利用SOLO分類評價法突破初中幾何推理教學難點的案例研究

馮國虎

摘 要：從教學中的一個調查、一個例題出發，發現幾何教學中的一些問題，分析初中幾何推理的難點，借SOLO分類評價法突破初中幾何推理難點的個案研究，找出解決幾何推理難點的一般策略：利用思維導圖整理知識網絡和理順解題的一般步驟;利用間接條件法讓學生由易到難動手實踐;培養尋找解題思路的三種方法;基本解題思路的整理;作業的分層批改;同伴互助學習。

關鍵詞：SOLO分類評價法;幾何;個案

一、問題的引出

1.一個調查

筆者對自己所在學校七、八年級期中數學試卷進行了分析，七年級幾何題總分為34分，占總分120分的28.3%，八年級幾何題總分為30分，占總分120分的25%。P為幾何總分/總分，M為調查總人數中幾何得分在所得總分中占比超過P值的人數，N為M/調查總人數。

這個調查結果清楚地表明，學生的幾何部分能力水平相較于代數部分明顯處于劣勢，并對學生數學的學業成績產生了重要的影響，亟須我們分析原因，采取對策。

2.一個例題

已知，如圖1，AF是△ABC一邊上的中線，D、E分別是AB、AC的中點，求證：DE和AF互相平分。

學生常見錯誤：

1.∵AF為中線∴ DE和AF互相平分（因為所以之間沒有任何邏輯聯系）。

2.直接證△ADG≌△AEG（錯誤一：問題被理解成AF平分DE，所以想通過全等證明，錯誤二：本身這兩個三角形不具備全等的條件）。

3.只會證DE平行且等于1/2BC（認為已知與求證之間沒有必然的聯系）。

引出的問題：

探究學生幾何解題中存在的問題，分析問題產生的原因，檢視思維發展的過程，從而幫助他們提高解決幾何問題的能力和學業成績，這顯得更加重要與急迫。

二、初中幾何教學的現狀和存在的困難

幾何推理的邏輯性和思維表達的縝密性經常讓學生感覺幾何抽象難懂，對解題過程的要求有點吹毛求疵。在解題時，學生的思路難以打開或是知道內在的邏輯卻無法用邏輯化的語言層層遞進地表達出來。不少學生的幾何證明長期停留在模仿的水平，遇到思維有一定的跳躍性的，特別是需要做輔助線的題型就無從下手。他們不善于讀圖，對題目提供的圖形常常無法充分利用。在幾何教學實踐中，許多教師也都感到幾何難教，學生覺得難學，尤其是幾何證明題。考慮到不同的學生對幾何證明題的理解和解決是不同層次的，要在同一課堂中讓所有學生齊步前行有相當的困難。如何幫助學生順利地從直觀形象思維過渡到抽象邏輯思維是在初中幾何教學中一個嚴峻的挑戰。

三、研究的理論依據和理論依據在幾何教學中的意義

SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分類評價法是一種以等級描述為基本特征的質性評價方法，由澳大利亞學者約翰·比格斯（Biggs）教授在《評價學習的質量———SOLO分類法》（1982）一書中提出，理論的基礎是皮亞杰的認知發展階段論。比格斯認為人的認知是階段性的。學生在學習具體知識的過程中，都會經歷一個從量變到質變的過程。每發生一次躍變，學生在對于這種知識的認知就進入更高一級的階段，因此可以根據學生在答題時具體反饋來判斷學生對當前問題的理解所處的思維發展階段，從而給予科學的評價。比格斯把學生對某個問題的學習結果由低到高劃分為5個層次：前結構（學生基本上無法理解問題和解決問題，只提供了一些邏輯混亂、沒有論據支撐的答案）、單一結構（學生找到了一個解決問題的思路，但卻就此收斂，單憑一點論據就跳到答案上去）、多元結構（學生找到了多個解決問題的思路，但卻未能把這些思路有機地整合起來）、關聯結構（學生能夠使用多個可獲得的線索或資料，并將它們融會貫通成為一個有機的整體，并能解決較為復雜的問題）、拓展抽象結構（學生能夠對問題進行抽象的概括，從理論的高度來分析問題，而且能夠深化問題，使問題本身的意義得到拓展）。

