指向深度學習的數學整體性教學設計

（浙江省杭州市育海外國語學校，浙江 杭州 311122）

1 問題提出

課改十多年來，雖然教師們普遍認同新課程理念，也在努力改變自己的教學方式與方法，但在教學中還是存在諸多困惑，如“教了，為什么沒有學會？”“學會了，為什么不能舉一反三？”“學會了，為什么還是不會學？”等.究其原因主要有以下3個方面.（1）教學內容的“碎片化”.教學中忽視知識內在的關聯性以及知識形成、發展過程中的邏輯關系，不清楚該知識在整個單元或教材體系中的地位和作用，形成“只見樹木，不見森林”的教學狀態，以致學生孤立習得的知識碎片不能正確地應用在現實生活的整體任務中，導致學習的遷移度低.（2）不重視“研究對象的獲得”.教師習慣用“一個定義，三項注意”的方式讓學生記住概念的形式化表述，在學生還不知道研究對象的基本特征時就開始“講解例題，大量練習”，以致學生對知識、方法以及學科思想缺乏感悟、內化的過程，導致淺層次學習.（3）無經驗的學習.學習本質是經驗在深度和廣度上持續變化，即個體在原有經驗的基礎上，通過自主建構形成新經驗的過程.但教師習慣于重視學生知識的積累和運用，忽視學生研究知識的路徑和方法經驗的積累，以致學生不能運用“類比”的方法研究結構相似的內容，實現方法遷移，導致學生不能以少馭多、以簡馭繁，這是學生數學學習負擔重的教學原因.

綜合3方面原因，其核心是教師沒有引起、維持或促進學生的學習，學生的學習特別是深度學習沒有真正發生.

2 深度學習

“深度學習”最早由美國學者馬頓和塞利約（Marton&S?lj?）在1976年相對于記憶和非批判性接受知識的淺層學習而提出的一個概念，之后，國內外許多學者展開了深度學習的研究，但其內涵還沒有達成共識，研究者比較傾向下面的觀點：美國研究院（American Institues for Research）最新的研究成果是，深度學習是學生對核心課程知識的深度理解以及在真實的問題和情境中應用這種理解的能力.此處的能力有3種：一是認知能力，即深度理解內容知識、批判性思維與復雜的問題解決能力；二是人際能力，即協作與交流；三是內省能力，即學會學習以及學術信念[1].該研究成果強調深度學習是基于對知識的深度理解，通過深度的學習活動，解決復雜問題并發展高階思維.

何玲、黎加厚[2]認為：深度學習是在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習.強調深度學習要重在學生的理解、反思、建構以及遷移運用和問題解決.

基于以上觀點，研究者認為深度學習是基于學生對學習主題的理解，以解決挑戰性問題和發展高階思維為目標的學習，即通過對核心內容的分析和教材的整合以及學生高階認知參與，獲得知識、過程、方法、價值的深度感悟，完善和發展認知結構，形成學習能力，并能將這種能力遷移到新的情境，有效解決挑戰性問題的學習.

3 整體性教學的理解

3.1 整體性教學的理論背景

“整體論”一詞最初是1926年南非政治家斯穆茨首次提出，而作為一般方法論影響全球，并被人們廣泛用于各個領域的是源于20世紀初貝塔朗菲提出的系統論.系統論把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系、相互作用中綜合地考察認識對象.系統論強調事物的因果關系，站在事物全局的高度，用整體的視野去思考問題，優化問題解決策略[3].因此，整體性是系統的最基本特征，在看待某個事物時，不應將其分離成各個“碎片”逐一進行研究，而應將其看成一個完整的整體加以研究和考察，并使整體結構朝著優化的方向發展.

隨著系統論的發展，20世紀90年代以來國外許多專家、學者都在積極研究和探索隱含整體思想的教學設計模式，比較有代表性的是麥里恩博爾提出了“面向復雜學習”的4要素教學模式（即4C/ID），把“學習任務、支持性信息、程序性信息、部分任務練習”4個要素作為訓練復雜認知技能，改進業績表現的核心設計要素[4].該設計模型主張先整體，后再用逐層展開的方式對局部和細節進行“精細加工”，最后回到整體，并強調為學生完成整體性學習任務提供有力的支持和有效的指導.

