基于數學核心素養的“二項式定理”的教學設計

江蘇省常熟市滸浦高級中學 (215512) 殷偉康

林崇德教授認為：數學核心素養是學生通過數學的學習、反思、積累、升華孕育出來的，面對復雜的、不確定的現實情境和問題，能夠綜合運用特定的數學概念、知識、技能、思維模式、探究技能等，用積極的態度、科學的精神去分析問題、提出問題、解決問題、交流結果的過程中表現出來的綜合性品質.如何在平時的課堂教學中培養學生的數學核心素養呢？筆者以在2017年省級骨干培訓活動中上的公開課《二項式定理》為例，闡述基于數學核心素養的教學設計和反思.

一、教材解讀

二項式定理是蘇教版《數學·選修2-3》第1章第5節的內容，它是代數多項式乘法的推廣.這節課的內容安排在“計數原理”之后進行學習.一方面，因為二項式定理的證明要用到計數原理，可以把它作為計數原理的一個應用；另一方面，由于二項式系數是一些特殊的組合數，利用二項式定理可以進一步深化對組合數的認識，二項式定理也是解決整除、近似計算、不等式證明等問題的有力工具，同時也是學習隨機變量及其分布、二項分布、數學期望等內容的知識基礎，因此二項式定理起著承上啟下的作用.

教學重點：用計數原理分析二項展開式，歸納得到二項式定理.

教學難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各項系數的規律.

二、教學目標

(1)從實際數學情境中抽象歸納出二項式定理的概念，體會由特殊到一般的數學研究方法，培育數學抽象素養；

(2)從特殊到一般猜想、發現二項式定理，經歷“歸納、猜想”的過程，培育數據分析、數學建模素養；

(3)探索二項式定理的證明過程，讓學生會用計數原理推導二項式定理，并感受數學內在的和諧、對稱美及數學符號應用的簡潔美，培育邏輯推理、數學運算、直觀想象素養；

(4)學生能正確地運用二項式定理求解有關二項式系數、項的系數等問題，培育邏輯推理、數學運算素養.

三、教學設計

1．創設情境，激發興趣，誘發思考

問題情境：1664年冬，偉大的科學家牛頓(22歲就讀劍橋大學)在研讀英國數學家沃利斯的《無窮算術》中的(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3時，發現了(a+b)n展開式的規律(即二項式定理).

設計意圖：遵循“歷史發生原理”，把牛頓發現二項式定理的歷史融入新課導入，既能激發學生的學習興趣，啟迪思維，又能讓學生受到數學文化的熏陶，培育數學素養．

問題1 (a+b)2，(a+b)3是怎樣得到這些展開式的？

生：(a+b)3是指由三個多項式(a+b)相乘，運用多項式乘法法則，每一項就是從每一個因式中選一個字母相乘得到.即a3是由三個a相乘得到，a2b是由兩個a和一個b相乘得到，ab2是由一個a和兩個b相乘得到，b3是由三個b相乘得到.

生：也可以將(a+b)3看成(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)，再展開.

問題2 如何求解(a+b)4的展開式？

生：將(a+b)4看成(a+b)2(a+b)2=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)，再展開.(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

生：將(a+b)4看成(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)，再展開.

設計意圖：多項式乘法法則是推導二項式定理的本源之一，在此過程中，引導學生依據多項式乘法法則探求展開式每一項的構成及項數，強調運算規則的運用與算法過程的分析，直指“數學運算”“邏輯推理”核心素養的培育.

2．自主探究，發現規律，提出猜想

問題3 根據多項式概念，你認為應從哪些角度觀察以上三個公式的共同特征？

引導學生從展開式中的“項數、次數、項及其系數”等方面來探究其規律.

設計意圖：讓學生提取記憶中關于多項式乘法的相關概念，在概念的指引下，觀察多項式的要素“項數、次數、項及其系數”的規律，這就是“玩概念”的含義.教師要在“項的特征”上加強引導，發現規律.

問題4 由此你能得到關于(a+b)n展開式的哪些猜想？

通過學生獨立思考，小組討論，合作學習，發現(a+b)n展開式有如下規律：

(1)展開式共n+1項；

(2)每一項中a,b的指數之和都為n，即各項的次數都等于二項式的次數n；

(3)字母a按降冪排列，次數由n遞減到0，字母b按升冪排列，次數由0遞增到n；

(4)首尾兩項an,bn的系數都為1.因而初步歸納(a+b)n的展開式，主要是中間n-1項的系數還要進一步歸納探究.