1.SOLO分類評價法能有效地評價學生的幾何學習質量

分析學生的SOLO水平（思維反應層次）對老師了解學生的認知水平，找到學生在理解上的瓶頸，增強教學的針對性，提高教學質量有積極作用。SOLO水平高的學生有非常好的理解問題、分析問題、解決問題的能力，能發散性地思考，并能把相關聯的信息建立起聯系，從而進一步抽象出可遷移的理論，因此，也總能有較好的幾何學業成績。反之，則必然成績不佳。所以，SOLO水平能科學地評價學生幾何學習質量。

2.SOLO分類評價法能發現學生對幾何知識理解上的誤區

找到學生在幾何問題理解上的誤區對教師提高教學的有針對性、改善教學質量有立竿見影的效果。SOLO分類評價法在對學生的反應水平進行分層的同時也對錯誤的理解類型進行了分類，不同結構水平的回答能顯示出學生在理解上的缺陷。例如，處于前結構水平和單元結構水平的學生在知識點的理解上存在困難;處于多元結構水平的學生難以找到量與量之間的相互關系;而處于關聯水平的學生思維不夠發散。筆者準備借助SOLO分類評價理論對學生在解題時出現的各種錯誤情況進行分類整理，使學生和教師都清楚地分清學生的錯誤在何處，便于接下來師生針對存在問題采取有效的手段改進，進一步研究各種錯誤的情況明確采取什么樣的策略比較有效，以提高幾何教學的質量。

3.SOLO分類評價法能探究引發學生產生誤解的原因

通過開展SOLO測試并結合訪談，可以幫助教師了解學生回答問題時的不同思維方式，探求引發學生產生錯誤理解的原因。例如在一次次小測驗中，部分學生在做題時遇到圖2，會錯誤地以為∠1和∠4是內錯角。通過和學生的談話，我們發現學生之所以有這樣的誤解可能是數學教師在概念教學中片面強調只要看到Z形的圖形就可以找出內錯角，因此當學生在右圖中看到直線AB與直線EF之間似乎也構成了一個Z形，就得出錯誤的結論。經過這樣的測試，可以發現學生在理解三線八角時存在問題，數學老師在了解到這個情況后，及時調整教學方法，對存在誤解的同學進行課后輔導，糾正錯誤理解，從而提高了教學質量。

4.SOLO分類評價法能夠有效地測量學生的思維水平

SOLO分類評價法能較準確地測量出學生的思維水平。例如我們在教學中有時會發現這樣的學生，他們的考試成績僅處于中下游，但SOLO分類評價測試的結果卻顯示他們的思維反應處于抽象拓展水平。深入調查會發現，這樣的學生思維往往比較靈活，只是近一段時間學習態度欠佳，沒有認真做作業，考試成績比較差只是這段時間的學習狀況的體現，不能真正反映學生的學習能力和思維水平。因此，老師應從分析學生學習態度不理想的原因入手，與學生、家長進行溝通，排除影響學習態度負面因素，提高學生學習的積極性和興趣，從而提高學習效率。根據SOLO的基本設想，教學評價應該更多地關注學生在回答問題時表現出來的思維結構。因此，在考評學生的邏輯思維能力時，也應關注學生使用的幾何語言體現出來的思維結構水平。

四、SOLO分類評價法在初中幾何推理中的個案研究

1.研究對象

（1）研究對象的確定

受到條件的限制和研究的需要，筆者以自己教學班的學生為研究對象。在研究期間，筆者所教學的班級剛好從八年級升到九年級，所以對同一個學生有八年級時的研究和九年級時的研究，研究的人數為6人，人員確定是筆者根據學生有記載的數學成績進行分層，共分三層（A、B、C），每個層次的學生隨機抽取2人。

