速解函數(shù)f(x)=|x-a|+k|x-b|(k≠0)的最值問題

貴州省畢節(jié)市七星關(guān)區(qū)北大附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (551700) 劉先海

文[1]，[2]中根據(jù)，“當(dāng)k>1時，|x-a|+

k|x-b|=|x-a|+|x-b|+(k-1)|x-b|≥

|a-b|+(k-1)·0=|a-b|，僅當(dāng)x=b時取等號”，給出了函數(shù)f(x)=|x-a|+k|x-b|(k≠0)的最小值求法.本文對其實(shí)質(zhì)作探究，并形成一個針對此問題的快速解法.

文[1]，[2]解法實(shí)質(zhì)是用不等式||a|-

研究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f(x)=|x-a|+k|x-b|(k≠0)的最值都在兩個零點(diǎn)處取得，即f(x)min=min{f(a),f(b)}，f(x)max=max{f(a),f(b)}，根據(jù)k的取值范圍，有如下結(jié)果，

當(dāng)k>0時，f(x)=|x-a|+k|x-b|(a1時，

f(x)min=f(b)=|a-b|；當(dāng)0

當(dāng)k<0時，f(x)=|x-a|+k|x-b|(a

上述結(jié)果簡單概括為f(x)=|x-a|+k|x-b|(a

例1 求下列函數(shù)的最值

(1)f(x)=|x-1|+2|x+2|;(2)f(x)=|x-1|-2|x+2|;(3)f(x)=2|x-1|-|x+2|;(4)f(x)=|x-1|+|x+2|;(5)f(x)=|x-1|-|x+2|;(6)f(x)=3|x-1|+2|x+2|;(7)f(x)=3|x-1|-2|x+2|;(8)f(x)=2|x-1|-

3|x+2|;(9)f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|.

答案：(1)f(x)min=f(-2)=|-2-1|=3；(2)f(x)max=f(-2)=3；(3)f(x)min=f(1)=

例2 (2016年全國高考Ⅲ理24改編)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a．(1)當(dāng)a=-2時，求不等式f(x)≤|x-1|的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|．當(dāng)x∈R時，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范圍．

(2)[f(x)+g(x)]min=(|2x-a|+a+|2x-1|)min=|a-1|+a，∴|a-1|+a≥3，解得a≥2.

例3 (2015年重慶卷)設(shè)f(x)=|x+1|+

2|x-a|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a=；

解：f(x)min=f(a)=|a+1|=5，解得a=4或a=-6.

例4 (2017·大同調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x-2a|.(1)當(dāng)a=1時，求f(x)≤3的解集；(2)當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)≤3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

f(x)max=f(2)=3+|2-2a|，由3+|2-2a|≤3得，即|2-2a|≤0，即a=1.