構建好模型，破解壓軸題

萬浩浪

【摘要】中考數學壓軸試題，總給人以啟迪。以“2019年廣州市中考數學題第24題”為例，是一道延續往年創新風格的壓軸題，題面簡潔明快，但內涵極為豐富。本文從構建合適的基本模型著手，探究多種解法，破解壓軸題。

【關鍵詞】構建模型;壓軸題

《課程標準（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學生體現和理解數學與外部世界聯系的基本途徑?！彼鞔_地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質就是使學生體會和理解數學與外部世界的聯系。中考數學壓軸試題，是中考試題的創新重點和難點高潮，思維深度、廣度最大的內容，綜合性、靈活性最強的設計。中考壓軸題的訓練，是鍛煉學生數學建模能力的良機。本文以“2019年廣州中考數學題第24題”為例，本文從構建合適的基本模型著手，探究多種解法，破解壓軸題，與同行共研。

一、[題目呈現]

24.如圖，等邊中，AB=6，點D在BC上，BD=4，點E為邊AC上一動點（不與點C重合），ACDE關于DE的軸對稱圖形為AFDE。

（1）當點F在AC上時，求證：DF//AB;

（2）設AACD的面積為S1，AABF的面積為S2，記S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值;若不存在，請說明理由;

（3）當B，F，E三點共線時，求AE的長。

本題是一道延續往年創新風格的壓軸題，它的信息量大，綜合能力強，靈活度高，能全面考查學生的核心素養，重點考察動態分析能力，在動態幾何變換的背景下考查的旋轉最值和解直角三角形等。

二、解法探討

24題（1）（2）都是和動點F有關，（1）問點F位置是在AC上，利用全等的知識比較容易求證，這里不祥細闡述。（2）問S=Sl-S2是否存在最大值？期中S1可以算出來是常量，S2是變量，主要是由動點F的位置決定的，若S有最大值，則S2就是最小值，那又如何判斷s2有最小值？根據S2=1/2ABhF（hk表示點F到邊AB的距離），因為AB=6，所以要使S2最小，就是最小，點F在什么位置時候hF最小？這個就是大部分學生的難點，因為點F是動點，學生的思維混亂，無從下手。

構建模型一：hF的最小值一箭穿心成共線（點D、點F、點H三點共線）。

為了突破難點，我們就關注點F，既然它是一個動點，就去探究其運動路徑，因為△CDE關于DE的軸對稱圖形為△FDE，所以FC=DC=2，不難發現點F是以定點D為圓心，半徑為2的圓弧上的一點，如圖2，于是問題就轉化為探究圓上一點到直線的最小距離，即過點D向AB作垂線段DH與OD相交得到與AB距離最近的點F。因為hF=DH-DF=DH-2所以hF也最小。S存在最大值連接AD，AF，BF，過點D作DH⊥AB于H，如圖5∵CD=2，等邊三角形ABC邊長為6，BD=4，BH=2，DH=2√3，∴S1=S△ACD=1/2×3√3*2=3√3，由于S= Sl - S2，當S2有最小值時，S有最大值，

∵△CDE關于DE的軸對稱圖形為△FDE.

∴FC=DC=2，即點F是以定點D為圓心，r=2的圓弧上的一點，

∴S2=1/2ABhF=1/2*6hF=3hF

當點F恰好落在DH上時，有hF最小值=DH-r-2

S2最小值為S2=3hF=6√3-6，S最大值為

3√3- （6√3-6）=6-3√3.

[反思]要突破難點實際上是為學生建立了——圓上任意一點到已知直線距離的最小值問題模型，解決此問題的通法是回到定點D來解答，先確定DH的最小值（垂線段最短）再減去定長DF，從而解決此問題。

構建模型二：最小值化折為直

解法2：S存在最大值。與解法1相同的部分不重述了，主要說難點，如何求FH的最小值，關注動點F落在何處，如圖3，任取動點F'（不在DH上）根據三角形三邊關系與垂線段最短性質知DF'+F'H'>DH'>DH（DH=DF+FH），且DF、=DF-2，所 以F'H'>FH，當F'點恰好落在DH上點F重合時，此時F'H'=FH取得最小，補全圖形如圖4。

[反思]要突破難點實際上是為學生建立了——三角形三邊關系（兩邊之和大于第三邊）模型，當兩邊之和與第三邊（定值）重合時，存在最小值，最小值為定長DH與2的差。

（3）當當B，F，E三點共線時如圖6，求AE的長。

要求AE的長，可設EC=x，則AE=6-x，此時要找到關于x的數量關系列出方程，然后解方程，問題就解決，但大部分同學不知如何找它們之間的數量關系，這個也是此問的難點。

構建模型三：構造直角三角形，利用解直角三角形的知識突破。

解法1如圖7，過點D作DP⊥BE，過點E作EQ⊥BC，

由此可知（1）知△DCE≌△DFE，設CE=x，則EF=x，DF=DC=2，∠DFE-∠c=60°，在Rt△DFP中，PF=DF=1，PD=√3在Rt△BPD中，BP=√BD2-PD2=√42-（√3）2=√13，sin∠DBP=DP/DB=√3/4在Rt△BPD中，QE=EC·sinC=√3x/2在Rt△BPD中：BE=BP—PE+EF=√13-1+xsin∠EBQ=EQ/EB=√3x/2/√13-1+x∵∠DBP=∠EBQ∴√3/4=√3x/2/√13-1+x解得：x=√13-1，∴AE=AC-CE=6-（√13-1）=7-√13

