微積分的基本概念對生命的啟示

□焦 華

數學本質上是一種解讀世界的哲學，既是一種世界觀，也是一種方法論[1]。從2,500多年前畢達哥拉斯學派的“萬物皆數”到現在大數據時代的“數化萬物”，證明了古老的數學思想、哲學思想依然在指引現代掌握計算機、通訊技術等高科技的人們[2]。微積分出現在330多年前，是近代數學最輝煌的成就，是人類思維最偉大的成果之一，是研究自然現象、社會現象強大的工具。正確地認識客觀世界和人類自身是現代人極其重要的素質，恩格斯贊譽微積分是人類精神的最高勝利，因此作為人們文化熏陶的極好素材，微積分能夠培養人們正確的世界觀和科學的方法論[3]。在此僅探討冰山一角——微積分的基本概念對生命的啟示，期望能部分詮釋正確的“三觀”(世界觀、價值觀、人生觀)。

一、函數概念的啟示

常量與變量的定義：事物特定運動過程中始終保持不變的量稱為常量；會發生改變的量稱為變量。

函數的定義：設變量x的變化范圍為D，D是一個非空數集。變量y的變化依賴于變量x，即對于每個x∈D，y變量將按一定的法則總有確定數值與它對應，則稱變量y是變量x的函數。記作y=f(x),x∈D.其中x稱為自變量而y稱為因變量，D數集稱為此函數的定義域，f(D)={y|y=f(x),x∈D}稱為此函數的值域，因變量y與自變量x的依賴關系稱為函數關系[3]。從定義可看出，函數的定義域與對應法則是函數的兩個基本要素。

函數是微積分的主要研究對象，是現代數學的一個基本概念，同時也是深刻影響其他學科的一個重要概念……計算機高級語言中的函數就是程序代碼中的子程序，甚至C語言中的主程序都是函數(主函數main( ))，高級語言是否強大的一個重要指標就是看它是否擁有豐富的內部函數。

啟示：函數是自然界的法則，是描述變量之間相互影響、相互依賴的一種數學模型。萬事萬物運動變化之間的聯系就是函數關系。陽光下人和影子的關系就是典型的函數關系，“形影不離”反應了這種依賴性。在此定義生命價值函數p=f(t);時間t是個自變量，定義域為區間[0,T]，T代表個體的壽命，個體的價值p隨時間t改變而改變。這里的價值是個人的成就、取得的社會地位、對社會的貢獻大小等等。每一個生命都是時間的函數，它的定義域范圍和值域范圍就是“生命的長度和寬度”，這里的寬度是指價值。法國文學家托馬斯·布朗有段富有哲理的名言：“你不能延伸生命的長度，但可以把握它的寬度；不能預知生命的外延，但可以豐富它的內涵；不能把握生命的量，但可以提升它的質。”

大學生職業生涯規劃的核心是怎樣設計未來的價值函數曲線圖。分段函數曲線應當更能較好地表達生命的軌跡，因為每個人都有學生時代、工作時期、退休生活等，應當用不同的函數曲線描述。

二、函數極限概念的啟示

上面函數極限的定義也稱為極限的ε-δ語言描述，是德國數學家魏爾斯特拉斯對微積分的重大貢獻之一。在此之前函數極限定性描述是這樣的：自變量的變化趨勢決定了因變量的變化趨勢，當自變量x趨近于某一確定的值x0時，其函數值f(x)(因變量)趨近于某一確定的值A。要使f(x)與A足夠的近(要有多近有多近)，就必須保證x與x0足夠的近。ε-δ語言是定量的描述，是微積分歷史上重大的里程碑。極限的概念和方法是微積分的理論基礎和基本分析方法。

啟示：某19歲的應屆畢業生在當年的高考中脫穎而出，成了家喻戶曉的理科狀元，但以后就沉寂下來，不再有大的作為。其生命價值函數在t=19處的極限可表示為：

理論分析與實踐證明，巷道的開挖僅對巷道周邊一定的范圍有明顯影響，當模型邊界到巷道周邊的距離為巷道尺寸的3～5倍時［6］，由計算區域的大小而引起的計算誤差便可以控制在工程允許的范圍之內。因此，根據葛泉礦11912工作面實際地質情況，切眼模擬埋深190m，采用摩爾-庫倫模型，模擬范圍定為長×寬×高=60m×10m×27m。整個模型共生成42000個網格區域和47916個節點。模型頂部為自由邊界，上部巖層平均容重取2.4t/m3，荷載大小由上覆巖層的重量確定。左右邊界施加固定水平位移的約束，巷道底部施加固定垂直位移的約束。力學模型如圖1所示，物理力學參數見表1。

