扇環圖在概率論教學中的應用

王群

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?用扇環圖代替維恩圖來解決難以表達隨機試驗中的復合事件關系和直觀概率的問題，圖示法概率論入門教學使復雜抽象的概率論能夠被直觀理解。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?概率論;維恩圖;扇環圖

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）32-0234-02

一、概率論圖示法教學的過往研究

圖示法在概率論教學中一直備受重視。如陶勝在《概率論中的直觀教學法》中認為“（概率論）概念抽象且不好理解，公式較多且不易記憶，通過列舉實際例子，使用形象化的圖示法，對幾組概念著重加以區別，可以較好地幫助學生正確理解這些概念，有效地記住公式。”汪建均在《圖示化方法在概率論中的應用》一文中則稱“（概率論）所研究的對象的不確定性和復雜性，學生在學習過程中對基本概念理解比較困難。無疑抽象而復雜的概率論實踐教學如果能夠以圖形示意的方式具現表達出來，將會帶來更好的教學效果，使學生能夠更直觀、更容易理解接受抽象而復雜的概率論。

用簡單圖形表達復合事件能解決維恩圖難以直觀表達重復隨機試驗的不同結果，而樹狀圖不能直觀表達概率大小，不能勝任圖示多次隨機試驗的結果等復雜事件之間的關系，因而通常采用教學案例分析復雜事件，通過案例積累對抽象概率理論的認知，學生耗費大量時間來記憶而不能直觀看到原理，而扇環圖能夠解決上述問題。

二、扇形圖分析在概率論教學中的應用

（一）用扇環圖畫隨機實驗示意圖的基本方法

1.以同圓心的不同圓環表示不同次隨機實驗的樣本空間，從內至外即為隨機試驗的次序，每一樣本點對應于樣本空間上的某一段扇環，扇環弧度占圓周角的比例即為該樣本點發生的概率。

2.一個包含若干個樣本點的復合事件的概率即為該事件對應的扇環弧度占圓周角的比例。

（二）概率論教學中經常涉及的事件關系維恩圖與扇環圖示意法對比

1.事件的包含關系：事件B包含事件A，或事件A包含于事件B的維恩圖表示法與扇環圖表示法對比見圖1。

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2.事件A與事件B的積或交的維恩圖表示法與扇環圖表示法對比見圖2。

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3.事件A與事件B的和或并的維恩圖表示法與扇環圖表示法對比見圖3。

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4.事件A與事件B的差的維恩圖表示法與扇環圖表示法對比見圖4。

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5.互斥事件的維恩圖表示法與扇環圖表示法對比見圖5，對立事件的維恩圖表示法與扇環圖表示法對比見圖6。

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6.事件A發生條件下事件B發生的條件概率的維恩圖表示法與扇環圖表示法對比見圖7。

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黑色表示事件A，淺灰色表示事件B，深灰色區域為積事件AB，由此表達條件概率P（B|A）與事件A和積事件AB的關系，在扇環圖中黑色表示事件A，淺灰色表示事件B，淺灰色填涂外側、黑色填涂內測的扇環表示積事件AB，既可以從第一次隨機實驗，結果A事件發生的黑色扇環出發，觀察表示第二次隨機實驗B事件發生的淺灰色區域占黑色區域的比例來直觀認識條件概率P（B|A），也可以從表示積事件AB發生的淺灰色填涂外側、黑色填涂內測的扇環出發，觀察其占表示A事件的黑色區域的比例來直觀認識條件概率P（B|A）。

7.全概率公式的扇環圖表示法見圖8。

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涉及全概率公式這樣的復合事件時，維恩圖難以直接簡潔地表達出來。用扇環圖可以簡潔表達，如圖所示，內側圓環表示第一次隨機實驗，用不同顏色填涂的A1、A2、A3構成第一次隨機實驗的一個劃分，外側圓環表示第二次隨機實驗，對應A1、A2、A3外側圓環分成三部分的陰影區域總體表示事件B，那么事件B發生的概率就可以用事件A1、A2、A3的概率分別乘以它們發生時B發生的概率然后求和來計算。

8.貝葉斯公式的扇環圖表示法見圖9。

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在理解全概率公式的基礎上，用白色填涂事件B的對立事件，得到右圖，這幅圖直觀地表達了當事件B發生時，事件A1、A2、A3發生的概率。

9.獨立事件與非獨立事件的對比扇環圖表示法見圖10。

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維恩圖難以直接簡潔地表達出獨立事件與非獨立事件的區別，但是扇環圖能夠做到直觀區別獨立事件與非獨立事件。左圖是獨立事件，從圖形上可以直觀看到無論以白色表示的事件A是否發生，以深灰色表示的事件B發生的概率都是一樣的，而右圖是非獨立事件，右圖上以深灰色表示的事件B發生的概率顯著依賴于以白色表示的事件A是否發生，當事件A發生時，以灰色區域表示的事件B發生的概率顯著高于以黑色表示的事件A的對立事件發生時B發生的概率。

10.伯努利定理扇環示意圖見圖11。

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最內側圓環表示第一次隨機實驗的樣本空間，事件A未發生用淺灰扇環表示，事件A發生用深灰扇環表示，由內至外每多一環即表示多重復了一次隨機實驗。

n重圓環表示進行了n重伯努利試驗，那么黑色扇環表示的是第二次和第三次隨機實驗中事件A發生而其他各次隨機實驗中事件A未發生的概率，進而事件A發生k次的含義就等價于從最內側扇環到最外側扇環一共n環里任意k環為深灰剩余諸環為淺灰的組合，這個組合的概率就是n重伯努利試驗事件A發生k次的概率。

白色圈出的扇環表示的是從第一次隨機實驗開始事件A始終未發生，直到第n次試驗事件A才發生的概率，圖形上直觀表達是從最內側開始都是淺灰扇環，直到最外側扇環才是深灰填涂。

三、結論

在概率論入門教學中用扇環圖比用維恩圖或者樹狀圖更適合，它能克服維恩圖和樹狀圖難以直觀表達復雜事件概率的缺陷，使抽象且難以被學生理解接受的概率論變得簡單、直觀、條理清晰，從而能夠極大地提高概率論教學的效率。

參考文獻：

[1]陶勝.概率論中的直觀教學法[J].集美大學學報（教育科學版），2003（3）：90-94.

[2]汪建均.圖示化方法在概率論中的應用[J].數學理論與應用，2004（4）：53-56.

[3]宋桂榮.概率論與數理統計課程教學改革研究[J].時代教育，2012（19）：155.

[4]張麗華，王穎喆.概率論教學的探索與實踐[J].數學教育學報，2010（3）：97-99.

◎編輯 馬燕萍