特別是認知心理學家奧蘇貝爾從兒童習得知識的角度，提出了兩個處理教材的原則：一是設計先行組織者，二是逐漸分化原則.所謂先行組織者，是指一些與教學內容相關的、包攝性較廣的、比較清晰和穩定的引導性材料，它為學生提供了幫助理解和記憶新知識的腳手架.所謂逐漸分化原則是指學生首先應學習最一般的、包攝性最廣的觀念，然后根據具體細節對它們逐漸分化，或者說，教學中應先學習上位概念，然后在上位概念的同化之中學習下位概念[5].

先行組織者設計有兩種方式，一是為學生提供新知學習的上位概念或知識大框架，引導學生形成對新知識本質屬性的總體印象，使學生認識到知識之間的聯系；二是為學生學習新知識提供類比或分辨的參照、提供學習線索，幫助學生獲得研究內容、形成研究思路、找到研究方法.逐漸分化原則要求教學遵循從“整體”到“局部”、從“上位”到“下位”的原則，即在具體教學開始之前，以一個單元或一章內容作為一個整體，將所教的內容作一個整體性的梗概介紹，然后進入局部研究，使學生對這一部分內容的來龍去脈有一個大致的了解.奧蘇貝爾的先行組織者策略和逐漸分化原則為整體性教學設計提供了理論基礎和操作依據.

國內也有許多學者提出了整體性教學的一些觀念，如王光明教授等從數學命題教學提出了命題的組塊化教學和“整體—部分—整體”教學方式[6]；何小亞教授從發展學生良好的認知結構角度，提出數學學習應“先從整體知識的研究對象、研究方法和用途等方面給學生一個全面的概述，使學生對這一知識單元有一個整體的認識，然后逐個學習”[7].葉瀾和吳亞萍教授在“新基礎教育”實驗中提出“整體感悟”“長程兩段式”和“綜合融通”教學策略[8].

《義務教育·數學課程標準（2011年版）》對整體性教學也提出了具體要求：“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點'與‘延伸點'，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同層次進行理解.”[9]

綜上所述，這些已有的研究，它們的共同之處是都強調實施“整體—部分—整體”教學方式，讓學生比較完整地經歷問題研究過程、規劃研究框架、積累研究經驗，從而站在系統高度認識知識之間的關聯性.

這些理論的構建基本是完備的，但缺乏實踐性操作，以致一線教師無法將“理論”轉化為“實踐”這一生產力，因此，在實踐操作層面需要對整體性教學作進一步研究.

3.2 整體性教學設計的含義

什么是整體性教學設計？至今還沒有形成統一的定義，結合以上專家、學者的觀點，研究者認為數學整體性教學設計是將具有結構關聯的知識學習作為一個“系統”，以學生的“學”為中心，以“用”知識和方法學習新知、解決問題為目標，把具有相同或類似結構的一類課進行關聯思考和整體設計，即通過對教材知識的“深度理解”，將同一個結構單元或者是不同單元但結構類同的內容的教學過程分為“學會結構”和“運用結構”兩大階段（簡稱“學·用”結構），前者主要整體認識知識關系、確定學習對象、形成學習經驗，后者主要將這種經驗遷移到新的情境，類比學習新知、解決問題，完善認知結構，其“學·用”結構如圖1.

圖1 “學·用”結構

上述教學過程中，首先，要結合具體情境，引導學生通過直觀想象、數學抽象認識事物的本質、關系及其規律，獲得數學的研究對象，這是開展整體深度學習活動的基礎；其次，需要根據研究對象的特點確定合適的類比對象并構建研究路徑，通過類比、聯想、特殊化、一般化等推理活動發現和提出數學問題（概念、性質、法則等）、形成研究思路、找到研究方法是感悟數學思想，積累數學活動經驗的關鍵，也是實現數學學習“以簡馭繁”的關鍵；再次，在整體思路和方法指引下，組織學生進行自主探究，建構知識體系，這是整體性教學設計的核心；最后，開展應用獲得的知識、思想、方法研究新情境中的問題，這是實現有效遷移的保證.

4 數學整體性教學設計的實施策略

數學知識不是孤立的“點”，而是圍繞基本命題及統一的概念體系被組織、被建構的，是相互聯系的“整體”.從數學知識的關聯性來看，數學知識之間有縱向知識結構關聯、橫向知識結構關聯或者縱橫融通的知識結構關聯，教學設計要遵循知識之間內在的結構關系進行整體設計.

4.1 縱向知識結構關聯的整體設計

縱向知識結構關聯是指單元內知識的發生、發展關系或結構相同的單元知識之間的關系，呈鏈狀、縱深發展，又稱“條狀知識”.縱向知識結構關系的整體設計就是圍繞單元知識（包括不同年級知識）進行系統思考，并將單元知識聯系起來進行整體設計，采取“上掛下聯”策略.這種設計有助于學生從上、下位聯系（縱向聯系）中，發現知識在其系統中的邏輯關系，反映的是知識之間的來龍去脈或因果關系.

