基于“一題一課”微專題下的深度教學(xué)*
——以“一道數(shù)學(xué)高考題引發(fā)的思考”示范課為例

☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 孫 佳

☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張 紅

一、引言

智能機(jī)器的出現(xiàn)和挑戰(zhàn)，讓我們不得不思考：如何在課堂上實(shí)現(xiàn)教師的教育價(jià)值，實(shí)現(xiàn)“人”的教育？如果從學(xué)科本身、數(shù)學(xué)內(nèi)容、教師角色三個(gè)角度來思考“深度教學(xué)”的話，深度教學(xué)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，直擊數(shù)學(xué)知識(shí)核心、反映教師教學(xué)有效程度的一種教育模式，以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).從教師的角度來講，深度教學(xué)是讓學(xué)生進(jìn)行深度思維的教學(xué).而深度教學(xué)的對(duì)象是學(xué)生，于學(xué)生而言深度教學(xué)則是以構(gòu)建學(xué)生高階思維發(fā)展，以及以學(xué)生關(guān)鍵能力的獲得為方向的一種集認(rèn)知、技能、情感為一體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.關(guān)于深度教學(xué)，我們的理解就是把一些重要內(nèi)容“教活、教透、教深”.

那么如何改進(jìn)如今的課堂教學(xué)，從而來幫助學(xué)生培養(yǎng)和發(fā)展核心素養(yǎng)呢？打造“深度”數(shù)學(xué)課堂則要關(guān)注學(xué)科本質(zhì)，注重價(jià)值觀的形成、知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的整合以及社會(huì)適應(yīng)能力等.通過微專題下的深度教學(xué)，教師一方面可以建構(gòu)適量數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)，從而形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)；另一方面可以融知識(shí)于應(yīng)用之中，提升學(xué)生解決問題的能力.筆者將基于成都市C中學(xué)K老師的一堂示范課，探討如何在深度學(xué)習(xí)理念下進(jìn)行“一題一課”的深度教學(xué).

二、案例描述

課前K老師將任務(wù)布置給學(xué)生，要求學(xué)生以小組合作的方式，探究盡可能多的解法，并在課堂上進(jìn)行展示.接下來，筆者將用“選擇性課堂實(shí)錄”法對(duì)課堂上學(xué)生的精彩表現(xiàn)進(jìn)行描述.

題目若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f（x）的最大值為______.

片段一：教學(xué)過程注重邏輯推理的引導(dǎo)

此片段是教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行拆分后并求參數(shù)的值時(shí)，期望學(xué)生從多角度去思考問題，進(jìn)而提升學(xué)生的邏輯推理能力.

師：接下來小組討論并分享求a，b兩個(gè)參數(shù)有哪些不同的求解方式？哪些同學(xué)來分享一下.

生A：第一步是求函數(shù)的解析式，就是確定a，b的值.我們組想到了三種方法：特值法、導(dǎo)數(shù)法、零點(diǎn)法.

師：請(qǐng)具體地說一下過程.

生A：對(duì)于特值法，因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于x=-2軸對(duì)稱，所以我們可以在函數(shù)圖像上任取關(guān)于x=-2對(duì)稱的兩點(diǎn).

師：你取的是多少呢？

生A：-1和-3，1和-5.然后就構(gòu)造了兩個(gè)方程式f（-1）=f（-3），f（1）=f（-5），從而解出a和b的值.這是第一種方法.法二是導(dǎo)數(shù)法，因?yàn)樵瘮?shù)圖像關(guān)于x=-2軸對(duì)稱，所以它的一階導(dǎo)數(shù)就關(guān)于（-2，0）中心對(duì)稱，二階導(dǎo)數(shù)就關(guān)于x=-2軸對(duì)稱.然后把函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別求出來.

師：（板書）也即由方程f′（-2）=0，f″（x）關(guān)于x=-2對(duì)稱，即可求出a，b的值.

生A：法三是零點(diǎn)法.我們觀察原函數(shù)的結(jié)構(gòu)可以知道它有兩個(gè)零點(diǎn)x=1和x=-1，又因?yàn)樗顷P(guān)于x=-2軸對(duì)稱，所以我們根據(jù)對(duì)稱得出它還有另外兩個(gè)零點(diǎn)x=-3，x=-5.然后x=±1是函數(shù)結(jié)構(gòu)右側(cè)的兩個(gè)零點(diǎn)，則x=-3，x=-5就是函數(shù)結(jié)構(gòu)左側(cè)的兩個(gè)零點(diǎn).從而可列出表達(dá)式，求出a，b的值.