無窮小量是極限為0的變量或函數；無窮大量是極限為∞的變量或函數。在漫漫的歷史長河中，在廣闊無垠的天地間，個人就是一無窮小量，而世界是無窮大量。“∞”充滿想象力，它是“詩與遠方”，是“古老的夜晚和遠方的音樂”。

三、函數連續與間斷概念的啟示

啟示：定義模樣函數m=f(t)；人的長相是連續變化的，可能21歲的模樣和3歲差別較大，但應當和19歲差別不大，這是因為模樣函數的連續性。但也有例外，比如某大學三年級的一個班開學了，教室第一排有一位美麗女生，長相酷似明星張馨予，但同學們都不認識她，心里充滿疑惑：這美女是本校其他專業轉過來的？或是其他大學的轉學生？……答案最后揭曉，原來是大家熟悉的本班女同學某某某，暑假期間到韓國做了整容手術……這位女同學的形象沒有“連續”變化，而是發生了“跳躍”。

在生命價值函數中，由于每個人的價值觀是有差異的，所以對“成功”的理解是不同的。但共通的是函數的連續點一定是相對平靜的生活，而跳躍點(間斷點)則是生命中的精彩或奇跡。“歲月靜好，現世安穩”是美好的祝福，但“南瓜馬車”是很多女孩心中的夢想。

四、導數概念的啟示

啟示：模樣函數m=f(t)伴隨每個人的一生，兒童、少年、青年、中年、老年的系列相片記錄了各個階段的變化。舉例說明問題：“歲月催人老，人世存悲歡”，某大學同班同學畢業30年后又聚集在一起，于是有了甲、乙下面的對話：“你怎么頭發全白了？”“別說我，你看你牙齒都掉了幾顆。”“你看A君，讀書時也就90多斤，現在至少160斤。”“還是B君行，除了稍胖些，和讀書時比，變化不大啊。”這里自變量增量Δt=30年，模樣函數改變量Δm因人而異，甲、乙及A君與30年前相比變化很大，而B君的變化微乎其微。這里需要注意的是：四位同學對應于四個不同的模樣函數mi=fi(t),(i=1,2,3,4)，因為他們長相不同。應當說每個人有模樣變化最大的時間點和模樣變化最小的時間點，這兩個時間點就是模樣函數m=f(t)的導函數的最大值點和最小值點。“一夜白發”與“永葆青春”這兩個成語可用來形容變化的快速劇烈程度和變化的緩慢停滯程度。

再定義一個函數——影響力函數y=g(t)，一個人在不同時期的影響力是有區別的，和他的地位、成就有關。當他只是單位的普通職工時“人微言輕”，影響力小，后來通過長期努力成為單位最高領導時“一言九鼎”，影響力大。退休后影響力逐步減小。需注意的是：影響力y的最大值點不是y=g(t)導函數的最大值點，y=g(t)導函數的最大值點是他奮斗過程中升遷變化最快的時間點。

五、定積分概念的啟示

定積分的定義：設函數f(x)在[a,b]上有界,在閉區間[a,b]中任意插入若干個分點。

a=x0

歸納一下：定積分是一個和式的極限，有四個步驟(分割、取值、作和、取極限)三個要點(分法任意、取法任意、小區間最大長度趨于0)。注意：λ→0將導致n→∞。

當函數y=f(x)連續且f(x)≥0時，定積分的幾何意義是由此函數曲線、直線x=a、直線x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

“生若夏花之燦爛，死若秋葉之靜美”，泰戈爾的詩優美而深刻，這兩句詩含蓄表達了作者的人生觀和價值觀，夏花象征旺盛的生命，活著就要燦爛且奔放，要活得有價值、有意義；秋葉，凄美而感傷，惆悵而安靜，面對死亡——生命返歸自然，要靜穆、恬然地接受，無須轟轟烈烈，無須悲哀和畏懼，像秋葉般悄然離去……

六、結語

人類是自然界的產物，這決定了自然科學、社會科學及思維科學具備相通性，也決定了微積分基本概念對生命有啟示的邏輯存在。微積分的學習會潛移默化地影響人的世界觀，但微積分的抽象性、復雜性、嚴密性會讓部分大學生感到枯燥、畏難、厭倦，尤其對于基礎差的高職高專學生來說，微積分就象“天書”。因此從教育教學的角度上講，前面給出了一些較有趣的教學素材，能夠增強課堂的吸引力，促進理解并引發思考[6]。