（1）學——單元內縱向知識關聯設計.

以一個單元內知識的發生、發展為線索，學習這一單元知識的“一般觀念”，即問題如何發現、概念如何形成、性質如何研究、問題如何解決等.這個一般觀念可以用作認識后續問題的基礎，這些后續問題是開始所掌握的觀念的特殊情況或一般化[10].

如在“有理數”教學過程中，引導學生形成的一般觀念為：引入負數（生活實踐的需要和數學自身發展的需要）—有理數的概念（定義，符號表示，分類及相關概念：相反數、倒數、絕對值）—有理數的性質（大小比較）—有理數的運算（運算法則、運算律）—有理數的應用.

在單元內知識的教學過程中，要重視學生對知識的理解與感悟，在此基礎上，教師要注重引導學生積累數學學習活動經驗，形成問題研究的觀念系統（基本觀念、方法觀念和策略觀念）.以“有理數”一章學習為例，教師要注重引導學生整理、歸納，形成以下4個方面的學習經驗：數系擴充的基本原因是生產、生活實際的需求和數學自身發展的需求（滿足運算的封閉性）；數系擴充的基本過程是背景—概念—性質—運算—應用；數系擴充學習的基本規律是引進一種新的數，就要定義它的運算，定義一種運算，就要研究它的運算律；數系擴充的基本思想是使得在原來范圍內成立的規律在更大的范圍內仍然成立.

數學教學的目的不只是學習現成知識，其最重要的目的是將習得的知識、方法遷移到新情境中去，也就是要學生學會創造性地解決問題[11].所以教師要重視學生學習整理，將知識和自身經驗連接起來使之有意義，并在大腦里建構起知識體系，形成新的整體.

（2）用——單元間縱向知識關聯設計.

單元間知識的縱向關聯是指單元知識之間具有上下位關系，如數的擴充經歷了“正整數—自然數—整數—有理數—實數—復數”的過程，這是一個不斷從下位到上位的學習過程.

如“實數”一章的教學，教師要善于運用先行組織者教學策略，引導學生類比“有理數”一章的學習經驗，主動構建“實數”一章的學習結構（過程與方法）：引入無理數（生活實踐的需要和數學自身發展的需要）—實數的概念（定義，符號及在數軸上表示，分類，相關概念）—實數的性質（大小比較）—實數的運算（運算法則、運算律）—實數的應用.

學生在以后的“代數式”的學習，甚至高中的“復數”和“向量”的學習，同樣都經歷這樣的類比學習過程.因此，從中學的“數”的學習來看，“有理數”一章的學習是“學會結構”階段，“實數”“代數式”和“復數”“向量”的學習是“運用結構”階段.當然，初中的“有理數”學習不是憑空的，而是基于小學的知識與方法，如果往前推，小學的“整數”的學習是“學會結構”階段，中學的“數”學習是“運用結構”階段，所以教師要系統理解教材，做好教學銜接，使知識有理想的“生長點”和“延伸點”.

4.2 橫向知識結構關聯的整體設計

橫向知識結構關系是指結構類似的不同單元知識之間的聯結關系，是由多個“并列結合關系”的知識鏈構成的結構塊，又稱“塊狀知識”.橫向知識結構關系的整體設計就是圍繞單元知識之間橫向關聯的設計，采取“左勾右搭”策略.

（1）學——起始單元知識教學設計.

起始單元指類結構的第一個單元，起始單元知識教學要遵循“逐漸分化”原則，從整體認識到局部研究，需要經歷“引入—類概念—規劃研究思路—局部知識研究”的過程.其中類概念的學習一般在起始單元的起始課發生，要經歷“整體認識”的過程：具體事例基本圖式對象劃分類概念→抽象命名，這樣有助于學生了解知識內容的框架或知識的來龍去脈，了解知識之間的聯系，使新知的學習有理想的“固著點”.當然，過程中的“抽象命名”不是重點，只要學生知道有這樣的概念和名稱即可，重點是讓學生知道新知在知識系統中的地位和作用，以及整體背景下局部知識的類型；“局部研究”需要經歷“引入—概念（屬）—性質（判定）—應用—特例研究（概念、性質、判定、應用）”的過程.

