從學生錯解出發：同類題教學的一種策略
——以被開方式非負性質的同類題教學為例

☉江蘇省常熟市古里中學 朱秀娟

整理最近一周的教學手記，其中有一節試卷選講的課仍然值得回味，因為沒有按照常規的由易到難的順序講評幾道同類問題，而是“逆向操作”，由難到易，先是學生出錯、思維受阻，然后師生參與究錯，回看試卷上另外幾道考題，從中獲得啟發，解讀出隱含條件，再回看難題，獲得思路的貫通.本文整理該課的“緣起”“學程”與課后反思，供研討.

一、由一份檢測卷的批閱說起

最近組織二次根式章末檢測時，試卷中有以下幾道考題，學生的答題情況各不相同，這里先簡要做一梳理：

題1：若m=，求代數式2m+n的值.

批閱情況：學生正確率較高，試題難度系數為0.75，說明對二次根式的意義（被開方式為非負式）有較好的掌握.

題2：已知實數a滿足，求代數式a-20192的值.

批閱情況：閱卷數據表明該題難度系數為0.55，說明不少學生對隱含條件（被開方式a-2020為非負數）的解讀與運用已出現差異，導致不能順利化簡，說明需要重點講評.

題3：一個數的算術平方根是2m-6，它的平方根為±（m-2），求這個數.

批閱情況：這道習題多數學生的解答是分類討類，或者沒有做到最終結果.

題4：已知實數n滿足，求n的值.

批閱情況：這道考題只有一名學生做出答案，多數學生都空著或猜了一個解，導致錯誤.需要認真預設如何講評這道考題，促進更多的學生理解這道習題的解法.

二、講評課前的備課預設

如果將上述4道考題按照由易到難的順序組織講評，當然也能順利進行，并且讓學生拾級而上，聽懂并理解題3、題4的解題思路，但是筆者經過思考，認為這樣并不能讓學生留下深刻的講評印象，所以準備“反其道而行之”，先出示最難的題4，安排學生上臺展示“解題愚蠢”或錯誤解法，然后現場診評并究錯，再通過先后給出具有鋪墊功能的題2、題3、題1，讓學生深刻理解這類需要解讀隱含條件的較難題.

三、課堂講評記錄

開課過渡：在這份檢測試卷中，大家認為最難的是哪一道題？（生：題4）全班只有一個同學做對了，我問過，他說是猜想到的答案，自己也不知道如何求解.那么，我們請科代表來展示一下他是如何思考的，因為我注意到他寫滿了答題區域，但是“無功而返”.讓我們來看看他是怎么做的.

科代表上臺講解他的思路，簡述如下：

解：將等式兩邊平方，得（2-n）2+n-5=n2，即4-4n+n2+n-5=n2，化簡得3n=-1，則n=-.

師：請大家觀察他的解法，你們看得懂嗎？

生2：他的第一步兩邊平方就出錯了，等式左邊不可能是（2-n）2+n-5，根據完全平方式展開，左邊應該是，所以后面全部是錯誤的.

師：正確！你看出n的取值范圍了嗎？

生3：n≥5.

師：獲得這個取值范圍后，你對解答這道難題有什么進展嗎？

生3表示仍然沒有進展.

師：那好，我們先來看這份試卷中的“題2”.

題2：已知實數a滿足，求代數式a-20192的值.

師：這道考題有三分之一的同學做出來了（生3沒有做出來），請一個同學來展示一下他的解法.

師：很好，請生3思考一下，這種思路對于求解“題4”有沒有啟發？

師：正確！可以發現，這里解讀出隱含條件，即被開方式具有非負性質，就能打開這類根式難題的解題思路了.大家再到這份試卷中找一下，還有需要解讀被開方式的非負性質的考題嗎？

很快，學生找出了“題3”和“題1”.

題1 錯誤率不高，請學生簡要講解一下思路，確認其關鍵步驟是根據非負性質解讀出n的值.

對于題3，先安排學生上臺寫出一種典型錯漏解法：

解：由題意得：2m-6=m-2，或2m-6+（m-2）=0.

引導其他學生參與評析，大家發現上述步驟中有多處錯誤，比如，分類討論求出m的值之后直接代入2m-6求出了這個數的算術平方根，就直接答這個數，對題目的求解目標沒有辨清（需要求出原數）；再如，求出這個數的算術平方根為時，缺少檢驗意識，因為算術平方根是非負數，這個值應該被舍去，仍然是由于忽略隱含條件出錯，沒有取舍的意識.

小結與布置作業：同學們可以將這份試卷中的4道涉及被開方式非負性質的考題作為同類考題收集起來，以便加深對被開方式非負性的理解.

四、進一步的思考

1.解題教學是藝術，通過解題學會解題

我們知道，教學是科學也是藝術，解題教學亦然.常規來看，習題講評一般都是由淺及深、由易到難的講評順序，這樣能起到較好的鋪墊式作用，幫助學生拾級而上，化解難點，層層遞進.然而，我們根據這節課所講習題中幾道考題的深層結構或本質特征，選擇了由學生先展示它們的“解題愚蠢”（羅增儒教授語），然后引導學生參與評析與優化，通過鏈接、關聯不同考題，促進學生自主發現思路，突破關鍵步驟，不僅實現了這道較難題的講評，而且整個過程也向學生傳遞了“怎樣解題”的方法或策略.

2.重視解題后反思，引導學生歸類整理

美國著名數學教育家波利亞在名著《怎樣解題》中強調解題后的回顧反思的重要性，認為其是防止“入寶山而空返”的有效方式，值得我們在解題教學中向學生傳遞.具體來說，我們在4道同類考題講評之后，簡要小結并布置作業，安排學生對4道考題及思路中的關鍵步驟進行歸類整理，通過課后歸類整理這個環節有效促進學生解后回顧與反思，拉長對這類問題的深刻理解的時間.同時是向學生傳遞解題學習的有效方法，不但善于突破較難題的思路，還要在解后反思時勤于整理同類問題.

3.教學即研究，“往小處看、做手頭事”

教學即研究，做一名研究型教師是很多在專業上有追求、上進的教師的共同追求.然而，有些教師苦于找不到研究方向，今年申報這個課題，過幾年又扔了這個課題，蹭著熱點走，到頭來該關注的“教學基本問題”（教什么，怎么教）沒有能深入下去，宏大的課題又做不出什么新意，自己也很苦惱.對于廣大一線教師來說，如果能看清自己所處的學校環境、針對學情和教情，立足現實，“往小處看、做手頭事”，做深做透，積累素材，及時梳理成文，也是一種值得提倡的研究路徑.本文就是關注一節日常習題講評課的教法研究，當然還不深入，案例也不豐富，期待更多的同行參與研究、豐富案例和反思深入.