函數圖像中的“細節決定成敗”

江蘇省吳縣中學 (215151) 唐俊濤

利用函數圖像解決函數相關的值域、單調性、零點問題在高考和各地模擬考試中已經屢見不鮮，而解決這類問題的本質就應該是準確的畫出函數所對應的“草圖”.有了精確的“草圖”，函數中相應的問題就都能夠迎刃而解了.

但是在具體解題過程中，學生解題的受阻點往往就是在如何能夠“簡單精確”的畫出函數的“草圖”.我們的課堂教學有時因為受到教學進度的影響，在函數圖像教學環節可能不夠深入，講解的不夠透徹，導致學生對此類問題研究的不深入、不透徹、不全面.

在一次學校組織的月考中有一道填空題：“函數y=2x-1,x∈(-∞,2],則該函數的值域為.”本人執教的兩個班級該題的得分并不是很理想，這樣的分數與出題者的原本預期有著很大的出入，深入了解后究其原因，發現問題出在多數學生在解決該問題時雖然都是從圖像作為切入點，但是作圖時往往畫的很“草”，沒有抓住函數圖像的“細節”—漸近線，導致從圖像上看函數值域時出現了偏差，本題其實就是將學生熟知的指數函數y=2x整體向下平移1個單位，但是指數函數y=2x本身是有一條漸進線，它與x軸重合了，平日作圖時學生不需要單獨再添加，可是在將該函數向下平移時，漸近線也應該同時向下平移，所以必須獨立添加，不可忽視.但是此時學生往往壓根兒沒有考慮到，所以最終得到了錯誤的結果(-∞,3],而非正確答案(-1,3].

既然發現了問題，找到了“惹禍”的根源，那么接下來就必須“痛定思痛”，反思我們的教學，幫助學生減少或者避免這些無謂的失分.可是在教材上雖然在反比例函數、指對數函數、冪函數及正切函數都已經涉及到了漸進線，但是并沒有真正意義上的完善漸進線的概念，究其緣由可能是由于現在的教材淡化了極限的內容，所以課堂上教師的教學與學生的學習基本上只是從圖像上去直觀的感受，這也就導致了學生對漸進線理解不到位，沒有達到“數形統一的境界”.可是在平時的練習、考試中、甚至在高考題中，都會有漸近線的出現，所以教師在教學中還是要對漸近線加以強化，從而避免在這一“細節”方面出現無謂的失分.

筆者將常見函數的漸近線做了一下匯總，希望能得到專家的指點：

一、反比例函數的漸近線

反比例函數是初中所熟知的基本初等函數之一，函數有兩條漸近線分別為x、y軸，而在高中階段所涉及的反比例函數往往會將其進行平移，在平移過程中學生就會將原有的漸近線忽略掉，從而導致在判斷值域或函數零點的時候出現問題.

例1 (2017年南京高三一模)設函數f(x)為偶函數，當x≥0時,f(x)=

圖1

圖2

二、指對數函數的漸近線

這里所謂的“指對數型”函數其實是將指對數函數進行一系列的平移變換后得到的新的函數，在平移過程中同樣也一定要注意原函數中漸近線的變化.

圖3

三、含絕對值函數的漸近線

含絕對值的函數在平時練習中也是經常會出現的，模擬練習中含絕對值的函數往往需要學生更加認真的觀察，從而去畫出準確的“草圖”.

例4 已知f(x)=|xex|,g(x)=f2(x)+tf(x)(t∈R),若滿足g(x)=-1的x有四個值，則t的取值范圍為.

圖4

解析：g(x)=-1中可通過換元：f(x)=m，先將該方程轉化為二次方程：m2+tm+1=0，此二次方程的根m決定了最終能有幾個x，所以同時也需要做出函數f(x)=

|xex|的圖像，求導后易得

本題易錯點是在當x→-∞時，y→0，從而挖掘出漸近線，學生在解題過程中往往看到(-∞,-1)為單調減，函數圖像就是從-∞往下“走”.這樣處理本題就遇到了“易錯點”，而當x→-∞時，函數值涉及了極限的思想，教師可以讓學生代入具體的數據從而直觀感受函數值的趨勢，這樣就可以讓學生了解x軸其實就是該函數的漸近線.

同時解題過程中也可以讓學生自行概括函數漸近線的求法：(1)當x→-∞時，y→c(常數)，則y=c就是函數的一條水平漸近線；(2)當x→c(常數)時，y→±∞，則x=c是函數的一條垂直于x軸的漸近線.

四、分式函數的漸近線

分式函數在處理時必須遵循定義域先行的原則，把分母不為零作為研究函數的首要原則，分母為零反映到圖像上對應的是x=x0這樣的一條漸近線.

例5 (2016年全國卷)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(1)求a的取值范圍；(2)略.

解析：此題方法較多，筆者重點選擇介紹漸近線在這題中的應用：

圖5

(法二)令(x-2)ex+a(x-1)2=0,(x-2)ex=-a(x-1)2，令g(x)=(x-2)ex利用導數求得g(x)單調區間：(-∞,1)為減，(1,+∞)為增，且當x→-∞時，y→0，所以函數存在漸近線y=0.令函數h(x)=-a(x-1)2，如要使得f(x)有兩個零點，即g(x)與h(x)要有兩個交點，所以可得a∈(0,+∞).

類似的題目在我們平時考試過程中應該會常見，如：

例6 (2017年蘇州高二期末考試)對于函數f(x)，若其定義域內存在兩個不同的實數x1,x2,使得xif(xi)=1(i=1,2)成立，則稱函數f(x)具有性質P，若函數f(x)=aex具有性質P，則實數a的取值范圍為.

圖6

由上述這些練習可以知道，漸近線在我們平時的數學練習中反復出現，存在就有存在的意義、價值，所以我們要把它研究透徹，研究細致.從另一方面講，漸近線其實不可怕，可怕的是我們沒有具備發現、挖掘它的一雙“慧眼”，而這雙“慧眼”并不是與生俱來，是需要通過不斷的訓練而慢慢養成的.