（2）研究對象的編碼

用一個六位數的編碼表示一個學生的具體信息，6位學生八年級時可以分別記為801A01、801A02、801B01、801B02、801C01、801C02，例如801A01表示八年級01班A層次第一個研究對象。同樣這6個學生九年級時可以分別記為901A01、901A02、901B01、901A01801B02、901C01、901C02，例如901A01表示九年級01班A層次第一個研究對象，801A01和901A01表示同一個人。

2.試題的編制

（1）根據學生的情況每個層次在八九年級編制了難度不同的試題各2題。即八年級A層次2題，八年級B層次2題，八年級C層次2題，九年級A層次2題，九年級B層次2題，九年級C層次2題，試題詳見附件1。

（2）試題編制的內容，八年級幾何研究的重點是特殊的四邊形，因此選擇八下特殊四邊形中的內容，九年級上幾何研究的重點是圓和相似，因此選擇的內容為圓和相似的綜合題。

（3）根據試題的編制和學生分層中可能存在的不合理因素，在試題的檢測中遵循A層次的學生先做A層次的題，有做不出就做B層次的題;B層次的學生先做B層次的題，能做再試試A層次的題，不能做就做C層次的題;C層次的學生先做C層次的題，能做可以繼續做B層次的題，若不能做則只要求畫出已知、求證和備用條件并寫出來。

3.SOLO分類評價法在初中幾何題中的使用策略

（1）介紹策略的使用步驟：

仔細審題（理清已知條件、隱含條件及問題）——理解題意（利用定理、定義、概念等從已知條件、隱含條件中推出相應的結論，作為備用條件）——確定思路（結合問題組織已知條件、隱含條件及備用條件，選擇跟問題有關的有用信息）——實踐反思（根據解題思路寫出證明過程，反思整個推理過程，若不嚴密或不準確再重新審題，重復前面的步驟）。

（2）舉例說明

如圖3，AE是⊙O的直徑，△ABC內接于圓，AD⊥BC于D。求證：∠1=∠2

步驟一：劃出已知條件和問題。

步驟二：從已知條件推出備用條件。①→直徑所對圓周角是直角（連接BE或EC）→∠1與∠AEB互余或∠EAC與∠AEC互余;③→∠2與∠C互余。

步驟三：結合問題確定思路，要證∠1=∠2只要證∠AEB=∠ACB，而這兩角都是弧AB所對的圓周角，問題解決。對比連接BE和EC，顯然連接BE更恰當。

步驟四：根據思路寫出完整的過程。

∵AE是⊙O的直徑? ∴∠ABE=90°? ∴∠1+∠AEB=90°∵AD⊥BC? ∴ ∠2+∠C=90°

∵∠AEB和∠ACB是弧AB所對的圓周角∴∠AEB=∠ACB ∴∠1=∠2

反思一：已知圓中有直徑這一條件基本的輔助線就是作直徑所對的圓周角。

反思二：充分利用圓周角與所對弧的關系，證明兩角相等。

4.個案研究達到的預期目標

（1）教師借鑒SOLO分類評價法對學生在幾何推理能力過程出現的情況進行分類，思維水平分類如下：

1級水平：找出題中的已知條件、隱含條件及問題（已知和隱含條件可以分別記為D1、D2、D3……）

2級水平：利用定理、定義、概念等從已知推出相應的結論C1、C2、C3……

3級水平：能在2級水平上進一步組合推出新的結論。B1、B2、B3……

4級水平：在3級水平上，若條件之間缺少必要的聯系，需要通過輔助線的幫助才能解決的。A1、A2、A3……

教師借鑒SOLO分類評價法診斷學生的思維水平和存在的問題，直觀地知道學生屬于什么思維水平，并探究低一級水平向上一級水平過渡主要的問題是什么。例如一位學生能畫出條件完成步驟一，但對于例題中①的條件不知怎么用，從而診斷出他的具體問題是什么（這里可以知道學生的問題是對圓周角的推論直徑所對的圓周角等于90°不會用，學生也知曉是直徑這個條件不會用），同時教師也清楚了這個問題如何解決（如采用圓周角推論的強化策略，已知條件中有直徑一般作直徑所對的圓周角，有90°的圓周角連接圓周角所對的弦，此弦是直徑;也可增加有針對性的練習，鞏固應用）。

