數學寫作融入初中數學教學的實驗研究

（1.信陽師范學院 教師教育學院，河南 信陽 464000；2.周口中英文學校，河南 周口 466001；3.周口師范學院 數學與統計學院，河南 周口 466001）

1 研究基礎

國內外很多數學教師和教育研究者對數學寫作及其教育功能進行了理論探索和實踐研究.其中，國內數學寫作的研究主要側重于數學日記；國外數學寫作的研究，在內容和形式上，顯得豐富多樣.此外，數學寫作的教育功能及其實證研究為該研究奠定了理論基礎.

1.1 文獻綜述

1.1.1 數學寫作的內涵與外延

20世紀60年代，美國教育界關注到寫作與學習的密切關系，誕生了“貫穿課程”的寫作[1].正如Zinsser所說：“寫作是讓你自己融入這個學科，并把學科知識內化成你自己的知識的途徑.”[2]數學活動中，“寫作學習”（writing-to-learn）是在一定的知識儲備下，對已有的數學信息分析、比較、內化和綜合，從而產生想法和感受，并用文字表達出來的學習過程[3].簡要地說，數學寫作是以寫作的方式，展現學生學習過程的數學活動，“以‘寫作的活動’來帶動數學的學習”[4].數學寫作的內容和形式多樣，以文體、功能、內容、形式和思維水平等為標準，可分為不同種類.比如，根據數學寫作的內容，分為寫數學日記或日志；描述問題解決的思維過程；解釋數學概念和原理.

1.1.2 數學寫作的價值

作為一種學習活動，數學寫作不是將知識看作事實、程序與觀念的簡單組合，而是幫助學生建立已有知識經驗與新知識的聯結，促進知識的深度理解.數學寫作既可作為過程性評價的方式，評價學生的“數學交流、數學思考、數學情感以及個性發展方面”[5]，診斷學生的錯誤理解，改進教師的教學策略；又可作為學習的方式[3，6]，在學生主動學習的過程中，增長理解、表達和應用能力.

1.1.3 數學寫作的應用與實驗

在數學寫作方面，美國數學教師結合具體的教學內容，進行應用的嘗試和探索，印證了數學寫作對于數學教學的重要價值[7-8]；在數學寫作任務的開發[9]和呈現[10-11]，寫作方式的多樣化[12]等方面，積累了經驗和方法.一些數學教育家開展數學寫作的實驗研究，證明了數學寫作有促進學生的深度學習[13]，以及評價、診斷和改進教學的價值[14].

綜上所述，數學寫作是引導學生將數學理解、解題回顧和方法反思，用自己的語言形成文字表達，為數學思維和交流創造機會，反饋學習和成長進程，促進深度學習的活動.以語言與思維的關系為理論基礎，數學寫作與數學學習的關系是：知識經驗的關聯中，深入理解核心概念，形成結構化知識；思想方法的反思中，提高數學思維能力，培養質疑批判精神；真情的自然流露中，溝通師生間的感情，形成正確的價值觀念.因此，數學寫作具備兩項教育功能，體現了教學與評價的統整：數學寫作是評價學生數學學習的手段；數學寫作是促進學生數學學習的途徑.與國外研究相比，國內研究缺乏系統性，數學寫作教學價值的審視和實現，均缺乏實證研究的數據支撐.相關文獻為實驗研究中寫作任務的開發、呈現，以及研究方法、工具的選擇提供了啟示和借鑒.

1.2 問題提出

數學語言既是數學學習的目標，又是數學學習的媒介，理解和表達數學語言的能力，在一定程度上制約著學生數學素養的發展.在倡導國家通用語（以下簡稱國語）教學的背景下，制約少數民族學生數學學習的語言因素凸顯出來.寫作在提升學習者語言表達能力的同時，有助于知識納入其已有的認知圖式，促進學習的縱深發展.那么，數學寫作活動能否成為提高教學質量的有效路徑？在文獻綜述的基礎上，開展少數民族初中生數學寫作教學的實驗研究，對于數學寫作教學理論的發展和數學教學實踐都有積極的意義.就數學學科教學而言，應明確數學寫作的內涵與價值，分析數學寫作與數學學習的關系，思考數學寫作融入課堂教學的策略.這里以少數民族初中生為研究對象，基本假設是：數學寫作鼓勵學生用自己的話（指國語）表達所學內容，為學生提供了暢所欲言的平臺.通過數學寫作的方式：（1）實驗班學生的數學寫作水平得到顯著提高；（2）實驗班學生的數學成績高于對照班學生；（3）數學寫作對實驗班學生數學學習的情感態度產生積極影響.