如“三角形”是“多邊形”內容的起始單元，其學習需要經歷從“整體—部分—整體”的過程，教學設計路徑：三角形實例—三角形圖形—三角形概念—三角形分類（按邊和角兩個要素分類）—三角形的性質（要素：邊、角關系；相關要素：高線、中線、角平分線及外角等關系）—三角形全等（概念、性質、判定）等腰三角形（概念、性質、判定）—直角三角形（概念、性質、判定）—系統整理.其中“三角形實例→三角形分類”是“整體認識”的過程；“三角形的性質→直角三角形”以及九年級的“相似三角形”是“局部研究”的過程；“系統整理”是為了促進知識的系統化、結構化，形成新的整體.

起始單元教學，特別要注意兩點：一是在起始單元的起始課教學中，要組織學生深度參與、整體感知，得到研究對象，提出研究問題，規劃研究思路，這是整體性教學的困難所在，因為這個過程需要抽象、概括以及分類思想，對初中學生來說比較困難；二是要重視組織學生的學習整理，不僅要總結、歸納本節課或本單元的知識結構，而且要總結、提煉學生學習的方法結構和知識形成的過程結構，幫助學生在大腦中形成結構功能良好、遷移能力強的認知結構，促進學生的學習從“局部”走向新的“整體”.如“三角形”單元知識的學習，教師要引導學生逐步積累和形成幾何研究的“基本套路”：

一是三角形概念學習要經歷“通過三角形實例，抽象為三角形圖形，概括圖形共同特征，形成三角形的概念”的過程；

二是三角形的分類標準是三角形的組成要素，即要按照三角形的要素（邊、角）的大小和位置關系進行分類；

三是三角形性質的研究對象為要素（邊、角）關系以及相關要素（外角、3條重要線段）關系；

四是三角形的研究思路為從一個圖形研究到兩個圖形關系研究，從上位到下位，從一般到特殊展開研究.

（2）用——橫向知識的關聯設計.

橫向知識的關聯設計是基于某一類知識在被認識過程中蘊含相同的思維方式，這樣的設計可以打破“只見樹木，不見森林”的“點狀”教學模式，把具有類特征的內容整合成“塊狀”知識，凸顯點狀知識背后共通的思維方式.因此，橫向知識關聯設計要充分運用先行組織者策略，類比起始單元知識學習經驗獲得研究對象，再利用類比學習方法研究各分支內容，其設計流程如圖2.

圖2 橫向知識關聯設計設計流程

以“四邊形”學習為例，三角形與四邊形的學習有著相同的過程性結構和方法性結構，因此四邊形的學習要善于類比三角形的學習內容、過程和方法進行整體教學設計：四邊形實例—四邊形圖形三角形研究內容、方法、過程四邊形的研究框架—四邊形的概念（定義、表示、分類）—四邊形的性質（要素：邊、角關系；相關要素：對角線、外角等關系）平行四邊形（概念、性質、判定）矩形（概念、性質、判定）—菱形（概念、性質、判定）正方形（概念、性質、判定）—系統整理.

在特例的研究中，平行四邊形的研究又是“學會結構”階段，矩形、菱形和正方形的研究是“運用結構”階段，在矩形的學習中，教師要引導學生類比平行四邊形的研究過程和研究方法開展半自主的研究，對于菱形和正方形研究要放手讓學生進行自主研究.

4.3 “縱橫融通”知識結構關聯的整體設計

如果將縱向知識鏈或橫向知識塊放到整個年級乃至整個學段的教學中，這些知識鏈或知識塊也不過是一個局部的知識鏈或知識塊.因此，還需要將設計的視野從單元整體結構拓展到整個年級乃至整個學段的教學之中，在整個年級或學段教學的視野下審視、策劃和體現結構鏈與結構塊之間的關聯性.譬如方程與不等式都是研究兩個用代數式表示量之間的大小關系，不論是宏觀的研究思路和方法，還是微觀的知識體系，都具有相似性，所以它們可以類比.因此方程和不等式的學習都要經歷數式學習過程：引入—概念—性質—運算—應用，而且不等式各部分內容的學習要注重引導學生借助方程的學習經驗，以知識的相互聯系為切入點，實現類比學習，如“一元一次不等式”教學設計（見圖3）.

圖3 一元一次不等式教學設計

整體性教學設計正如章建躍博士所說的“為學生構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”[12].這種設計是基于對知識的系統理解，強調知識的關聯和整合；強調形成學生主動類比發現結構、形成結構并加以拓展的學習心態和學習能力；強調將學生在學習過程中積累的經驗遷移到新的問題情境，構建有序思維，解決挑戰性問題，這也是深度學習的特質.