教師數學文化素養的內涵與特征分析
——基于數學文化課例的解讀

（1.西南大學 教育學部，重慶 400715；2.蒙彼利埃小學，四川 成都 610094）

20世紀80年代后期以來，數學教育研究目光轉向“社會—文化研究”，基本圍繞“數學文化研究、數學教育的文化研究和數學教育的社會研究”[1]3個論題展開.自此，認可數學是一種文化現象，從文化角度審視數學教育，賦予數學新內涵、新思考成為數學教育研究的一個重要關注點.近年來，數學文化研究已經在“理論的層級化、教育價值和功能以及學與教的改進與變革”等方面取得豐富成果，研究方向也開始過渡到“數學的教師培養或數學教師的培養”[2].

理論建構走向實踐層面已是順勢而為，2003年頒布的《普通高中數學課程標準》首次提到“數學文化”，并強調了“數學文化”的重要性.《義務教育數學課程標準（2011年版）》進一步明確把數學文化滲透在數學教材中.數學文化融合于數學課程意味著傳統數學課程內容和形式的改變，是數學課程觀的變革與發展，是數學自身文化的發展[3].這也就意味著數學教育決不僅僅是數學知識與技能的教育，更是一種數學文化教育.數學教師作為數學文化教育的實際踐行者，在教育過程中通過傳承數學文化，孕育并提升學生的數學文化素養.因此，教師數學文化素養是培養學生數學文化素養的先決條件，直接影響著數學文化教育的效益.

無論從理論研究還是現實實踐層面，教師數學文化素養的內涵是什么？特征是什么？都是有待解決的現實問題.研究借助數學文化課例厘清教師數學文化素養的內涵與特征.

1 教師數學文化素養的內涵

教師數學文化素養研究是隨著數學文化研究的不斷深入，數學文化研究對象從學生轉向教師的必然結果.教師數學文化素養是教師專業素養的分支，厘清教師數學文化素養的概念，必先清楚教師專業素養.

1.1 教師專業素養的內涵

教師專業素養不同于教師素養或教師素質.“教師素養是教師愿意成為教書育人者而應有的職業本質要求.”[4]教師專業素養是教師素養的下位概念，是在承認教師是一種專業化職業的基礎上，教師為完成教育教學任務所具備的一種專業品質.

教育部師范司考察已有教師專業素養，分析優秀教師與成功教師的特征，推演出教師專業素養分為“專業知識、專業技能和專業情感”[5]3個層次.因而，教師專業素養可以理解為教師為完成教育教學任務所具備的一種專業品質，包括專業知識、專業技能以及專業情感.

1.2 教師數學文化素養的內涵

基于教師專業素養的內涵，教師數學文化素養可以理解為教師從事數學文化教育教學工作應具備的一種數學文化品質，包括數學文化知識、數學文化技能以及數學文化情意.

然而，教學活動是教師工作的中心，站在數學文化教育的角度，全面科學地揭示教師數學文化素養的內涵，應關注教師數學文化素養的實踐樣態，通過教學實踐活動來深入了解教師數學文化素養的獨特性，揭示其實踐特征.因此，進一步通過數學文化實踐課例解讀教師數學文化素養的內涵.

1.2.1 數學文化知識是教師數學文化素養形成的基礎

每個人無論承擔何種社會角色都必須具備正常擔任該角色必不可少的知識[6].對于教師而言，同樣應該如此.教師學識水平的高低直接體現著教師的影響力，制約著教育的效果[7].因此，教師具備關于數學文化方面的知識是教師承擔數學文化教育任務必不可少的基礎性條件.以莫比烏斯帶素材解讀為例，具體說明教師需要哪些數學文化知識.

【案例1】莫比烏斯帶之素材解讀

教師在備課階段，從以下5個方面對數學文化素材進行解讀與加工：

（1）數學知識.

普通紙帶通常有兩個面、四條邊，普通紙環有兩個面、兩條邊，而“莫比烏斯帶”是只有一個面、一條邊的紙環.

（2）數學思想方法與數學精神.

莫比烏斯帶具有獨特的性質，將紙環沿邊二等分、三等分、四等分……并沿著等分線剪開，得到不同特征的紙環.此處學生可以經歷“猜想—驗證”的過程，甚至可以列出表格，運用不完全歸納法，猜想n等分時紙環的特征.在猜想—驗證的過程中，實事求是與追求理性的精神得到煥發.

（3）數學故事.

在引入部分，教師選取“聰明的捕快”這一關于莫比烏斯帶的故事激發學生的學習興趣.

