地方性院校高等代數課程教學的實踐與認知

秦永云

（曲靖師范學院數學與統計學院，云南 曲靖 655011）

引言

近年來，隨著我國高等教育規模不斷擴大，地方性新升本師范院校也相應增加。相對省屬部屬高校，地方性院校學生的學習基礎和學習能力較弱，尤其是抽象思維、邏輯思維能力較弱，而《高等代數》課程對學生的抽象理解力要求很高，因此，學生普遍反映《高等代數》較難，大多數學生只是死記硬背應付考試，沒能真正理解，而后續課程要用到相關知識時，印象不深。而開設這門課程的初衷，正是培養學生的抽象思維和邏輯思維能力，提高數學修養，為后續課程做鋪墊。本文結合自身的教學實踐，改變原來的教學模式，既能讓學生掌握高等代數的基本知識，又能讓學生理解其內涵，在培養學生抽象思維能力的同時，又為后續課程奠定基礎。本文選用北京大學代數小組編寫的經典教材《高等代數》第四版為例，采用數學主題情境教學法。下面是本人教學中的幾點教學方法改革嘗試。

一、從簡單例子出發，加強學生對抽象定義的理解

高等代數主要研究抽象的代數系統以及代數運算，其抽象定義較多，如線性空間、線性變換等。這些定義的理解直接關系著整門課程的學習效果。而面對學生抽象理解力較弱，教師可從簡單例子出發，從而加深學生對抽象定義的理解。例如，在講線性空間的定義時，可從平面向量、n元數組入手，讓學生總結它們都是帶有運算的集合：加法和數量乘法，且這兩種運算滿足一些規律。把這些共性抽象出來，就得到線性空間的定義。這樣，學生對線性空間這個抽象的定義有了具體的例子，就能做到真正理解，而不是死記硬背；在學習線性空間的相關性質時，聯系這兩個例子也能幫助學生加深理解。這些抽象定義的學習將為后續課程《抽象代數》中群、環、域的理解奠定基礎。

二、一題多解，加深學生對知識點的理解

矩陣的合同是高等代數中的一個重要知識點，而課本上的內容只能讓學生記住什么叫合同：稱矩陣A與B合同，如果存在可逆矩陣C使得B=C’AC。但是，學生往往不理解它的實質——左乘C’和右乘C，對矩陣A來說發生了哪些改變。另一方面，書本第五章第二節，講到將二次型化為標準形的方法，教材上提到兩種方法——配方法和矩陣法，我在備課時查了相關資料，發現還有另一種方法——初等變換法，即將矩陣A和單位矩陣E一上一下排成一個大矩陣，對這個大矩陣同時做初等行變換和初等列變換（所做的行、列變換要一致），則將A化為對角矩陣時，E就化為替換矩陣C。這種方法教材上沒有提到，但我給學生講解后，學生反映這種方法較前兩種簡單，而且，這種方法多次強調，對矩陣A同時做同樣的行、列變換，這恰好解釋了合同變換——左乘C’和右乘C，就是對A做了一系列相同的行、列變換。

三、創設問題情境，激發學生興趣

問題情境的創設不只出現在高中課堂中，高等代數的教學同樣要創設一些生動有趣的情境，以激發學生的興趣。比如，在講解二階行列式的定義時，從解二元一次方程組出發，讓學生自己推導，并觀察解的特點，總結出分子分母的特征——都為兩數乘積減去兩數乘積，從而把這樣的運算定義為二階行列式。讓學生把二元的情形推廣到三元、多元，就自然地引出三階行列式、n階行列式的定義。又如，在講解逆矩陣的定義時，從中學中的逆運算出發；在講解輾轉相除法時，從短除法出發；在講解線性空間的基與坐標時，從直角坐標系的單位向量、坐標出發；在講解線性變換的運算時，從函數的運算出發。這樣，學生在原有知識的基礎上自行推導、引入新概念，就能更好的理解新知識。

四、注重名詞解釋，加強學生的理解記憶

高等代數的定義、定理中有大量的名詞，這些名詞都是沿用國際慣例，所以課本上沒有做太多的解釋。然而，給學生講清楚這些名詞的由來及背景，往往能加深學生對知識點的理解和記憶。比如，在講解線性方程組的概念時，可以給學生解釋數學中“線性”的含義，并聯系中學學過的線性規劃，讓學生明白“線性”即“一次”，這樣，就能加強學生對線性方程組的理解，并且，在學習線性組合、線性相關性、線性替換時，也能更好更快的理解相關概念。又如，在講解慣性定理時，聯系物理背景，“慣性”即“保持不變的性質”，這樣，慣性定理就是實二次型在非退化線性替換下保持不變的性質。在講解線性子空間的直和時，從幾何中解釋，“直和”即“垂直的和”，就能使學生理解直和的等價定義。