由一道高考函數(shù)題引發(fā)的思考

廣東省饒平縣第二中學(xué) (515700) 鄭道雄

縱觀近年來的全國高考數(shù)學(xué)試卷，函數(shù)題目經(jīng)常以壓軸題出現(xiàn)，其特點(diǎn)是以基本初等函數(shù)為載體，利用方程、不等式、數(shù)學(xué)建模與導(dǎo)數(shù)、代數(shù)推理等知識點(diǎn)交匯，考查函數(shù)五大性質(zhì)的應(yīng)用、不等式問題和函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.因能起到區(qū)分考生層次、選拔人才的作用，此類題深受廣大一線師生的關(guān)注，但是該題考查方式靈活，所蘊(yùn)含的思維量比較大，因此即使解題工具眾所周知，不少教師對函數(shù)導(dǎo)數(shù)題如何備考也有無所適從的感覺，很多學(xué)生也同樣是“一聽就懂，一講就會，一做就錯，一考就亂”.他們最大的困惑是：好的解題思路是從哪里來的？解題的工具和大致方法知道，思路卻不清晰，不知該選哪一種方法.也就是說，在面對“山重水復(fù)疑無路”的困境時，如何找到“柳暗花明又一村”的途徑，是師生最需解決的問題.下面以2018年全國卷Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)的函數(shù)壓軸題為例，談?wù)剬Υ祟愵}的一些思考.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

①當(dāng)(-a)2-4×1×1≤0，即-2≤a≤2的時候，x2-ax+1≥0恒成立.

②當(dāng)a<-2時，由于x>0，得-ax>0，又x2+1>0，所以x2-ax+1>0，此時f′(x)=

此小題考查的是函數(shù)的單調(diào)性，而利用導(dǎo)數(shù)這個重要工具來解決函數(shù)單調(diào)性和值域是在高中階段最常見的.一般而言，函數(shù)求導(dǎo)后，再討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；研究函數(shù)的單調(diào)性的時候一定要在定義域里面研究.

所以在解答這個小題的過程中，有幾個關(guān)鍵點(diǎn)需要考生注意.

第一，關(guān)注分類，還原討論的層次性.

分類與整合思想是高考必考的思想方法，而且常常落腳于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，不論是對函數(shù)單調(diào)性的討論，還是在研究函數(shù)其他性質(zhì)的求解過程，總是避免不了進(jìn)行分類討論.分類與整合思想是有思維層次性的，體現(xiàn)在分類標(biāo)準(zhǔn)的確定上，即怎么分類討論.第(1)題我們要討論的是函數(shù)f(x)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)換為討論導(dǎo)函數(shù)f′(x)在哪些區(qū)間大于零，在哪些區(qū)間小于零.而f′(x)的正負(fù)又取決于y=x2-ax+1的正負(fù).而部分考生便無法完整分類討論參數(shù)a的幾種情況，或者說不知道分類討論的依據(jù)是什么，而導(dǎo)致討論出錯.

第二，體現(xiàn)思維，從區(qū)間入手求解.

第(1)小題最終轉(zhuǎn)換為討論二次函數(shù)y=x2-ax+1的正負(fù)，實(shí)際上，很多難度大、思維復(fù)雜的函數(shù)題目，到最后都是轉(zhuǎn)換為研究二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題.而二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題基本上就是固定的幾種情況：①固定區(qū)間動對稱軸；②固定對稱軸動區(qū)間；③區(qū)間隨對稱軸改變而改變.這幾種情況都離不開討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即只需討論對稱軸是否落在區(qū)間里面即可，其實(shí)質(zhì)就是研究函數(shù)在給定區(qū)間里面的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的值域.所以，必須關(guān)注函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸.

第三，揭示本質(zhì)，倡導(dǎo)數(shù)形結(jié)合思想.

應(yīng)根據(jù)代數(shù)問題具有的幾何特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的關(guān)系.在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該詳細(xì)準(zhǔn)確的畫出需要的函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生全方位思考，考慮問題要全面，注意是否存在一些特殊的情況.做到分類討論既要全面，更要細(xì)致.

