在數學概念發展歷程的建構活動中理解本質

陳群娣

【摘要】理解數學概念的本質是實現有效教學的根本。本文闡述了在“重構”數學發展歷程的活動中理解概念本質的“關鍵要點”：一是在“數學化”的學習過程中構建概念的“組織”;二是在“再創造”的學習活動中理解概念的“本質”。

【關鍵詞】數學發展;過程重構;垂直線段

劉加霞教授指：“實現有效教學的根本在于把握數學概念的本質。—可見，小學數學概念的教學，重要的是指導學生理解概念的本質而不是記憶或者背誦概念的形式化定義。換言之，是引導學生經歷一個“火熱”的數學思考過程，這一學習過程的關鍵是解決好“3W”問題。一是為什么（Why）：為什么學習這一概念？它在生活中、在數學上有什么用？二是什么（What）：除了概念的形式化定義外，其數學本質是什么？其來龍去脈是什么？三是怎么樣（How）：這個概念與其他概念之間有什么聯系？怎樣建構“概念圖”？那么，如何指導學生理解“三角形的高”這一概念的數學本質？這就必須把握好兩個“關鍵要點”：一是“三角形的高”這一概念的數學本質是什么？是一條垂直線段;二是學生學習這一數學概念，要經歷一個怎樣的“思維構建”過程呢？換一個角度，教師如何指導學生把“概念發生、發展的歷程”和學生構建其“思維之道”相融合，由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來。下面以“三角形的高”教學為例，闡述一下個人的思考與實踐。

【學習過程】

活動一：

師：如右圖，從直線外一點A，到這條直線畫的4條線段中，

哪一條線段最短？為什么？

生1：最短的線段是AC;

生2：從直線外一點到這條直線所畫的線段中，

垂直線段最短。

【評析】設計“從直線外的點到對邊畫一條線段，怎樣畫最短？”這一情境性問題，讓學生在問題解決過程中重現“垂直線段”最短這一道理。這是結合學生的現實，以學生已有的知識經驗作為數學學習活動的“支架”，為新知的學習“勾畫”起學生已有的數學認知結構，為其主動構建新知作好認知準備。

活動二：

師：在三角形ABC中（見圖1），有3個頂點，3條邊。說一說：每個頂點對應的邊是哪一條呢？

生：頂點A對應的邊是線段BC;頂點B對應的邊是線段AC;頂點C對應的邊是線段AB。

師：從頂點A到對邊BC畫一條最短的線段AD，怎樣畫呢？

生1：線段AB、線段AC都不是最短的。

生2：垂直線段最短。

師：你們能畫出來嗎？

生：線段AD是一條垂直線段，最短。

（見圖2）

師：你是怎樣畫的？

生1：三角尺的一條直角邊與對邊BC重合，另一條直角邊平移到頂點A，畫一條垂線，與對邊的交點就是垂足D，這一條垂直線段AD就是點到直線的距離。

生2：我是這樣畫的，先確定兩個端點，其中一個是三角形的頂點A，另一個是從頂點A到對邊作一條垂線，交點是垂足D，再把這兩個端點用線段連起來。

師：在三角形ABC中，你能從頂點B到對邊AC畫一條最短的線段BE嗎？

生：線段BE是一條垂直線段，最短。（見圖3）

畫一畫：1.從頂點B到對邊AC畫一條最短的線段BD（見圖4）;2從頂點A到對邊BC畫一條最短的線段AB（見圖5）。【評析】根據學生掌握“點到直線的距離最短”這一數學事實，引導學生思考“從一個頂點到對邊畫一條最短的線段，怎樣畫才最短？”這一核心問題，讓學生在“做數學”的學習活動中，深化對“垂直線段最短”這—數學認知結構的理解。

活動三：

師：什么是三角形的高？（指導學生閱讀數學課本）

生1：從三角形的一個頂點到對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。

生2：是一條垂直的線段，其中一個端點是三角形的“一個頂點”，另一個端點是對邊的“垂足”。

師：說說下圖中哪一條是底邊上的高？

生1：三角形ABC中（圖3），底邊AC上的高是BE，底邊BC上的高是AD。

生2：三角形ABC中（圖4），底邊AC上的高是BD。

生3：三角形ABC中（圖5），底邊AB上的高是BC，底邊CB上的高是AB。

師：三角形的高有什么共同特點？

生：三角形的“一個頂點”到“對邊”的一條垂直線段，這一條線段有兩個端點，一個端點是三角形的“頂點”，另一個是頂點對邊的“垂足”。

師：三角形可以畫幾條高？為什么呢？

生1：三角形可以畫3條高。

生2：從三角形的一個頂點到對邊可畫一條高，三角形有3個頂點，最多可畫3條高。

師：怎樣畫三角形的高？

生：一是重合;二是平移;三是找垂足;四是畫一條垂直線段。

【評析】讓學生在實踐、探究活動中構建“高”這一數學概念的形式化定義。教學時，提出“什么是三角形的高？”這一數學問題引領學生閱讀課本，感知構成“高”這一數學概念的幾個關鍵“語詞”，進一步指導學生個性化地“重構”數學概念的生成過程，與學生已有的數學認知結構“垂直線段”建立邏輯的內在聯系，明確構成“高”這一概念的數學結構：一個頂點、對邊、垂線和線段。