片段二：教學(xué)過程注重對(duì)教材內(nèi)容的深度挖掘

此片段是老師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求最值時(shí)記錄下來的，由于導(dǎo)數(shù)法是通法，但求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)遇到了障礙，有一個(gè)三次代數(shù)式，要求其零點(diǎn)，就需要對(duì)三次代數(shù)式進(jìn)行因式分解，對(duì)于三次方程的因式分解，學(xué)生是如何處理的呢？

師：對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)有哪些方法求解呢？

生B：因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于x=-2對(duì)稱，所以它的一個(gè)極值點(diǎn)是-2，又因?yàn)樗且粋€(gè)三次函數(shù)，所以得到一個(gè)根為-2，我們可以用短除法求解.（上臺(tái)演示）

師：很好，還有其他方法嗎？

生C：還有一種方法就是運(yùn)用三次方程的韋達(dá)定理.

師：三次方程的韋達(dá)定理，在哪里出現(xiàn)過？

生C：選修2-2的113頁.

師：請(qǐng)大家把教材拿出來，這是教材閱讀的內(nèi)容.

生C：因?yàn)檫@個(gè)導(dǎo)數(shù)剛好是三次，所以可以用此公式來找到另外兩根.

師：這位同學(xué)就是用書上的公式來得到另外兩根的.這也提示我們當(dāng)遇到一些因式不便分解的時(shí)候，我們可以運(yùn)用公式，但前提是我們把教材上包括閱讀、探究的內(nèi)容仔細(xì)研究了，并用心體會(huì)了，這樣才可以使問題得到解決.

片段三：教學(xué)過程注重激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

此片段是在處理函數(shù)最值時(shí)，學(xué)生創(chuàng)造性地將函數(shù)與“海倫公式”進(jìn)行對(duì)比，運(yùn)用三角形面積的最值來求函數(shù)的最值問題.

師：除了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法處理函數(shù)的最值之外，還有什么其他方法呢？

生D：（上臺(tái)演示）我還用了另外兩種方法，有一種就是運(yùn)用“海倫公式”來求解的.

師：海倫公式主要是處理什么的？

生D：三角形的面積.這里我們把（fx）變形為（fx）=（1-x）（1+x）（x+3）（x+5），就可得到四個(gè)一次的因式.而剛好海倫公式里也有四個(gè)一次式，所以令p=x+5，代入（fx）里面，然后就可以得到這樣一個(gè)式子s（p）=，把它想成三角形的三條邊，就可以計(jì)算出三角形面積的最大值為.所以（fx）=s2=16.

師：講的很清楚（一片掌聲）.如果對(duì)這個(gè)公式不熟悉的同學(xué)可翻到《必修5》21頁的“閱讀與思考”.大家觀察這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，思考為什么要用海倫公式去求解呢？（停頓一下）是不是其結(jié)構(gòu)都是四項(xiàng)的乘積?。康惞嚼锩娉霈F(xiàn)的這些字母p，a，b，c是有具體含義的.p是它的半周長(zhǎng)，a，b，c是三邊長(zhǎng).其實(shí)在這個(gè)解法里面我有一些疑問：生D把x+5令成p的意思就是默認(rèn)了x+5就是四個(gè)值里最大的.那它是四個(gè)值里最大的嗎？

生D：（遲疑了一下）是??！

全班：不一定.

師：x+5可以確定是x+1，x+3，x+5里面最大的，但是1-x和x+5其實(shí)是可大可小的，所以應(yīng)該是不一定的，但是我們這樣操作下來，答案又是對(duì)的.那這個(gè)原因是為什么呢？我們看看有沒有其他同學(xué)可以幫助你.

生E：因?yàn)楹惞降乃捻?xiàng)里有p，p-a，p-b，p-c，且都具有幾何意義.我們構(gòu)造的是1-x，x+1，x+3，x+5.我們將其分別相加得4p-（a+b+c）=2p和2x+10，則2p=2x+10，所以p=x+5.又觀察到f（x）是關(guān)于x=-2對(duì)稱，剛才圖像的描繪中，可以看到當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，它的圖像是在x軸的上方.同樣，x∈（-5，-3）時(shí)，圖像也在x軸的上方，故也是大于零的，則f（x）的最大值肯定在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，又因?yàn)閷?duì)稱性，所以只需考慮x∈（-1，1）這個(gè)區(qū)間，而在這個(gè)區(qū)間，p=x+5大于1-x，故x+5是最大的.

師：非常好，解釋得很清楚.所以如果我們要運(yùn)用海倫公式，就要認(rèn)清它的性質(zhì)與條件.我們把所有元進(jìn)行替換后，就完全變成了海倫公式這個(gè)結(jié)構(gòu)了，得到了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決.