1.3 研究框架

研究框架是研究設計的依據.首先，基于文獻綜述，確立研究的理論基礎，包括數學寫作的內涵、外延與價值；其次，根據數學寫作應用的探索，提出數學寫作教學的理論假設；再次，制定實驗方案.實施過程中，充分調動任課教師行動研究的積極性，解決少數民族初中生數學寫作的問題中總結經驗，作為實驗的有益補充；最后，提出數學寫作融入初中數學教學的策略.研究框架如圖1所示.

圖1 研究框架

2 研究方法

研究采用實驗、調查和行動研究的方法.實驗法是在兩個或多個變量之間建立因果關系的最有效的定量研究方法.首先，基于相關性和因果—比較，建立變量間因果關系的假設；其次，選擇單一變量實驗，控制單個因素處理，觀察該控制對多個變量的作用；最后，確定所觀察到的關系是否構成因果關系.實驗中，受控制的自變量為：教學中是否融入數學寫作.為確定實驗處理效果而測量的因變量為：學生的數學寫作成績和數學考試成績.學生的數學寫作成績采用評價量表，對學生完成數學寫作任務的表現進行評分.將實驗班學生前兩次數學寫作成績均值作為前測數據，后兩次數學寫作成績均值作為后測數據.相應地，將控制班學生前后數學寫作測試成績的均值作為前測和后測成績.比較實驗班和控制班前后測發生變化的大小，確定實驗處理的歸因.數學考試成績將實驗班和控制班學生初中二年級下學期的數學期末考試成績作為前測數據，初中三年級上學期的數學期末考試成績作為后測數據.問卷調查和課后訪談是實驗的輔助方法，關注師生對數學寫作活動的情感態度和總結反思.行動研究方法用于完善實驗操作的進程.

2.1 研究對象

研究對象來源于新疆喀什市××學校的九年級應屆畢業班學生.為嚴格控制內外部效度可能產生的負面影響，盡量消除其它無關變量的影響.從九年級平行班里選取一名民考漢的維吾爾族教師，將其所教的一個班級作為控制班，另一個班級作為實驗班.這位教師的國語表達能力較強，從七年級開始代這兩個班級的數學課.據教師反映，兩個班級的總體水平相當，甚至控制班的學生參與課堂活動更為活躍一些.兩個班級最近兩次期末考試的成績，并沒有顯著差異.研究人員與教師、教務處及時溝通，并對教師進行數學寫作理論、操作程序及注意事項的培訓，取得實驗班學生的積極配合.樣本容量共計117人，其中實驗班58人，控制班59人.該樣本的性別與家庭基本狀況如表1.

表1 樣本的性別與家庭基本狀況

2.2 研究工具

研究工具包括自行編制的“數學寫作對數學學習影響的調查問卷”（見附錄）和“數學寫作的評價量表”（如表2）.關于數學寫作的評價方法，國內外制定出多種多樣的評分標準.這里采用的數學寫作評價表，借鑒國內學者綦春霞編制的數學日記評價表.根據研究的實際需要，對該評價表做出一些改進，重點關注對寫作內容的評價.既是實驗處理效果的評價工具，也是實驗過程對學生數學寫作作業評分、反饋的工具.

表2涉及數學寫作內容的8個維度，在關注知識技能掌握的基礎上，建構以重要概念和思想為核心的認知結構，建立新知識與學生已有知識經驗的關聯；問題解決的過程中，選擇和運用多種表征方式，用自己的語言（國語）闡釋理解和思維過程.結合不同層次的具體描述，將每個維度劃分為優、中、差3個水平，為測評學生的數學寫作提供了評價標準，使教師對學生學習的評價有據可依.由兩名研究者共同完成評閱學生數學寫作作業的任務.評閱前期，兩名研究者隨機挑選若干份學生的數學寫作作業獨立批改，收集與整理批改的數據后，利用SPSS22.0統計軟件對數據進行差異性檢驗，結果為：t=-0.557，P=0.591＞0.05.表明兩名研究者評價的數據無顯著性差異，即兩名研究者評價的一致性較高.因此，數學寫作作業的評價任務由兩名研究者共同完成，保證了評價的信度.