[反思]“直角三角形模型”是平面幾何一種基本圖形，解法1主要是利用在直角三角形中三角函數的知識找準等量關系，列出關于味知數的方程完成解答。

解法2：如圖8，過點D作DP⊥BE，過點E作EQ⊥BC，

由可知（1）知△DCE≌△DFE，設CE=x則EF=x，DF=DC=2，∠DFE-∠C=60°，在Rt△DFP中，PF=1/2DF=1，PD=√3，在Rt△BPD中，BP=√BD2-PD2=√13，在Rt△DFP中，CQ=1/2CE=1/2x，QE=√3x/2，在Rt△BEQ中，BQ=BE-CQ=6-1/2x，BE=BF-PF+EF=√13-1+x，由勾股定理，可得：BQ2+QE2=BE2即：（6-1/2x）2+（√3x/2）2=√13-1+x）2解方程得：x=√13-1，所以AE=AC-CE=6-（√13-1）=7一√13.

[反思]解法2主要是利用勾股定理的知識找準等量關系，列出關于味知數的方程完成解答，但前提仍是在構建“直角三角形模型”中才能破解。

解法3：由折疊得，∠EFD=∠ECD=60°，DF=DC=2，如圖，過D點作DG⊥BE交BE于點G，過B點作BH⊥AC交AC于點H，在Rt△DFG中，FG=DF·cos∠DFG=√3在Rt△BGD中，由勾股定理得，BG=√BD2*GD2=√3，∴BF=BG—FG=√13-1，在Rt△BHC中，CH=BC·cos∠=3，BH=BC·sin∠C=3√3設CE=EF=x，則HE=CH-CE=3-x，BE=BF+EF=√13-1+x，在Rt△BEH中，由勾股定理得：BH2+EH2=BE2即（√3）2+（3-x）2（√13*1+x）2解得x=√3-1，∴AC-CE=7-√13，。

[小結]解法3仍是利用勾股定理的知識找準等量關系，列出關丁味知數的方程完成解答。

解法4：由折疊得：

∠EFD=∠ECD=60°.DF=DC=2，

當B，F，E三點共線，∠BFD=180°-∠EFD=120

過點D作DG⊥BE交BE于點G.在Rt△DFG，FG=DF·cos∠DFG=1，DG=DFsin∠DFG=√3，在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG=√BD2-GD）=√13，∴BE=BG-FG√=√13-1，∵BD/CD=√13-1，∵BD/CD=2，∴S△BDE/S△CDE=2由折疊得：教△EDF≌△EDC，∴S△EDF=S△EDC，∴S△BFD=S△EDFBF=EF=CE=√13-1，∴AE=AC-CE=7-√13

[反思]解法4是利用解直角三角形和面積法進行計算。尤其是用面積公式來推理，很多學生難以想到，主要抓住折疊的性質及△EBD與△EDC的面積比=2：1，推出BF=FE=EC，從而算出EC，所以在解題時一定要“讀題”，對題目中的條件在大腦中有個整體的認識，然后根據條件的特征和相互聯系發現解題的途徑。

解法5：當B，F，E三點共線時，有ED平分∠BEC，設EC=X，在△EBC中，由角平分線定理得BE/EC=BD/DC ∴BE=2x過點E作EH⊥BC交于點H，在Rt△EHC中EH=√3x/2，HC=1x/2，則HB=6-1x/2在Rt△EHB中：BE2=BH2+HE24x2=3x2/4+（6-1x/2）2解得：x=-1+√13∴AE=AC-x=7-√13

[反思]解法5是利用勾股定理和角平分線定理找準等量關系，列出關于未知數的方程完成解答。此方法相對上面的方法計算相對簡單，學生容易接受。

構建模型二：構造相似三角形，利用相似比突破。

解法6：作∠HFB=60°，過點D作DG⊥BE于點G

∵B，F，E三點共線 ∴∠DFH=60°

又∠ABF+∠FBH=∠FBH=∠FDB=60°

∴∠FDE= ∠ABF 又∵∠DFH=60°=∠A

∴△DFH∽△BAE

∴DF/AB=FH/AE，設AE=y，

∴2/6=FH/AE可算出FH=1/3y

在Rt△DFG中，FG=DF·COS∠DFG=1，DG=DF·sin∠DFG=√3，

在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG=√BD2-GD2=√13

∴BF=BG-FG=√13-1

又∠BFH=60°=∠C，∠FBH=∠CBE（公共角）

△FBH∽△CBE

∴FH/CE=FB/CB

∴（1/3y）/（6-y）=（√13-1）/6，解方程可算出y=7-√13

[反思]構造“相似”模型一種常見的方法，解法6在本小題中利用的角去構造兩個相似三角形，利用相似比建立方程完成解答。

三、題后啟示

（1）初中生應具備數學建模能力，縱觀初中數學教材不難發出，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式，及各種圖表、圖形等都是數學基本模型。如以上每一種解法都是在構建基本模型下探尋的，不管是直接方法還是間接方法，其主線是從幾何的背景出發，利用幾何圖形的性質，列出方程，求出結果。要破解壓軸題的前提是構建合適的基本模型。

（2）對于此類壓軸題，師生希望“解一題，會一類，通一片”，希望能舉一反三、觸類旁通，這就是需要學生平時注重積累基本模型，并要全面地對其歸類，理解“實際問題——建立模型——求解驗證”的數學活動過程，逐步熟練地應用模型解決問題。

參考文獻：

[1]史寧中.數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，