三、案例分析

C中學(xué)開展的“數(shù)學(xué)教育系列活動(dòng)”結(jié)束后，各位專家及學(xué)者都對(duì)本節(jié)課給予了高度的評(píng)價(jià).其主要在于：

1.素材的恰當(dāng)選擇，讓教學(xué)有“效度”

本堂課執(zhí)教的K老師現(xiàn)任教高三，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，對(duì)課堂有良好的把控力，以2013年新課標(biāo)全國卷Ⅰ的一道“求函數(shù)的最值問題”的填空題為例題，課前布置給學(xué)生，探索出題目的多種解法.讓學(xué)生在課堂上分享研究成果，教師提煉數(shù)學(xué)思想方法.是一堂以學(xué)生為主體，把課堂交給學(xué)生的一次嘗試.高三的學(xué)生需要怎樣的課堂？作為一名高三老師能夠給學(xué)生怎樣的課堂？2017年高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生的能力考查立意”，那么如何在課堂中實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)呢？據(jù)K老師回憶，這道題第一次引起她的注意是在學(xué)校的一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生完成情況較差，且得分率低.于是K老師找學(xué)生談話，又對(duì)這道題進(jìn)行評(píng)講之后，發(fā)現(xiàn)這個(gè)題可以從背后挖掘出許多內(nèi)容，有基礎(chǔ)知識(shí)考查，有題目結(jié)構(gòu)的分析，而且還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法.第二次是數(shù)學(xué)備課組外出學(xué)習(xí)，多次講座中有老師以此題為背景來探討其中的數(shù)學(xué)韻味，故其再次引起K老師的注意，于是選擇了這個(gè)題目作為載體.一開始K老師認(rèn)為這只是一道考查函數(shù)最值問題的題目，后來發(fā)現(xiàn)2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷中的第12題也是考查函數(shù)的題目，并發(fā)現(xiàn)這兩道題具有相通之處.于是，K老師將之前的課題《形式多異的最值》改為了《對(duì)一道高考題引發(fā)的思考》.

2.教學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，讓教學(xué)有“深度”

在人教版教材必修1中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的基本性質(zhì)，在選修2-2中已經(jīng)學(xué)過導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.對(duì)于常規(guī)的函數(shù)問題，學(xué)生已具備基礎(chǔ)，也有常用的研究方法.但是對(duì)于“新題、活題、創(chuàng)新題”，大多數(shù)學(xué)生感到束手無策.而為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移并對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活地運(yùn)用，探究簡(jiǎn)潔高效的解法就是“一題一課”教學(xué)模式的意義所在.數(shù)學(xué)“一題一課”微專題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)推廣的一種教學(xué)方式，本堂課為了幫助學(xué)生理解函數(shù)的最值及幾何意義，一方面通過運(yùn)用函數(shù)圖像，另一方面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值來提高學(xué)生的邏輯推理能力，從而逐步培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象概括、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).課前學(xué)生開展小組合作學(xué)習(xí)，在這個(gè)過程中養(yǎng)成團(tuán)隊(duì)意識(shí).課堂上教師運(yùn)用對(duì)比、啟發(fā)、歸納、總結(jié)等教學(xué)方法來幫助學(xué)生理解，從而使學(xué)生能夠在“一題多解”與“多題一解”之間游刃有余.

3.學(xué)生的創(chuàng)造性表現(xiàn)，讓教學(xué)有“寬度”

本堂課雖然只研究了一道題目，但是這道題目所延伸出的內(nèi)容是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出預(yù)期的.學(xué)生由一道求函數(shù)最值題聯(lián)想到三次方程的韋達(dá)定理以及求三角形面積的海倫公式，這是建立在深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上才能有如此創(chuàng)造性的表現(xiàn).其中對(duì)課本的鉆研就是其中之一，“三次方程的韋達(dá)定理”在中學(xué)對(duì)學(xué)生是不作要求的，但是具有深度學(xué)習(xí)品質(zhì)的學(xué)生通過對(duì)課本深度地研讀，發(fā)現(xiàn)了課本中被大多數(shù)同學(xué)所忽視的“閱讀與思考”內(nèi)容，而在解決實(shí)際問題時(shí)又能夠靈活運(yùn)用，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，這才是學(xué)習(xí)的本質(zhì)所在.另外，創(chuàng)造性思維絕不是循規(guī)蹈矩就能夠養(yǎng)成的.學(xué)生在對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形時(shí)能夠發(fā)現(xiàn)與海倫公式的相似之處，并能夠正確地運(yùn)用它，這恰好驗(yàn)證了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一定是系統(tǒng)的，并能夠?qū)ふ业绞挛锏南嗤ㄖ?，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，再反過來應(yīng)用到實(shí)際生活中.