透視“隱圓”，讓其“圓形”畢*

江蘇省常州高級中學 (213003) 周 潔 楊元韡

求曲線的軌跡方程是解析幾何研究的兩大基本問題之一．但在有些解析幾何問題中，看不到動點滿足的軌跡的直接條件，讀不出求動點軌跡重要性或必要性，而是將軌跡的條件極其隱晦地融入到條件中，求軌跡的重要性或必要性在解題過程中卻體現得淋漓盡致．解決這類問題往往需要解題者自主探索并發現軌跡，并能靈活運用軌跡實現問題的轉化．而圓作為一個極其完美的圖形之一，其軌跡常常會用多種形式來隱晦地表達，我們把它稱之為“隱圓”．利用“隱圓”的條件，常常來考察直線與圓、圓與圓的位置關系、線段的長或參數的最值等問題．

筆者對近些年含有“隱圓”條件的典型高考題和模擬題進行了較為系統梳理，并總結了幾種常見的“隱圓”的“隱”的方式，有些還從不同的角度去解讀，讓其“圓形”畢露的同時，也提高學生對條件的轉化能力．

1.平面內，到定點的距離等于定長(大于0)的點的軌跡為圓，這是圓的定義．直接利用圓的定義是設計“隱圓”條件的最基本的方式．

例1 如果圓(x-2a)2+(y-a-3)2=4上總存在兩個點到原點的距離為1，求實數a的取值范圍．

評析：注意到到原點距離為1的點的軌跡為以原點為圓心的單位圓x2+y2=1，則可將原條件轉化成已知圓與“隱形”圓x2+y2=1相交．

例2 (2016年南京二模第12題)已知圓O:x2+y2=1，圓M:(x-a)2+(y-a+4)2=1，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A,B，若∠APB=60°，則a的取值范圍為．

評析：根據平面幾何的知識得到OP=2，因此點P的軌跡是“隱圓”x2+y2=4．于是原條件可轉化成“隱圓”x2+y2=4與圓M有公共點．

2．平面內，設A，B為定點且AB=a，若PA=λPB(λ為常數，λ>0且λ≠1)，則點P的軌跡為圓．

平面內到兩定點的距離之比為常數λ(λ>0且λ≠1)的點的軌跡為圓，該圓稱為阿波羅尼斯圓，證明過程略．利用阿波羅尼斯圓為背景設置“隱圓”條件，在江蘇省近十年高考中出現兩次，在各地模擬題中也經常出現．

評析：從解析幾何角度，以AB所在的直線為x軸，AB的中點為坐標原點，建立直角坐標系xOy，很容易得出點C的軌跡為兩段圓弧(注：實質上是圓去掉與直線AB的交點)，其方程為(x-3)2+y2=8(y≠0)．明顯，邊AB上高的最大值為圓的半徑，從而易得三角形ABC的面積的最大值．

例4 (2013年江蘇高考第17題)在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4,設圓C的半徑為1,圓心C在直線l上.(1)略；(2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

評析：第(2)問點M在由MA=2MO確定的“隱圓”上，其方程為x2+(y+1)2=4.又點M在圓C上，進而原條件轉化成“隱圓”與圓C有公共點．

圖1

特別地，當λ=0時，點P的軌跡為以AB為直徑的圓，這實質上與點P對線段AB的兩個端點的張角為90°，或者直線PA、PB的斜率互為負倒數(在斜率都存在的條件下)都是兩兩等價的，這里就不再舉例說明．

圖2

結語：文中對常見的“隱圓”的“隱”的方式進行了剖析，并舉例說明．當然，“隱圓”的“隱”的方式也未必只有這幾種，可能還有其他的方式．而“隱圓”的相關問題常常在知識的交匯處命題，因此學生必須對相關知識以及知識間的聯系熟練掌握才能順利求解這類問題．本文旨在揭示了動點滿足某些形式的條件是可以得到動點的軌跡是圓(或圓內、圓外)，并盡可能給出多個角度的解讀，強化學生利用動點的軌跡去研究與圓相關問題的意識，進一步培養學生的轉化與化歸能力．