從前，有一個小偷偷了農民家的東西.誰知，被巡邏的捕快發現了，當場抓獲并押往了衙門.縣官抬頭一看，這小偷竟是自己的侄子！他想放了小偷，但又怕別人知道，于是在一張紙條的正面寫道“小偷應該放掉”，反面寫道“農民應該關押”，遞給捕快，說道：“拿去，就照上面的指示辦吧！”捕快拿到紙條一看，他是又生氣，又著急…… 聰明的捕快很快地想出了一個辦法.他將紙條扭了個彎，做成“紙圈”，然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷.縣官知道后大怒，責問捕快.捕快遞給縣官一個“紙圈”說，從“應該”二字讀起，確實沒錯.仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉.

（4）數學史.

了解莫比烏斯帶的來歷：誰是莫比烏斯？他如何發現莫比烏斯帶？這一發現在當時引起了怎樣的轟動？

（5）數學應用與數學美.

了解莫比烏斯帶在生活中的實用價值與美學價值，比如利用莫比烏斯帶制作減少磨損的傳送帶，利用莫比烏斯帶制作的裝飾品、標志、建筑等，如項鏈、可循環利用標志、以莫比烏斯帶為原型設計的圖書館等.

從莫比烏斯帶這一課例中可以看出，教師需要知曉莫比烏斯帶內蘊的數學知識、數學思想方法和數學精神，莫比烏斯帶的數學故事、數學史和莫比烏斯帶的數學應用與數學美等數學文化知識.由此，教師應該具備的數學文化知識是與數學相關的所有數學知識，如數學公式定理、數學思想方法、數學史、數學應用、數學美、數學故事及數學精神等.

教師數學文化知識源于教師不斷收集積累的數學文化素材以及教師自身數學文化教學實踐，在逐步提煉素材和總結實踐經驗的基礎上，教師對數學文化形成一個基本正確的認識和理解，這種認識和理解便是教師的數學文化知識，教師數學文化知識是教師數學文化素養最直接的表現形式.

1.2.2 數學文化技能是教師數學文化素養外化的關鍵

數學文化教育是傳承數學文化，孕育學生數學文化素養的教育.在這個教育過程中，需要教師具備數學文化技能，外化自身數學文化素養.教師數學文化技能不僅包括教師數學文化教學能力，也包括數學文化研究能力.因為作為教師，既要成為教學者，也要成為研究者，做到教學數學文化、研究數學文化.

（1）數學文化教學能力.

教師數學文化教學能力是教師數學文化素養在教學活動中的實踐運用，與課堂教學息息相關.作為數學文化的教學者，教師需要具備確立數學文化教學目標的能力、收集與選擇數學文化素材的能力、在數學文化素材中挖掘數學思想方法的能力和運用數學文化素材設計數學活動的能力.其中，收集與選擇數學文化素材的能力和在數學文化素材中挖掘數學思想方法的能力在數學文化知識部分已有一定闡述，以下案例著重探討確立數學文化教學目標與運用數學文化素材設計數學活動的能力.

① 確立數學文化教學目標的能力.

教學目標是教學的邏輯起點與最終歸宿，是教師對學生應該達到的學習效果或最終行為的清晰闡述.因此，教師進行數學文化教學時，首先應該樹立明確的數學文化教學目標，明了融入數學文化教學的目的，圍繞數學文化教學目標進行和開展數學文化教學活動.以莫比烏斯帶數學文化課為例，具體說明數學文化教學目標如何確立.

【案例2】莫比烏斯帶之教學目標設計

在對比探究中認識“莫比烏斯帶”，并會制作“莫比烏斯帶”.

動手操作，驗證交流，體驗“猜想—驗證—探究”的數學過程，經歷猜想與現實的沖突，感受“莫比烏斯帶”的神奇變化，養成科學探究與實事求是的品格.

了解莫比烏斯帶的來歷、優點與運用，激發數學學習興趣，感受莫比烏斯帶的美.

從“莫比烏斯帶”課例中的目標設計可以看出數學文化教學目標的確立要求教師從數學文化的內涵與外延兩方面來確立.莫比烏斯帶案例中的目標1是對學生的數學知識與技能提出要求；目標2是注重數學思想方法與數學精神培養，通過活動讓學生經歷“猜想—驗證—探究”的過程；目標3是注重學生對數學史、數學應用、數學美的熏陶.

由此，數學文化教學目標的確立同樣滿足3維目標設計，涵蓋知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀.但區別于一般數學教學，數學文化教學的目標更多是通過數學文化窗口讓學生了解數學與世界的聯系、數學的產生與發展、數學價值.基于此目的，教師確立數學文化教學目標時可多注重過程與方法、情感態度與價值觀方面的教學目標.