表2 數學寫作評價

2.3 數據收集與處理

數學寫作融入初中數學教學的策略，需要在實踐中檢驗和完善.在初中數學教學的自然和實驗的兩種環境下，控制班按常規教學進行，實驗班融入數學寫作教學.研究采用質性研究與量性研究相結合的實驗方法，分析數學寫作理論指導下的教例，結合學生學習結果定量的比對，評價和驗證其有效性，發掘和完善其有效操作.

2.3.1 質化數據

運用課堂數學寫作活動錄像的方式，觀察記錄實驗班的教學過程.描述、解釋和分析教師采用數學寫作活動的教例.從數學寫作應用于課堂教學的具體操作，以及學生相應的學習情況中，歸納出促進學生深度學習的合理性操作策略.

2.3.2 量化數據

根據研究需要，收集的量化數據包括：學生數學考試成績；學生數學寫作的成績；學生問卷數據.實驗啟動前，研究者收集了實驗班和控制班全體學生進入初中三年級時的考試成績，將其作為前測成績.為期20周的數學寫作實驗中，每周讓學生完成1～2次指定的數學寫作任務.研究者收集與整理實驗班學生每次的數學寫作成績，為檢驗學生數學寫作水平的變化做準備.一學期的實驗結束后，研究者收集實驗班和控制班全體學生的期末考試成績，將其作為后測數據，進行實驗班與控制班的對比.此外，為全面了解該次數學寫作教學實驗的效果，研究者以問卷形式調查了數學寫作對實驗班學生的數學情感態度的影響，并對數據進行整理、對比與分析.調查采用當場發放、回收的方式，問卷一共發放58份，收回有效問卷56份，有效回收率為96.6%.數據處理中，研究者主要采用SPSS22.0進行數據的統計分析和t檢驗處理.

3 研究過程與結果

3.1 研究過程

數學寫作教學實驗過程包括以下幾個環節（如圖2）.

第一，嘗試開發多樣化的寫作任務，以不同的方式、從不同的側面關注學生的數學學習，每一類任務都可以提供有用的信息來評估學生學習的進步；第二，呈現數學寫作任務時，明確數學寫作的要求、評價標準，以提示語鼓勵和引導學生獨立完成數學寫作；第三，評價學生數學寫作作業的目的：了解學生的學習情況，改進教師的教學和鼓勵學生的進步；第四，為全面把握學生的數學寫作情況，研究者對每次數學寫作情況做出詳細總結.

圖2 數學寫作教學實驗流程

3.1.1 數學寫作任務的開發

寫數學日記或日志，是學生以日記或日志的方式記錄下他們對數學知識的理解、評價與意見，包括在數學學習中的真實心態和想法.此類數學寫作題目比較開放，學生可選的數學素材較為豐富，可以展示學生的學習過程，還可以表現學生的個性特點.教師根據寫作的反饋，制定出切實可行的教學方案，有效地指導學生的學習.比如：

（1）你在課堂上做了什么，你學到了什么？

（2）你不確定的是什么？或者疑惑的是什么？或者由此你想到了什么？

（3）通過本周學習，描述對你來說什么是容易的？什么是困難的？

（4）談談你本學期的收獲.

寫解決數學問題的過程，是學生在新的情景狀態下，運用所掌握的數學知識，采用新的策略和方法，尋求問題解決的活動過程.此類數學寫作題目采用開放性和探究性的問題，需要學生綜合應用多種知識和方法尋求問題的解決方案.開展這類題目的數學寫作，教師可以了解學生的思維特點與水平，為因材施教提供必要的前提條件.比如：

（1）如何確定圓心的位置？

（2）剪白鐵皮的奧秘.用3張同樣大小的正方形白鐵皮（邊長是1.8 m），分別按下面3種方式剪出不同規格圓片.