（2）個體反思和同伴互助

學生自己、同伴之間根據SOLO分類評價法能判斷學生自己或同伴的思維水平和存在的問題，直觀地知道自己或同伴屬于什么水平，學會反思，也學會幫助同伴，改進幾何學習，提高幾何學習的效率和效果。

（3）總結一些克服解幾何推理題感覺困難的一般策略

通過借鑒SOLO分類法在幾何教學中的個案應用，總結一些克服幾何推理難點的一般策略，如分層批改作業法，思維導圖法，間接條件法，同伴互助交流，劃出已知、問題并與圖相結合使用的實踐動手策略等。

5.個案研究的實施

（1）6位選定的學生在一個規定的時間內進行測試。先做20分鐘，再介紹SOLO分類評價法直至學生清楚方法的使用，再給學生15分鐘用SOLO分類評價法的方法做，最后把學生使用SOLO分類評價法完成試題前后情況匯總（八年級題具體見附件1）：

（2）通過分析學生在試題的問題，從而診斷學生在學習中存在的問題。

（3）6位選定的學生在一個規定的時間內進行測試。先做20分鐘，再次強調使用方法，再給學生15分鐘用SOLO分類評價法的方法做，最后把學生使用SOLO分類評價法完成試題前后情況匯總（九年級題具體見附件1）：

（4）通過分析學生在試題的問題，從而診斷學生在學習中存在的問題。

五、總結一些突破幾何推理難點的一般策略：

1.利用思維導圖整理知識網絡和理順解題的一般步驟

幾何部分的學習涉及很多相互之間存在密切關聯的概念。對一些學習能力不強的學生，要記憶、理解、應用這些概念并利用這些概念建立起一個具有內在邏輯關系的網絡是十分困難，從而經常會出現知識點遺忘或是概念混淆的情況，嚴重影響學習的效果。思維導圖的運用可以以形象化的形式幫助學生建立起一個直觀的可視化的宏觀網絡，把各個知識點，包括概念、定理、解題技巧、思想方法，以其內在的邏輯關系生動地組織起來，避免了知識點之間的孤立和碎片化，既有利于記憶，也有利于理解，同時體現了世界萬物互聯的思想。下面是學生對四邊形這一內容的整理：

同時，思維導圖對于解幾何題有著同樣的功效。它可以幫助學生更好地分析理解題意，找到解決問題的關鍵，綜合各種已知條件，促進推理和聯想，在嚴謹的思維基礎上做出合理的發散，從而更加科學高效地解題。它使整個解題過程不再神秘莫測，而是有章可循。我們根據解題時的思維發展可以把解題分成以下幾個步驟：

2.利用間接條件法讓學生由易到難動手實踐

不管是在平時練習還是在各類中考題的難題中，幾何題都不是難到一點都不能入手，往往只是有那么一兩問不易理解，沒有思路解決而已，而學生在解題時往往糾結于最難的一兩問，沒有從已知條件出發，尋找可以得到的間接條件，然后從這些間接條件的組合中尋找解決問題的策略。例如801B02在解決A層次第一題時開始不會，在介紹完SOLO分類評價法后筆者讓他把所有從已知條件能得到的間接條件都寫出來，他在題的邊上一一列出，并在圖中畫出來，很快他就找到了解決問題的方法。

如圖4，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于G，

EF⊥AB于F，問四邊形CGFE是什么特殊的四邊形，請證明。

由角平分線AE、EF⊥AB、Rt△ABC得到CE=EF;

由CD是斜邊AB上的高、EF⊥AB得到CD∥EF;

由Rt△ABC中、CD是斜邊AB上的高、角平分線AE得到∠CGE=∠CEG，從而得到CG=CE。

從而馬上得到思路：先證CG平行且等于EF，得到四邊形CGFE是平行四邊形，再加上CE=EF或CG=CE即可，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