活動四：

師：學生在練習紙上畫出平行四邊形和梯形的高。

生1：從平行四邊形一條邊上的一點A向對邊BC畫一條垂直線段，線段AE就是底邊BC上的高。（見圖6）

生2：從梯形平行邊上一點A向對邊BC畫一條垂直線段，線段AE就是下底BC上的高。（見圖7）

師：三角形和平行四邊形、梯形的底和高有什么相同的特點？

生：是一條垂直的線段，其中一個端點是“頂點”，另一個端點是對邊的“垂足”。

【點評】通過比較、梳理平行四邊形、梯形和三角形的“高”有什么共同的特點？目的在于幫助學生溝通數學知識之間的內在聯系，促其對所學的數學知識組織成一個縱向聯系的網絡，幫助學生在數學認知結構的“同化”學習過程中理解概念本質。

【課后思考】

一、在 “數學化”的學習過程中構建概念的“組織”

眾所周知，數學的發生、發展過程就是一個“數學化”的過程。所謂“數學化”，就是數學地組織現實世界的過程。可從兩個方面去理解“數學化”，一是“過程”，有“橫向”和“縱向”兩個方面，橫向的數學化是建立數學與生活之間的內在聯系，縱向的數學化是數學知識內部的遷移和調整。在教學“三角形的高”這一數學概念時，教師指導學生在解決“從三角形的一個頂點到對邊畫一條線段，怎樣畫最短？”這一核心問題，明確“垂直線段”最短的道理，在這基礎上，呈現“什么是三角形的高？”這一引領性問題，指引學生閱讀課本，幫助學生構造出“高”這一概念的頻繁出現幾個語詞：一個頂點、對邊和垂線段，理解“三角形的高”形式化的定義;二是“組織”，—是“三角形的高”必須同化到“平行四邊形”和“梯形”的高這一數學認知結構中，幫助學生通過“三角形和平行四邊形、梯形的底和高有什么相同的特點？”這一關鍵問題，指導學生經歷構建數學知識體系的過程。

二、在“再創造”的學習活動中理解概念的“本質”

幫助學生理解小學數學概念的本質是實現概念有效教學的關鍵，“三角形的高”這一概念的本質是什么？是一條垂直線段。一是線段，就涉及線段有兩個端點的問題，其中一個端點是三角形的頂點，另一個端點頂點對邊的一個垂足;二是垂直，這就涉及到“相交成直角”的問題。那么，學生應該怎樣構建這樣的一個認知結構呢？荷蘭教育家弗賴登塔爾強調：學習數學的唯一正確的方法是實行再創造，換言之，學習數學的唯一正確方法就是由學生本人把要學的東西自己去發現和創造出來。這節課，扣緊“三角形的高”的數學本質是“垂直線段”這一判斷，設計了如下學習活動：一是出示問題“從直線外一點A，到這條直線畫的線段中，最短的是哪一條？”引導學生明確“垂直的線段”最短的數學事實，回顧與反思“兩條直線互相垂直”關鍵所在是把握“兩條直線相交成直角”這一基本活動經驗;二是出示三種不同類型的三角形“直角三角形”“鈍角三角形”“銳角三角形”，引導學生運用已有的知識經驗，解決“點到直線的距離最短”這一數學問題，“垂直線段”這一概念再一次刻畫在學生的認知結構中;三是提出“什么是三角形的高？”這一數學問題，指引學生閱讀課本，在“垂直線段”這一認知結構的基礎上，幫助學生明晰“三角形的高”形式化定義幾個關鍵詞語：一個頂點、對邊、垂線和線段，這一數學結構絡印在學生的認知結構中;四是通過比較平行四邊形、梯形和三角形的“高”有什么共同的特點？把“三角形的高”這一“認知結構”同化到“平行四邊形”“梯形”的高“數學模型”中，建立數學知識之間縱向聯系的紐帶，優化學生的認知結構。

[注：本文系廣州市增城區教育科學“十三五”規劃2019年度課題“再創造”學習方式下小學數學概念教學優化策略（課題編號：zc2019006）研究成果]

參考文獻：

[1]劉加霞.小學數學有效教學[M].北京：北京師范大學出版社，2015.

[2]藍藝明.深度體驗小學數學概念教學的積極追求——“三角形的認識”教學思考與實踐[D].教育科學論壇，2017.