② 運用數學文化素材設計數學活動的能力.

數學教學由一系列數學活動組成，而教學活動的背后離不開豐富的教學素材的支撐.因而數學文化教學活動的設計，首先需要選擇合適的數學文化教育素材.數學文化教育素材包含數學典故、數學概念的由來、數學符號的意義、數學工具的介紹等[8].這些教育素材僅是書面文本材料，教師需要挖掘出數學文化教育素材中的數學思想方法，并將數學文化素材加工處理，最后設計成適宜學生學習的數學活動.下面以軸對稱的活動設計為例來具體說明教師如何運用數學文化素材設計數學活動.

【案例3】軸對稱之數學活動設計

活動目的：了解中國歷史悠久的象形文字，感受軸對稱在中國古漢字中的美與應用，培養文化自信與民族自豪感.

活動材料（手段）：印有中國古漢字（雨、山、日、旦、暮等具有軸對稱結構的中國古漢字）的卡紙、彩筆及多媒體.

活動規則：4或5人一小組（組內組員分配不同角色，如小組長、材料管理員、智多星……），先找到并用彩筆畫出古漢字對稱軸，再猜測古漢字所對應的現代漢字，時間5分鐘，規定時間內猜的又多又正確的小組獲得小獎章.

活動拓展：除了漢字，古人還將軸對稱運用到了生活的方方面面.你了解中國文化中與軸對稱息息相關的部分嗎？請上網查一查.

從軸對稱的課例中，可以看出教師需要將數學文化素材設計成一系列的數學文化活動，通過活動實現數學文化教學目標.運用數學文化素材設計教學活動的能力要求教師在活動設計的過程中，需要注意以下3個問題.第一，科學性與人文性的統一，既要涉及數學知識與數學思想方法，又要給活動提供一個具有人文意蘊的背景.案例3將中國文化與數學中的軸對稱相融合，兼顧科學性與人文性.第二，注重小組合作與交流，賦予組員角色意識，增強學生在活動中的參與感與責任心，并鍛煉學生的交流表達與溝通合作的能力.第三，注重活動延伸，課堂的數學活動只起到拋磚引玉的作用，在學生心中打開一扇數學文化王國的大門，激發學生的學習興趣，而課外的活動延伸可引導學生成為自主探索數學文化的主人，培養其自主學習與管理的能力.

（2）數學文化研究能力.

教師參與研究是教師對自身教育教學行為的一種自我反思，是從教學理論層面考慮教學實踐問題，是對教師能力的更高要求.

一般教師參與研究的形式分為兩種：“一是學科教學研究，即學科教研活動，主要解決諸如教學重點、教學方法等方面的問題；二是科研課題研究，主要由學校少數骨干教師組成課題組.”[9]教師數學文化研究能力同樣可以據此劃分為數學文化教學研究能力與數學文化課題研究能力.數學文化教學研究能力主要是教師能夠對自己數學文化教學進行反思，涉及的內容多與數學文化教學實踐相關，諸如教學內容、教學重難點、教學方法的選擇等.數學文化課題研究能力是基于對數學文化整體的認識理解，然后就數學文化的某一方面進行深入思考研究，且多為當前普遍存在、急需解決的實踐問題.因此數學文化課題研究成果多可以推進數學文化教育教學改革，轉變教師的數學文化教育教學觀念，利于教師數學文化教學，提高教師的數學文化素養.

1.2.3 數學文化情意是教師數學文化素養發展的前提

在人類的歷史長河中，數學扮演著怎樣的角色？在茫茫宇宙中，數學如何揭示著世間萬物存在著的普遍規律？在抽象冷靜的邏輯思維中，數學史里存在哪些溫情柔軟的瞬間？數學文化情意是人們在解答這些問題的過程中對數學、生命與宇宙油然而生的敬意.教師數學文化情意是教師在數學文化教學實踐過程中對數學文化所形成和沉淀的一種情感傾向.下面以“圖靈的密碼”一課為例，說明教師數學文化情意在教學過程中是如何體現的.

【案例4】圖靈的密碼

教學目標

（1）通過破譯密碼的游戲，了解編碼中加密與解密的過程，理解“錯亂法”“代換法”“加亂法”3種基本的加密方法.

（2）通過“編密碼本、設計密文”，能自己編制密文，并嘗試破解他人的密碼，感受數學在密碼學中的應用.

（3）通過了解數學在第二次世界大戰中的作用，觀看“圖靈”及“計算機與二進制”視頻，走近偉大的數學家圖靈，感受數學在軍事、科技與生活中的重要價值.