設計意圖：由特殊到一般的歸納總結，離不開大量特殊實例的觀察．只有將大量具體實例進行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般性規律的結論．也只有對得出各種結論進行整合分析，才能讓學生順暢的抓住展開過程的兩個要點，即項的結構和項的系數，才能讓學生明確進一步進行探討和分析的方向.重在對數據分析、邏輯推理、數學運算和直觀想象素養的培育.

3．驗證猜想，探究系數，意義建構

問題5 用上述歸納的方法很難得到展開式的系數，能否換一個角度思考問題呢？如(a+b)3展開式中a2b項的系數為什么是3？

生：多項式乘法法則是從每一個括號取一個字母相乘即得展開式一項.因為(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)，所以(a+b)3展開式中的每一項是由三個(a+b)中選取一個字母相乘得到.如a2b是兩個a和一個b相乘得到的，兩個a和一個b分別取自三個括號，這種取法有3種，合并后系數就是3.

問題6 口袋中有形狀大小相同的一只紅球(記作為a)和一只白球(記作為b)，先摸出一只球，記下其顏色后放回，再摸出一只球，記下其顏色后放回，依此下去.如果有放回的摸三次，那么摸到的一只白球概率為多少？

請學生解釋(a+b)4的展開式各項系數是根據取幾個b情形，運用組合數來確定.

設計意圖：在探求a2b項的系數過程中，順勢用“取球模型”形象生動地進行了描繪，幫助學生將多項式乘法法則與計數原理建立聯系，用組合數表達項的系數，然后將這條規律類比推廣到一般情形，探索出(a+b)n的展開式各項結構特征.讓學生抽象概括出二項式定理的表達式，不僅有利于學生二項式定理的數學概念的意義建構，而且能提升學生的數學抽象、數學建模和數學運算等核心素養.

4．鞏固新知，深化理解，提升能力

例1 用二項式定理展開下列各式：

(2)(a-b)6=a6-6a5b+15a4b2-20a3b3+15a2b4-6ab5+b6.

例2 求(1+2x)7的展開式中的第4項以及第4項的系數.

例3 求(a+2b+c)6的展開式中a2bc3系數.

設計意圖：設計有層次性的系列問題，例1(1)讓學生熟悉二項式定理，例1(2)讓學生比較例題與公式結構的異同，突出轉化的思維策略；通過例2，引導學生區分項的系數和二項式系數兩個不同概念，鞏固通項公式的應用，強調項的特征；例3回歸系數的本質，深化對二項式定理的理解和應用.

四、教學反思

章建躍教授認為“從數學知識的發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養的關鍵點.”因而，在制定教學目標的教學設計過程中，教師要思考相應數學核心素養培養的孕育點和生長點，研究其融入教學內容、教學過程的具體方式和載體，如何將學生的數學核心素養培養落到實處.

1．數學抽象素養的培養

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征.創設問題情境，引導學生觀察(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4展開式特征，從中找尋它們的共同特征，歸納概括出它們的共同特征及其數學規律，從而抽象、概括猜想出(a+b)n展開式的形式和特征.讓學生經歷“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的歸納和抽象過程，在變化不定的特例展開式中把握其變化規律和不變的整體特征及規律，并能夠準確地運用數學符號予以表達，理解二項式定理的數學本質，從而促進學生數學抽象核心素養的提升.

2．邏輯推理素養的培養

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.引導學生對n=2,3,4三個特例入手研究，歸納概括它們展開式的共同特征，從中思考(a+b)n展開式的特點，通過探究，類比猜想出(a+b)n展開式的形式和特征，探索論證思路，并進行論證，體驗從特殊到一般的探究過程.讓學生理解探究二項式定理的產生背景，來龍去脈，促進學生數學概念的意義建構，掌握特殊化的數學方法和科學研究的一般方法.促進學生演繹推理能力、合情推理能力的培養，從而促進學生邏輯推理核心素養的提升.

3．數學建模素養的培養

本節課教學難點是用組合知識體現二項式定理展開式的項系數的規律.通過觀察(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4展開式中各項的特點，試圖讓學生探索其規律，但學生對此類數學規律感到很陌生，甚至無法通過觀察得出項的系數的組合數表達.筆者從思考能否有什么方法使項的系數用組合數表達顯得自然一點，通過“取球模型”將二項式定理的展開過程中項的系數與計數模型聯系起來，讓學生明確各項的形成過程就是有關計數原理的應用的問題.而各項的系數，就是展開過程中該項出現的次數.這樣的探究過程符合學生的認知規律，有利于突破教學難點，滲透數學建模意識.事實上通過二項式定理的探究，讓學生經歷這個新模型的構建過程，即經歷“分析問題-歸納模型-猜想結論-論證猜想”這一完整建模過程，有助于學生原有知識信息的提取和新的知識建構，促進學生數學建模核心素養的提升.