘法法則的探究，通過類比，明確學習主線。

經過一學期的學習，七年級的學生已基本掌握了有理數的運算，對用字母表示數的思想方法也有了一定的認識。但對用字母去歸納總結同底數冪的乘法法則還有一定的困難，這對學生的抽象思維能力和邏輯推理與表達能力都有一定的要求。整體思想和轉化思想是初中數學中很重要的思想方法，七年級的學生將未知轉化為已知的能力還有所欠缺。所以，對于通過相反數把多項式進行整體轉化，學生還是有困難的。

【教學過程】

一、教學情境

問題1：我們在小學學習了數的運算，包括哪些運算？是按什么順序學習的？在我們前面學習的整式的運算中，學習了哪些運算？類比數的運算的學習過程，你能猜猜我們接下來會學習整式的哪種運算嗎？

問題2：下面有四個整式，從中任選兩個構造乘法算式：

-a，a2，a3+b，a-ab。

問題3：請將上述答案中的乘法算式進行分類，并說出你的分類標準。

設計意圖：在本節課的開始階段，問題1通過類比數的運算，引出本章學習的內容；問題2的目的是讓學生從整體感知和了解整式乘法的類型，為后續將整式的乘法運算全部化歸為冪的基本運算（包括同底數冪的乘法與除法，冪的乘方和積的乘方）做好鋪墊。

二、探索活動

【活動1】

問題1：運用乘方的定義計算下列各式：

（1）102×103； （2）a3×a5； （3）10m×10n。

問題2：通過對以上計算過程的觀察，你發現了什么規律？你能用一個含有字母的式子來表達你的發現嗎？

am·an=am+n（m，n是正整數）。即：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。

問題3：你能證明所寫式子為什么正確嗎？你所寫的式子中含有的字母可以取任何數嗎？有什么范圍限制嗎？為什么？

設計意圖：活動1的3個問題是逐步從具體到抽象地探索同底數冪的乘法運算性質的三個層次。第一層次，冪的底數和指數都是具體的數。第二層次，冪的指數是具體的數，底數是用字母表示，或是冪的底數是具體的數，而指數是用字母表示的。第三層次，冪的底數和指數都是用字母表示的。意在引導學生經歷從具體問題發現結論，通過一般推演來驗證自己發現結論的過程。后續同底數冪的除法、冪的乘方和積的乘方的運算性質的探索都采用這種過程，從而發展學生的合情推理和演繹推理的能力。在讓學生表述自己的發現的過程中，培養學生有條理地表達的能力。最后剖析法則的使用條件，培養學生思考的完整性。

【活動2】

問題1：下列各式中，哪些是同底數冪的乘法運算？

（1）23×25； （2）（-3）3×（-3）8； （3）59×79；

（4）a3+a3； （5）-b2·b5； （6）（x-y）2·（x-y）3。

設計意圖：活動2的問題1的設置目的是辨析同底數冪的乘法法則適用的條件：一是底數相同，二是做乘法運算。底數可以是一個數、一個字母，也可以是一個多項式。

問題2（例題）：計算下列各式，結果用冪的形式表示。

（1）23×25； （2）（-3）3×（-3）8；

（3）-b2·b5； （4）（x-y）2·（x-y）3；

（5）x·x3·xm+1。

解：（1）23×25＝ 23+5＝ 28；

（2）（-3）3×（-3）8＝（-3）3+8＝（-3）11＝-311；

（3）-b2·b5＝-b2+5＝-b7；

（4）（x-y）2·（x-y）3＝（x-y）2+3＝（x-y）5；

（5）x·x3·xm+1＝x1+3+（m+1）＝xm+5。

設計意圖：問題2是問題1的延續，也是作為例題出現的。給出了應用同底數冪的乘法法則進行計算的范例。第（1）小題是底數為正整數的情形，第（2）小題是底數為負數的情形；第（3）小題是底數是字母的情形；第（4）小題是底數是多項式的情形；第（5）小題是將法則推廣到三個同底數冪相乘的情形，進而引導學生繼續將法則推廣到三個以上的同底數冪相乘的情形。

問題3：下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正。

（1）x3·x3＝ 2x6； （2）x4·x2＝ x8；

（3）a2+a2＝a4； （4）3m×32m＝93m（m是正整數）。

請就上述的問題，歸納法則使用時需要注意的地方。

設計意圖：問題3設置了學生常犯的4種典型錯題，讓學生自我辨析，達到以錯糾錯的目的，幫助學生進一步理解和掌握法則。

問題4：計算下列各式，結果用冪的形式表示。

（1）（-5）3×53； （2）34×9×81；

（3）（x-2y）2·（2y-x）3；

（4）（-1）2n+1·（-1）2n。

設計意圖：問題4中第（1）（3）小題的設置是幫助學生突破學習難點——底數互為相反數的冪的乘法運算。其中，第（1）小題是底數為數的情形，第（3）小題是底數為多項式的情形。而第（2）（4）小題的設置是為了讓學生進一步體驗化歸的思想方法。

設計意圖：本例題的設置是讓學生熟悉同底數冪的乘法在實際生活中的應用，體會所學內容的必要性。

四、小結思考

三、嘗試解決

例題：一顆衛星繞地球運行的速度是7.9×103m/s，求這顆衛星運行1h的路程。

解：因為1h＝3.6×103s，所以這顆衛星運行1h的路程為：

（7.9×103）×（3.6×103）

＝（7.9×3.6）×（103×103）

＝2.884×107（m）。

答：這顆衛星運行1h的路程是2.884×107m。

1.今天我們一起發現、歸納了一個新的法則，你能說出它的內容嗎？

2.我們是如何發現和歸納這個法則的？

3.在運用這個法則的時候，需要注意些什么？

4.同底數冪的除法、冪的乘方和積的乘方也是計算單項式與單項式相乘的基礎，它們的法則又是什么呢？請同學們類比本節課的研究方法，嘗試著自己研究一下。

【教學感悟】

本節課是第八章“冪的運算”章節起始課。起始課的教學要讓學生明確本章內容研究的基本套路。作為“起始課”，需要交代所研究的問題背景，引入的基本概念的源頭在哪里。所以，在本節課的開始設置了讓學生猜測將會學習哪種整式運算的問題，并通過類比數的運算，自然地引出了本節課的教學內容。因為“起始”，所以教學的重點是讓學生感受本章數學概念產生、發展的基本過程，體會研究這類數學問題的基本套路，進而提高學生提出問題、解決問題的能力。活動1中的3個問題的設置，就是引導學生學習從具體到抽象、由特殊到一般的研究方法。最后的小結與思考，是提示學生用類比的方式繼續研究。通過這樣的學習，才能達到使學生學會學習、學會研究的目的，讓數學起到育人的作用。