挖掘教材例題潛在功能 提高學習效率

安徽省無為中學 (238300) 丁福全

蘇聯數學教育家奧加涅相說過：“必須重視，很多習題潛在的進一步擴展其數學功能、發展功能與教育功能的可能性……”.中學數學教材中的例(習)題，凝聚了幾代專家、學者的集體智慧與結晶，一般具有典型性、代表性、示范性與明確的針對性，因此研究這些例(習)題，挖掘隱藏其背后的數學思想、方法、定理不僅能夠培養學生的探究能力，提高學習效率，而且還能在學生“最近發展區”產生認知沖突，從而構建新的知識體系，同時也能促進學生重視數學教材，不搞題海戰術，減輕過重的學習負擔.

本文以人教版高中數學教材中的例習題為例并結合相關的高考試題，說明在教學過程中如何挖掘教材例習題的潛在功能，讓學生在學到數學知識、思想、方法的同時，更能體會到教材中的例習題是如何與高考試題發生聯系的.

案例1 (人教版高中數學必修4第105頁例2)對任意的a,b∈R恒有(a+b)2=a2+2ab+b2，

(a+b)(a-b)=a2-b2.

教材利用向量數量積的運算律對①式進行了證明.本例到此為止，學生只能通過本例掌握了向量數量積的乘法運算法則.若能引導學生運用類比方法對此例作如下探究：

圖1圖2

極化恒等式將平面向量的數量積運算轉化為兩個平面向量的長度運算，使不可度量的數量積關系轉化為可度量、可計算的數量關系.極化恒等式的應用十分廣泛，利用它可以快速有效地解決與向量的數量積有關的最值、范圍、模長等問題.下面以兩道高考試題說明.

圖3

解：由極化恒等式可得

圖4

南粵古驛道分布廣泛，沿途自然條件和歷史人文底蘊各不相同，南粵古驛道標識系統的建設效果對打造連續完整、具有整體效果的南粵古驛道歷史游徑具有重要意義。目前，南粵古驛道標識系統以《南粵古驛道標識系統設計指引》為基礎，在乳源西京古道、南雄梅關古道等地進行了諸多嘗試，標識主要類型集中于指引類和記名類，對于標識的特色化實踐仍有待加強。美國歷史游徑標識系統從多個方面為南粵古驛道標識系統的設計和表現方式提供了參考和借鑒，南粵古驛道標識系統在吸取其經驗的同時，更應當在功能和表現上融入古驛道深厚的歷史文化內涵和獨特的地域風情，形成富有特色的南粵古驛道標識系統，并以此為媒介，提升地方的知名度和鄉村的活力。

當且僅當點P為線段AD的中點時取等號.

圖5

圖6

點評：本題若直接求解，不但難度大，而且計算量也大，求解過程十分繁瑣，從而導致求解困難.而直接應用三點共線向量定理求解，不僅降低了難度也簡化了計算，求解過程顯得十分簡潔.

例4 (2018屆武漢5月調考理科第16題)已

圖7

教材中的例習題一般都具有典型性、代表性、示范性，對課本上一些看似平談無奇的例(習)題進行深入的探究，可能有著意想不到的結果與功能，讓學生在學到知識的同時，掌握隱藏在其背后的思想方法、定理，活躍學生的思維、拓廣其思路，提高解題能力，收到事半功倍的效果.