數學建模的教學案例

馬建

葉圣陶先生在20世紀80年代提出“教是為了達到不需要教”。在小學數學教學中，運用自我調節理論，引導學生借助數形結合的方法實現自我建模學習，是培養學生可持續發展數學學習能力的有效途徑，是踐行葉圣陶“教為不教”理念的有益嘗試。下面就江蘇省南通市如皋外國語學校丁洪老師執教的人教版五年級上冊“2、5、3倍數特征的再認識（你知道嗎？）”一課為例，談談筆者的思考。

課例分析

自我調節學習理論告訴我們，小學生的數學建模學習是學生自我心智模式的主動建構，有賴于學生自我學習動機的支撐。丁洪老師這堂“2、5、3倍數特征”學習后的整理復習課，以砸金蛋游戲引入，游戲情境既有童趣，又極具數學味，很好地調動了學生模型建構的主動欲望。

教師首先出示4只金蛋（每只金蛋里面藏著0～9的數字）。

談話引入：孩子們，喜歡玩游戲嗎？我們先來玩個砸彩蛋的游戲。

砸一砸：判斷這個數是不是5的倍數怎么砸？2呢？3呢？為什么？

理一理：2和5的倍數，只看個位;3的倍數，要看各位。

教師小結：看來，判斷2和5的倍數只要局部思考，看個位就行了;判斷3的倍數則需要整體把握，每個數位上的數字都要看。

富有童趣的“看什么”的問題解決以后，教師問：對比一下這些倍數的特征，你能提出什么新的問題嗎？為什么2和5的倍數只要看個位，而3的倍數卻要看各位上數的和呢——探究特征背后蘊含的數學奧秘，自我構建關于倍數特征的數學模型成為孩子們的一種自我抉擇！

丁洪老師并沒有就此打住，而是進一步引導學生進行自我反思：“這個問題你想到了嗎？提得好嗎？好在哪兒？”連續三個問題，喚起每個孩子的問題意識，奠定的是“我的模型我要建”的心理傾向。

數形結合建模

人教版教材的“你知道嗎”是這樣設計的：

2485=2480+（ ）

2485=2×1000+4×100+8×10+5

=2×（999+1）+4×（99+1）+8×（9+1）+5

=2×999+4×99+8×9+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）

抽象的算式加上簡潔的啟發式文字，這是一種純數論意義上的抽象模型，如何破解這一理解難點，讓學生真正構建起符合兒童心智水平的“我的數學模型”，丁洪老師做了很好的嘗試。一是找準模型構建切入點。他引導學生思考：判斷一個數是不是5的倍數，只要“看個位”，不用看的數位有很多，你準備從哪一位研究起，怎么研究呢？思維的起點在十位，而從十位到百位、千位……的自然推論是由此及彼、舉一反三數學思維的自然邏輯，也是由扶到放、自我建模這一“教為不教”理念的生動體現。二是從計數器到數位表，拾級而上，數形結合構建數學模型。在直觀圖的支撐下：幾十、幾百和幾千……都是5的倍數，這是確定的事情;而個位上的數字代表幾個一，是不是2和5的倍數并不確定。于是，以“確定區”與“待定區”為邏輯框架的數學模型躍然而出，孩子們在數形結合策略的支持下，順利實現數學建模。三是在“涂、畫、說”中破解3的倍數特征模型構建難點。3的倍數特征判斷的數學模型建構是本課的學習難點，丁洪老師先利用動畫使學生明確“一個數是3的倍數，就是3個3個的分，沒剩余”，然后放手讓學生開展合作探究。在學生“涂一涂”“畫一畫”“說一說”的自主探究基礎上，教師出示如上圖右側的表象圖，“各位上數的和（a+b+c+d，也就是所謂‘看各位）”，作為“待定區”構成了3的倍數特征的判斷的新模型，巧妙地化解了學生的建構難點。

自我調節打開思路

2、3、5倍數特征模型的“這一個”如何演繹為更多數倍數特征模型的“那一片”，讓“這一個”數學模型生長為支撐兒童數學探索的、具有“擴容空間”的“那一片”思維模式，丁洪老師的設計為我們打開了思路。

砸金蛋的游戲仍在繼續：“同學們，你們還想砸出誰的倍數呢？現在只需要砸哪幾個金蛋呢？”一石激起千層浪：“我想砸出4的倍數”“我想砸出……”“好，同學們分小組討論一下，怎樣砸最少的金蛋，迅速判斷出這個數是不是你想的那個數的倍數？”同學們的演繹是精彩的：4的倍數中要砸最右邊的兩個金蛋，因為整百數是“確定區”，而十位和個位組成的兩位數是“待定區”;9的倍數和3的倍數一樣，每個數位上的數9個9個地分，剩余的數就是那個數位上的數，所以要砸開所有的金蛋，看各位上的數的和是否是9的倍數;6的倍數首先是看是否是偶數，然后還要看是否是3的倍數，所以也要砸開所有的金蛋……

第二次“砸金蛋”的過程，正是數學模型的驗證調節過程。顯然，“去除確定區、關注待定區”的倍數判斷數學模型，與直接試除方法相比，是更為便捷有效的思維方式。“確定區”與“待定區”的厘定方法是千差萬別的，但思維模式卻是一致的，這也正是數學建模的思維價值所在。

在小學生數學建模學習中，如何立足兒童年齡特點，巧用數形結合等策略，引導兒童自我構建充滿生機的數學模型，數學學習能力將會得到進一步提升。

（作者單位：江蘇省南通市通州區石港小學）