教學片段…………

T：二進制在運用到計算機中后得以迅速發展，有一個特殊的時代背景（呈現PPT，第二次世界大戰）.

T：大家知道這是哪里嗎（呈現PPT，二戰中的重慶圖片）？

S：重慶.

T：今天我們繁榮的重慶就是在這樣的斷壁殘垣中重建起來的.我們來看一組數據（PPT呈現）.

61個國家和地區、20億以上人口被卷入戰爭

作戰區域面積2?200萬平方千米

據不完全統計，戰爭中軍民共傷亡9?000余萬人

經濟損失5萬多億美元

人類歷史上規模最大的世界戰爭

S：這場戰爭真是太可怕了！

T：一位數學家的出現，使這場世界性戰爭提前兩年結束.這個人叫阿蘭?麥席森?圖靈.他是數學家、邏輯學家、密碼學家、計算機科學之父、人工智能之父，是計算機邏輯的奠基者.因為圖靈破解密碼，二戰盟軍成功進行諾曼底登陸，開辟歐洲第二大戰場，第二次世界大戰提前兩年結束.

該案例中教師將“編碼”與“二進制”產生的真實背景融入教學中，數學的軍事價值在殘酷的第二次世界大戰中得到凸顯，豐富的情境給學生極強的代入感，更能體會數學在軍事中的應用價值，從而對數學、數學家、歷史有更深刻的認識.在挖掘與呈現這些素材的過程中，教師與學生的數學文化情意一起得到升華.

歷史上的許多重要事件成為數學發展的轉折點，但這些真實而重要的背景卻往往被教師忽略，只留下單薄的、冰冷的數學知識教給孩子們，這樣的教學其文化價值是有缺失的，也是數學文化情意缺失的一種體現.教師數學文化情意是教師對數學文化價值的認同、理解以及運用，這種認同根植于教師對數學文化的基本理解之上.教師數學文化情意的形成是基于教師具有一定的數學文化知識、數學文化技能，在實踐中所形成的對數學文化更深的認識，是教師數學文化素養進一步發展的前提.

2 教師數學文化素養的基本特征

分析教師數學文化素養的基本特征是對教師數學文化素養內涵的進一步認識.基于教師數學文化素養內涵的理解，教師數學文化素養的特征主要包括：長期穩定性、發展階段性、實踐生成性和綜合復雜性.

2.1 長期穩定性

教師數學文化素養不是與生俱來的，而是在數學文化學習以及教學過程中慢慢生成并且發展的，具有長期性的特點.這種長期性包含兩層涵義：其一，數學文化素養的形成過程是一個日積月累的過程，需要長期不斷地豐富數學文化知識、完善數學文化技能，衍生數學文化情意；其二，數學文化素養貫穿人的一生，它不僅著眼于當前數學教師的數學文化教學，同時還對數學教師未來的教學產生持續性影響.

其次素養具有穩定性，素養并不只存在于一時一事中，而是表現為一個人某種長期和一貫性的特點.教師數學文化素養更是體現了素養的穩定性特點.無論是教師數學文化素養的生成亦或是外化，數學文化素養一旦形成，便不會在短時間內消失，而是在一定時間段內保持相對穩定性.

教師數學文化素養的長期穩定性特征是教師數學文化素養最基本的特征，這也就決定了教師數學文化素養對教學具有長期影響性，同時也意味著教師數學文化素養培養與發展過程中需要注意日積月累的作用，不可操之過急.

2.2 發展階段性

“教師是能夠不斷追求自我實現和專業成長的人，每位教師都在不斷的成長與發展中，后一發展階段比前一發展階段要成熟，教師在每個不同發展階段，其專業發展水平及要求不同，但在總體發展方向上基本是保持向上、向前.”[10]基于教師專業發展具有階段性，作為數學教師專業素養的一部分，教師數學文化素養同樣具有發展階段性.

教師數學文化素養的形成是一個從無到有、由低到高的過程.這樣的過程可以通過后天的培養促成，并且在這個發展過程中，不斷積淀充實，由量變到質變，從一個階段跨越到另一個階段，完成飛躍式的發展.在每個發展階段，教師數學文化素養的特征表現不同，這些不同質的教師數學文化素養特征就構成了教師數學文化素養的發展階段性.

2.3 實踐生成性

素養是一種內在的東西，素養通過行為培養并得以檢驗.同理，教師數學文化素養也是在現實情境中指導實踐的開展，并通過教學實踐行為表現出來.在不斷的教學實踐過程中，教師會不斷生成對數學文化知識、技能、情意的新理解.新的理解反思產生新的實踐行動，新的實踐反思又日益加深理解，如此循環往復，這種理解認識的加深必然導致教師數學文化素養進一步得到完善和提升.