解決問題特別是難的綜合題不是一蹴而就的，需要一步一步、由易到難去解決，很多時候讀懂題意還不夠，還要把所有能得到的間接條件都寫出來并在圖中畫出來后才能真正理解題意，在此基礎上再去組合間接條件，選擇各種方案進行嘗試，才能解決問題。

3.培養尋找解題思路的三種方法

解題思路是解決幾何推理問題的關鍵，“授人以魚，不如授人以漁”，培養學生尋找解題思路的方法非常必要和迫切。我們常見尋找思路的方法有三種：綜合法、分析法、分析綜合法，在平時的幾何推理教學中要教給學生這些尋找解題思路的方法。例如綜合法的培養，解題思路實質上就是從已知條件到解題目標的一連串的命題間的推出關系，即

從已知條件到合適的備用條件一步一步、一環扣一環向解題目標邁進，綜合法就是一種由因導果的方法，有了定義、定理、公理等命題作為基礎和支撐，尋找解題思路就容易了。類似，分析法就是由果索因的方法，由解題目標去尋找目標成立的等價條件，從而一步步推向已知條件。當綜合法和分析法使用不是很順暢的時候，也可試試分析綜合法。

4.基本解題思路的整理

好的方法只有真正落實了方能見效，因此克服學生的惰性，更真實地反應學生在學習中存在的問題成為當務之急。學生在平時審題時往往粗枝大葉，沒有認真讀題，懶得從已知條件推出間接條件，也懶得把已知條件和間接條件在圖中畫出來，從而造成對題意的理解不清，不能準確地解答問題，造成教師不能準確地獲得學生真實的學習情況，影響教學效率。在平時的學習中學生也不能自覺、自然使用此方法，往往在教師的提醒下或遇到困難時，才會去使用，如何把SOLO分類評價法內化到學生的幾何推理過程中，需要在教學中不斷強化和使用，逐漸把方法使用培養成學生解題的習慣。

在垂徑定理有關的計算教學中，所有計算都與半徑、弦心距、弦的一半有關，不外乎已知三者中的兩個求剩下一個，或是已知三個中的一個和另外兩個未知量的關系，求這兩個未知量。解決這類問題的方法都是勾股定理，在圖中三者缺什么就添什么。例如九年級A層次第一題中求點C的坐標（即求弦的一半OC的長）、九年級C層次第二題求AD的長（即求弦BD的長），做這樣的計算題學生的思路就非常清楚了，九年級A層次第一題中缺半徑所以要連接O'C，九年級C層次第二題中缺弦心距所以作弦心距CE。又如九年級A層次第二題和九年級B層次第一題中條件都有直徑（或是圓周角是直角），對于這樣的條件處理的基本思路，從關鍵詞出發直徑一般作直徑所對的圓周角得到這個圓周角是直角;圓周角是直角一般連接這個圓周角所對的弦即這條弦是直徑，接著根據其他條件相應解決。所以九年級B層次第一題的思路就非常簡單只要連接AD得到圓周角ADB等于90°，再利用DC=BD，由中垂線得到AB=AC，問題解決。九年級A層次第二題中AC⊥CB，即∠ACB是90°的圓周角，所以AB是直徑，因此要找r只要取AB的中點O并連接OC即可。通過基本解題思路的整理，提高學生分析問題、解決問題的能力。

5.作業的分層批改和差異化的評價

教師借鑒SOLO分類評價法診斷學生的思維水平和存在的問題，直觀地知道學生屬于什么思維水平，了解向思維水平向上一級遷移存在的主要障礙，同時要讓學生明確自己的狀況（會什么，不會什么，不會的原因是什么），反思原因，讓他們找到提高思維水平和解決問題的切入點。教師要準確判斷學生的實際水平，對學生的作業進行分層批改是一種不錯的選擇。作業分層批改可以幫助教師找到相同層次學生之間共性或類似的問題和不同層次學生之間存在的差異，而差異化的評價能針對不同層次的學生提出不同的要求，做出不同標準的評價，讓盡量多的學生得到鼓勵和支持，在自己現有的基礎上得到不同的發展，實現個性化的教學。

