關(guān)于“串聯(lián)電路中滑動變阻器電功率變化范圍”的探討

肖映健

學完人教版初中物理第18章《電功率》后，在評講作業(yè)時遇到如下習題：如圖1電源電壓保持不變。將開關(guān)S閉合，滑動變阻器的滑片P向左滑動，電路中的變化情況是

A.電壓表的示數(shù)變小

B.R2消耗的功率變小

C.電路消耗的總功率變大

D.電壓表和電流表示數(shù)的比值不變

根據(jù)解答電路圖的一般步驟：首先簡化電路，確定電路連接方式;然后觀察電流表、電壓表測量哪些用電器的電流和電壓，根據(jù)串并聯(lián)電路的規(guī)律及歐姆定律進行解答和計算。由圖1可知，電路為串聯(lián)電路，根據(jù)“去源法”（去掉電源，電壓表和哪個電器形成閉合電路，電壓表即測哪個用電器兩端的電壓），可知電壓表測R1兩端電壓。由串聯(lián)電路規(guī)律，學生很容易判斷出，滑動變阻器的滑片P向左滑動，R1電阻變大，串聯(lián)分壓，電壓之比等于電阻之比，電壓表示數(shù)變大;由P=UI可知，P向左滑動R1變大，電源電壓不變，電路中電流變小，R2兩端的電壓變小，R2消耗的功率和電路消耗的總功率均變小，電壓表和電流表示數(shù)的比值即為R1的阻值變大。所以容易選出正確選項B。善于思考問題的同學提出，在滑片移動的過程中，R2消耗的功率和電路消耗的總功率均變小，R1消耗的電功率如何變化？有些同學說變小，有些同學說變大，還有說不變的。根據(jù)P=UI，U變大，I變小，涉及兩個變量，無法判斷，或者根據(jù)P=I2R，I變小，R變大，或者由P=P總-P2，P總和P2都變小，同樣不能判斷滑動變阻器R1電功率變化的情況。滑動變阻器在移動過程中消耗的電功率是不是真的無法判斷了？許多同學存在疑惑，因為要涉及相關(guān)的數(shù)學知識，難度較大，為了不讓同學們失望，筆者設計出了如下的題目。

例題：在如圖2所示的電路中，電源電壓為U=6V且恒定，定值電阻R1=lOΩ與最大值為20Ω的變阻器R2串聯(lián)，求開關(guān)閉合后，滑片P從a端滑到b端的過程中，R2的功率的變化范圍？

分析：由圖可知R1和R2串聯(lián)，當滑動變阻器的滑片在最左端時，R2電阻為零，因為電路是純電阻電路，由P=I2R得，R2的最小功率為零。當滑動變阻器的滑片向右移動，R2接入電路阻值變大，電路中總電阻變大，通過R2電流減小，R2兩端電壓增大，如果根據(jù)公式P=UI，因為有兩個變量，一個變大，一個減小，不能直接求出P的值。利用公式P=I2R，也涉及兩個變量，一個變大，一個變小。這需要借助數(shù)學知識來求出物理的最值問題。

方法一：當R2接入電路中阻值為R時，電路中電流為I，滑動變阻器的電功率為P2;

根據(jù)：P總=Pl+P2即U總I=U1I+U2I

P2=P總-P1 P2=UI-I2R1帶入數(shù)據(jù)得：

P2=6I-10I2

P2=-10I2+6I

可以將電功率P2看作是隨電流I變化的二次函數(shù)，如圖3所示，根據(jù)數(shù)學知識，在二次函數(shù)，判別式△=b2-4ac=36>0二次函數(shù)開口向下，有最大值。

當I=-b/2a=0.3A，即可得到最大電功率：P2=0.9W

當滑動變阻器接入電路中電阻：R2=O時，滑動變阻器電功率最小，P2=0所以滑動變阻器電功率變化范圍：o≤P≤0.9W

方法二：當R2接入電路中阻值為R時，滑動變阻器的電功率為P;

P=UI=I2R=（U/R1+R）2R=U2/1/R（R1+R2）2=U2/R12/R+R+2R1

利用數(shù)學的完全平方公式：

（a-b）2≥O

a2+b2≥2ab

當a，b大于零時：a+b≥2√ab（a=b時有最小值）

結(jié)合數(shù)學函數(shù)：y=x+1/x（x>0）如圖4。

結(jié)合上面的公式，a+b≥2√ab當x=1/x時，x=1，y有最小值y=2。

所以R12/R=R即：R=R1=10Ω時，有最大值：P=U2/4R1=0.9W

同理可得：滑動變阻器電功率變化范圍：0≤P≤0.9W

通過計算可知，當滑動變阻器接入電路中電阻最大，電功率并不是最大，而是等于串聯(lián)電阻的阻值時是最大的。但是如果滑動變阻器的最大阻值小于定值電阻的阻值，如何求呢？

還是利用數(shù)學二次函數(shù)最值的求法，結(jié)合二次函數(shù)拋物線的圖像：

利用上題分析：根據(jù)P2=10I2+6I

當滑動變阻器電阻R2=O，電流最大，

I最大=U/R1=6V/10Ω=0.6A

當滑動變阻器電阻最大R2=20Ω，電流最小，I最小=U/R1+R2=6V/30Ω=0.2A

當R1=R2=10Ω，I=U/R總=0.3A時，P最大;

滑片P從a端滑到b端的過程中，根據(jù)二次函數(shù)圖像，p2=-10I2+6I，當電流變化范圍為0.6A-0.3A.P隨I減小而增大;當電流變化范圍為0.3A-0.2A，P隨I減小而減小。所以如果滑動變阻器的最大阻值小于定值電阻的阻值，R2

歸納總結(jié)：如果滑動變阻器R2與一個定值電阻R1串聯(lián)，R1的電功率為P1，R2滑動變阻器接入電阻為RX，電功率為PX，電源電壓為U，電路電流為I，總功率為P。則：

Px=P-P1

Px= UI-I2R1

R1大于0，則Px有最大值。當I=-b/2a=U/2R1時Px最大。

根據(jù)歐姆定律：I=U/R1+RX解得：RX=R1。

由以上分析可以得出結(jié)論：

1.當R2max

2.當R2max=R1，Rx=R1=R2max時，功率Px最大。

3.當R2max>R1，Rx=R1時，功率Px最大。

以上解法除了運用關(guān)于電功率的計算公式外，還借助于數(shù)學公式推理，將不能一目了然的物理計算變成了數(shù)學函數(shù)表達式。在平時教學中，有意識地把數(shù)學知識滲透到物理教學中去，真正做到把數(shù)學作為學習物理的工具。電功率是初中學生物理學習中的一個重難點內(nèi)容，是對電能、電功知識的深化，“運用電功率公式解決有關(guān)問題”在深圳中考屬于運用層次，而求串聯(lián)電路中滑動變阻器的電功率最值時需要用到數(shù)學知識對于初中生來說是難上加難。通過以上典型例題的分析，完美利用數(shù)學函數(shù)知識，則物理電功率問題迎刃而解了。

本文僅針對滑動變阻器在串聯(lián)電路中的變化求電功率，問題的解決，需要通過嚴密的思考和細心的推導，這對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力有很大的幫助，同時也為學生進一步深入學習打下堅實的基礎。