考生不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=x2-ax+1開口向上，很多考生會畫出函數(shù)的大致圖像，而大部分同學(xué)此時畫出來的圖像和x軸會有兩個交點(diǎn)，這是平時在利用圖像解決同類問題時所形成的一種習(xí)慣.從而忽略了本題分類討論中重要的一種特殊情況，函數(shù)y=x2-ax+1的圖像與x軸只有一個交點(diǎn)或者沒有交點(diǎn)的情況，即(-a)2-4×1×1≤0，-2≤a≤2的時候，此時y=x2-ax+1≥0恒成立.

第四，重視邏輯，另辟蹊徑進(jìn)行討論.

顯然這跟函數(shù)單調(diào)性有關(guān)，問題變成證明函數(shù)g(x)=lnx-x在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

這種解法利用單調(diào)性來證明，感覺非常完美，可是為什么會行不通？沒有辦法得到結(jié)果呢？

上述解題方法錯在不等式lnx2-x2

事實(shí)上，當(dāng)x1,x2中的一個確定時，另一個也就確定了，因?yàn)閤1,x2滿足x1x2=1.

此處錯在沒有分析出x2的真正取值范圍，其實(shí)由上述分析過程可以判斷出x2>1，這是本題的另一個難點(diǎn).

本題最大的難點(diǎn)在于不等式中出現(xiàn)x1,x2兩個變量.近幾年在高考試題的函數(shù)壓軸題中，經(jīng)常出現(xiàn)含有兩個變量的不等式證明問題.面對兩個變量學(xué)生會感覺無從下手，造成找不到解題的突破點(diǎn).而解決這類問題的策略通常有兩種，第一種當(dāng)兩個變量可以分離時，根據(jù)其兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式，例如思考1當(dāng)中的解法.第二種是當(dāng)兩個變量分離不開時，可以通過作差或作商等策略將兩個變量劃歸為一個變量，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明.例如思考2中的解法即是如此.

此題帶給我們的啟示是，函數(shù)、方程、不等式可謂是“一胞三胎”，通過函數(shù)的圖像可將它們緊密地結(jié)合在一起.要善于從函數(shù)的高度理解方程和不等式的問題，也要善于利用方程和不等式的知識解決函數(shù)問題.

2018年高考第21題再次提醒我們，函數(shù)思想有助于弄清中學(xué)數(shù)學(xué)脈絡(luò)，數(shù)形結(jié)合主線可理清數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)，函數(shù)問題有利于提升直觀想象素養(yǎng).因此，復(fù)習(xí)時要思考并重視下面幾點(diǎn)：

第一，復(fù)習(xí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)時，教師如何建構(gòu)整個模塊的知識體系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).知道復(fù)習(xí)的過程中什么該講，什么不該講，什么先講，什么后講，從而做到循序漸進(jìn)、由淺入深，并揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系.基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)要在建構(gòu)知識體系邏輯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上下功夫，以知識體系帶動數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，從而做到綱舉目張，疏而不漏.

第二，如何站在學(xué)科整體高度上，把握函數(shù)及其他模塊知識的橫向關(guān)系，多角度解構(gòu)數(shù)學(xué)的本質(zhì).全國卷的解答題中，對函數(shù)性質(zhì)的考查要求較高，尤其涉及分類討論，數(shù)形結(jié)合等.因此在復(fù)習(xí)過程中，立體交叉地選擇例題及訓(xùn)練題的配備.

第三，如何有效地提升學(xué)生的計(jì)算能力.壓軸題中的函數(shù)題不但思維量大，計(jì)算量也很大.要讓學(xué)生靜下心來，將運(yùn)算進(jìn)行到底.但不管哪一道例題，要養(yǎng)成一個習(xí)慣，那就是在例題講解完成后一定要及時小結(jié),從問題類型歸類到解決問題的方法進(jìn)行反思和總結(jié)，使學(xué)生能“知其然”，更能“知其所以然”.

總之，要讓平凡的函數(shù)復(fù)習(xí)課上出新意來，就必須通過形式多樣的教學(xué)方式，讓學(xué)生參與到教學(xué)活動中來.讓學(xué)生動手、動腦、動嘴，讓學(xué)生分析歸納，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，而不是老師的獨(dú)角戲.