因此，教師數學文化素養是在實踐中體現，又在實踐中完善，具有實踐生成性.教師數學文化素養的實踐生成性特征是教師素養區別于其它素養最明顯的特征，既來源于實踐又用于實踐，在實踐中不斷檢驗.這也就意味著數學教師要在實踐中加深對數學文化知識、技能、情意的理解，進而在實踐過程中培養自身的數學文化素養.

2.4 綜合復雜性

素質是一個人的品格、精神、知識、能力、學識、言談、行為舉止等的綜合[11].沒有任何一種單獨的特征可以概括人的素質.教師數學文化素養是教師數學文化知識、數學文化技能以及數學文化情意三者的綜合體.也就是說，教師數學文化素養并不是數學文化知識、數學文化技能和數學文化情意的簡單相加，三者之間相互影響作用，缺一不可，共同構成教師數學文化素養.

此外，素養的形成過程是一個長期的、反復的、漸進的自主生成過程，這個過程中受多種因素的影響.教師數學文化素養是教師從積淀豐富的數學文化知識到熟練掌握數學文化技能再到正確認識數學文化，認同理解數學文化的教育價值的過程中所形成的一種綜合性品質.這樣一個過程必然長期受著多種復雜因素的影響.

因此教師數學文化素養具有綜合復雜性.這種綜合復雜性既體現在教師數學文化素養中的數學文化情意、數學文化知識與數學文化技能之間的作用，影響機制復雜，也體現在數學文化素養的形成過程，也是一個漫長復雜的過程.

3 對提升教師數學文化素養的思考

教師數學文化素養是融合數學文化知識、數學文化技能、數學文化情意的綜合性品質，表現為長期穩定性、發展階段性、實踐生成性、綜合復雜性.基于對教師數學文化素養內涵與特征的解讀，就現階段如何提升教師數學文化素養進行一些思考.

3.1 學：廣泛學習數學文化知識

教師對數學文化知識掌握的深度與廣度直接影響著數學文化教育內容的豐富性與趣味性，尤其體現在數學文化素材的選擇及其呈現方式上.教師數學文化素養并非是教師一開始就具備的品質，而是源于教師自身有意識地鍛煉與培養.在這個過程中，教師首先需要做的就是以數學文化知識內涵為參照，思考數學知識點所蘊含的數學文化.“一個人要成為合格的教師，應當有超量豐富的知識，他的知識必須比教科書上的原理或比任何固定的教學計劃更為廣博.”[12]一名合格的教師要拋開教材，充分利用身邊可用的資源，學會從各個視角挖掘數學素材中所蘊含的豐富的數學文化信息，拓展自身數學文化知識儲備，成為學生心目中喜愛又敬佩的數學代言人.

3.2 行：積極開展數學文化教學

教師數學文化素養源于實踐，又服務于實踐.數學文化教學是數學教師提升數學文化素養最直接也是最有效的方式.開展數學文化教學，將數學文化有機地融入數學課堂，是將教師數學文化知識用于實踐的過程.在這個過程中，需要教師創建屬于數學文化教育的教學模式.數學文化教學模式下的數學教學要求教師能夠確立恰當的數學文化教學目標、靈活運用數學文化素材、巧妙選擇適宜的教學方法、合理設置數學文化情境等.通過一系列的數學文化活動，進而加深對數學文化的理解，提升數學文化素養.

3.3 思：日常反思數學文化教學

數學文化知識的積累與數學文化教學的開展是教師數學文化素養提升的有效途徑.除此之外，教師數學文化素養的提升還來源于教師對日常數學文化教學的反思.反思的完整環節就是自我觀照、自我覺察、自我改變的過程[13].實際上，教師需要在數學文化教學后進行反思，深入理解數學文化的教育價值所在，審視數學科學性與人文性的雙重屬性，體悟數學超越科學主義的文化意義，明了數學文化教學的目的在于培養學生的理性創新精神和獨立人格.

4 結束語

研究基于數學文化課例，分析了教師數學文化素養的實踐樣態；識別出教師數學文化素養的要素框架，包括教師數學文化知識、數學文化技能、數學文化情意；闡釋了教師數學文化素養的顯著特征，包括長期穩定性、發展階段性、實踐生成性、綜合復雜性.研究是對教師數學文化素養內涵及要素的實踐邏輯分析，而對教師數學文化素養提升的思考僅是從理論上作了一定的回答，仍需實踐驗證.后繼研究需要研究者在“教師數學文化素養的培養”“教師數學文化素養的測評”以及“教師數學文化素養的實際現狀”等方面做進一步探索.