6.同伴互助學習

同伴互助學習實質上就是聚焦于課堂教學中常常被忽視的生生互動環節，充分發揮其潛在的積極作用。和跟教師交流相比，同學之間的交流會更輕松、更順暢，因為師生之間的差異，包括智力、學歷、知識經驗等，肯定比同學之間的差異來得明顯。同學之間有著類似的學習背景、身心發展階段、智力發育水平，對于同一個知識點容易產生相似的認知程度，他們可以更清楚地知道疑惑產生的原因，更高效地解答。在同伴互助學習中，學生自己、同伴之間根據SOLO分類評價法能判斷學生自己或同伴的思維水平和存在的問題，直觀地知道自己或同伴屬于什么水平，學會反思，也學會幫助同伴，改進幾何學習，提高幾何學習的效率和效果。

本文是借鑒SOLO分類評價法的個案研究，在個案研究上采取了一些方法和手段，也取得了一定的成果，但個案的研究成果對全體學生的幾何教學是否有效，有待檢驗和進一步的研究，這是筆者下一步研究的重點。

參考文獻：

[1]黃黎明，顏穗芬.SOLO分類評價理論及其對新課程改革的啟示[J].天中學刊，2007（6）.

[2]吳有昌，林曉君.運用SOLO分層法進行數學教學評價的一次調查研究[J].基礎教育課程，2009（12）.

[3]胡云亞.思維導圖在初中數學中的應用[J].考試周刊，2009（9）.

[4]楊其松.思維導圖：數學解題教學的有效工具[J].考試周刊，2012（3）

[5]劉坤，李巖，徐曉陽.試論命題間推出關系在中學數學中的基礎地位與對策[J].數學通報，2012（9）

八年級A層次第一題（見圖5）：

如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，問四邊形CHFE是什么特殊的四邊形，請證明。

八年級A層次第二題（見圖6）：

在四邊形ABCD中M、N分別是BC、AD的中點，AB=CD，延長BA交MN的延長線與點E，CD的延長線交MN與點F。求證：∠BEM=∠CFM。

八年級B層次第一題（見圖7）：

已知如圖：在△ABC中，AB、BC、CA的中點分別是E、F、G，AD是高。求證：∠EDG=∠EFG。

八年級B層次第二題（見圖8）：

已知：如圖，△ABC是銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作兩個正△ABM和△CAN，D、E、F分別是MB、BC、CN的中點，連結DE、FE.求證：DE=FE。

八年級C層次第一題（見圖9）：

已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點O，F，G分別是OB，OC的中點.求證：四邊形DFGE是平行四邊形。

八年級C層次第二題（見圖10）：

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE=CF且四邊形DEBF是平行四邊形.求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

九年級A層次第一題（見圖11）：

如圖，點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，

（1）求過A、B、C三點的拋物線解析式;

（2）在（1）中的拋物線與⊙O′還有交點嗎？若有則求出該點坐標，沒有請說明理由;

（3）（1）中的拋物線頂點在圓上嗎？若在請說明理由，若不在，則請說出應怎樣平移才能使拋物線頂點在圓上。

九年級A層次第二題（見圖12）：

如圖，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于點C，AC⊥CB交BE于點A，△ABC的外接圓半徑為r。

（1）求證：BE·BD=r·DE;

（2）若BD=3，DE=4，求AE的長。

九年級B層次第一題（見圖13）：

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，

連結AC交⊙O于點F.

問：AB與AC的大小有什么關系？為什么？

九年級B層次第二題（見圖14）：

如圖，AB和CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，AB=2，∠EAB=15°，AE、DB的延長線交于點F，求：

（1）求∠FAD的度數;

（2）△ADF的面積。

九年級C層次第一題（見圖15）：

已知：如圖，AB、DE是⊙O的直徑，AC∥DE，交⊙O于點C，求證：弧BE=弧EC。

九年級C層次第二題（見圖16）：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點C為圓心，BC為半徑作圓交AB于點D，求AD長。

編輯 李博寧