關于“串聯電路中滑動變阻器電功率變化范圍”的探討

肖映健

學完人教版初中物理第18章《電功率》后，在評講作業時遇到如下習題：如圖1電源電壓保持不變。將開關S閉合，滑動變阻器的滑片P向左滑動，電路中的變化情況是

A.電壓表的示數變小

B.R2消耗的功率變小

C.電路消耗的總功率變大

D.電壓表和電流表示數的比值不變

根據解答電路圖的一般步驟：首先簡化電路，確定電路連接方式;然后觀察電流表、電壓表測量哪些用電器的電流和電壓，根據串并聯電路的規律及歐姆定律進行解答和計算。由圖1可知，電路為串聯電路，根據“去源法”（去掉電源，電壓表和哪個電器形成閉合電路，電壓表即測哪個用電器兩端的電壓），可知電壓表測R1兩端電壓。由串聯電路規律，學生很容易判斷出，滑動變阻器的滑片P向左滑動，R1電阻變大，串聯分壓，電壓之比等于電阻之比，電壓表示數變大;由P=UI可知，P向左滑動R1變大，電源電壓不變，電路中電流變小，R2兩端的電壓變小，R2消耗的功率和電路消耗的總功率均變小，電壓表和電流表示數的比值即為R1的阻值變大。所以容易選出正確選項B。善于思考問題的同學提出，在滑片移動的過程中，R2消耗的功率和電路消耗的總功率均變小，R1消耗的電功率如何變化？有些同學說變小，有些同學說變大，還有說不變的。根據P=UI，U變大，I變小，涉及兩個變量，無法判斷，或者根據P=I2R，I變小，R變大，或者由P=P總-P2，P總和P2都變小，同樣不能判斷滑動變阻器R1電功率變化的情況?；瑒幼冏杵髟谝苿舆^程中消耗的電功率是不是真的無法判斷了？許多同學存在疑惑，因為要涉及相關的數學知識，難度較大，為了不讓同學們失望，筆者設計出了如下的題目。

例題：在如圖2所示的電路中，電源電壓為U=6V且恒定，定值電阻R1=lOΩ與最大值為20Ω的變阻器R2串聯，求開關閉合后，滑片P從a端滑到b端的過程中，R2的功率的變化范圍？

分析：由圖可知R1和R2串聯，當滑動變阻器的滑片在最左端時，R2電阻為零，因為電路是純電阻電路，由P=I2R得，R2的最小功率為零。當滑動變阻器的滑片向右移動，R2接入電路阻值變大，電路中總電阻變大，通過R2電流減小，R2兩端電壓增大，如果根據公式P=UI，因為有兩個變量，一個變大，一個減小，不能直接求出P的值。利用公式P=I2R，也涉及兩個變量，一個變大，一個變小。這需要借助數學知識來求出物理的最值問題。

方法一：當R2接入電路中阻值為R時，電路中電流為I，滑動變阻器的電功率為P2;

根據：P總=Pl+P2即U總I=U1I+U2I

P2=P總-P1 P2=UI-I2R1帶入數據得：

P2=6I-10I2

P2=-10I2+6I

可以將電功率P2看作是隨電流I變化的二次函數，如圖3所示，根據數學知識，在二次函數，判別式△=b2-4ac=36>0二次函數開口向下，有最大值。

當I=-b/2a=0.3A，即可得到最大電功率：P2=0.9W

當滑動變阻器接入電路中電阻：R2=O時，滑動變阻器電功率最小，P2=0所以滑動變阻器電功率變化范圍：o≤P≤0.9W

方法二：當R2接入電路中阻值為R時，滑動變阻器的電功率為P;

P=UI=I2R=（U/R1+R）2R=U2/1/R（R1+R2）2=U2/R12/R+R+2R1

利用數學的完全平方公式：

（a-b）2≥O

a2+b2≥2ab

當a，b大于零時：a+b≥2√ab（a=b時有最小值）

結合數學函數：y=x+1/x（x>0）如圖4。

結合上面的公式，a+b≥2√ab當x=1/x時，x=1，y有最小值y=2。

所以R12/R=R即：R=R1=10Ω時，有最大值：P=U2/4R1=0.9W

同理可得：滑動變阻器電功率變化范圍：0≤P≤0.9W

通過計算可知，當滑動變阻器接入電路中電阻最大，電功率并不是最大，而是等于串聯電阻的阻值時是最大的。但是如果滑動變阻器的最大阻值小于定值電阻的阻值，如何求呢？

還是利用數學二次函數最值的求法，結合二次函數拋物線的圖像：

利用上題分析：根據P2=10I2+6I

當滑動變阻器電阻R2=O，電流最大，

I最大=U/R1=6V/10Ω=0.6A

當滑動變阻器電阻最大R2=20Ω，電流最小，I最小=U/R1+R2=6V/30Ω=0.2A

當R1=R2=10Ω，I=U/R總=0.3A時，P最大;

滑片P從a端滑到b端的過程中，根據二次函數圖像，p2=-10I2+6I，當電流變化范圍為0.6A-0.3A.P隨I減小而增大;當電流變化范圍為0.3A-0.2A，P隨I減小而減小。所以如果滑動變阻器的最大阻值小于定值電阻的阻值，R2

歸納總結：如果滑動變阻器R2與一個定值電阻R1串聯，R1的電功率為P1，R2滑動變阻器接入電阻為RX，電功率為PX，電源電壓為U，電路電流為I，總功率為P。則：

Px=P-P1

Px= UI-I2R1

R1大于0，則Px有最大值。當I=-b/2a=U/2R1時Px最大。

根據歐姆定律：I=U/R1+RX解得：RX=R1。

由以上分析可以得出結論：

1.當R2max

2.當R2max=R1，Rx=R1=R2max時，功率Px最大。

3.當R2max>R1，Rx=R1時，功率Px最大。

以上解法除了運用關于電功率的計算公式外，還借助于數學公式推理，將不能一目了然的物理計算變成了數學函數表達式。在平時教學中，有意識地把數學知識滲透到物理教學中去，真正做到把數學作為學習物理的工具。電功率是初中學生物理學習中的一個重難點內容，是對電能、電功知識的深化，“運用電功率公式解決有關問題”在深圳中考屬于運用層次，而求串聯電路中滑動變阻器的電功率最值時需要用到數學知識對于初中生來說是難上加難。通過以上典型例題的分析，完美利用數學函數知識，則物理電功率問題迎刃而解了。

本文僅針對滑動變阻器在串聯電路中的變化求電功率，問題的解決，需要通過嚴密的思考和細心的推導，這對培養學生的邏輯思維能力有很大的幫助，同時也為學生進一步深入學習打下堅實的基礎。