剪完圓后，哪張白鐵皮剩下的廢料多些？根據以上的計算，你發現了什么？你的發現是正確的嗎，為什么？

解釋數學概念和原理，是學生運用自然語言（國語）與數學語言相結合的方式，描述概念的內涵與外延，對概念的形成過程做出生動詳細地刻畫，闡述原理論證的依據和成立條件，達到全面掌握數學概念和原理的學習目標.比如：

（1）請用自己的話解釋什么是圓心角和圓周角，以及它們之間的關系；

（2）請你解釋圓周角定理，它是怎么證明的？我從中學到了什么？可以利用它解決哪些類型的問題？

總之，研究選擇和編制數學寫作任務，遵循以下原則：

（1）數學寫作任務須從教學實踐中來，緊密結合教學內容；

（2）數學寫作任務具有針對性，在不同的學習階段開發相應的寫作任務；

（3）數學寫作任務具有開放性，能激發學生的興趣，讓不同層次水平的學生，有信心、有能力從不同的角度表達自己的想法.

3.1.2 數學寫作任務的呈現

數學寫作任務的呈現，必須精煉、簡潔和易懂，避免造成理解上的障礙.在明確寫作要求和評價標準的基礎上，用提示語調動學生數學寫作的發散思維.

（1）寫作要求：每個人都有自己的想法，請同學們嘗試著用自己的語言表達數學寫作內容，切忌抄襲其他同學的數學寫作作業；

（2）評價標準：a.能夠記錄重要的知識；b.能夠將知識點與已學過的相關知識、生活經驗以及其它學科相聯系；c.寫作中嘗試使用圖表、圖像、符號和文字等多種表達方式；d.能夠清晰、流暢、自然地表達數學寫作內容.

（3）提示語：寫作不是對照著書本羅列更多的知識點，而是在作品里表達不一樣的“你”，寫出你的所思、所想和所感，這樣的數學寫作作業才是最優秀的.

3.1.3 數學寫作作業的反饋

對學生遞交的數學寫作作業，采用“等級+評語”的方式進行指導性評價.在等級評定上，為保證評價的客觀性，研究者嚴格按照“數學寫作評價量表”中的評價標準，列表呈現學生作業在各維度的成績以及總成績.評語撰寫上，鼓勵和引導學生創造出更優秀的數學寫作作品，表揚學生數學寫作作業中的優點，指出其中的缺點和不足，使學生明確今后努力的方向.數學寫作情況從兩方面向教師反饋，以有效地指導學生的學習.一是，對全體學生的數學寫作整體情況分類，做到宏觀了解；二是，列出學生在數學寫作中出現或提出的具有代表性的問題，做到微觀把握.評價的重點不是作業“怎么寫”，即用詞、語句和段落，而是“寫的什么”，即涉及的數學內容和多元數學表征.比如，“剪白鐵皮的奧秘”問題，學生數學寫作作業的成績與詳細情況見表3.

表3 數學寫作作業成績

數學寫作作業的情況：

① 多名學生在計算時漏寫長度單位及面積單位，如：蘇比伊努爾·艾則孜，肉斯坦江·吾斯曼，阿布都合力克等；

② 有幾名學生只寫了結論，未寫出計算或思考過程，如：阿拉法提，希爾艾力等；

③ 大多數同學未能做到從特殊到一般的歸納推理，即

證明：設正方形邊長為a，圓的個數為n，

每個圓的半徑為?

正方形的面積=a2，

④ 古麗孜巴·吐遜江和艾斯瑪·如孜同學在這次數學日記中對自己的發現進行了證明，寫出了問題的一般性推導式，思路清晰，非常棒，提出表揚，鼓勵同學們向兩位同學學習，攻克證明這個難關；

⑤ 抄襲現象依然存在，比如：有兩位同學的日記內容一模一樣；

⑥ 多名同學反映函數相關內容比較難，希望老師能夠給予幫助.

3.1.4 教師行動的3個階段

第一階段：任課教師被動配合的階段.實驗開始，與任課教師溝通，使其了解開展數學寫作活動的意義.然而，教師仍存在兩方面的疑慮：一是，數學寫作能否促進學生的數學學習；二是，除了完成傳統的數學作業，數學寫作作業是否會產生更多教學和學習的負擔.面對任課教師的疑問，實驗初期的數學寫作任務由高校數學課程與教學論教師擬定，由任課教師每周1～2次布置給學生，兩名數學學科教學的碩士研究生負責作業的評閱和情況反饋.再由任課教師根據作業反饋情況，總結和講評數學寫作作業.該階段，從數學寫作任務的開發，到作業的評價和反饋，任課教師只是督促學生完成作業，處于較為被動的參與狀態.

第二階段：參與寫作任務開發的階段.針對數學寫作作業中學生們提出的問題，兩位碩士研究生總是想方設法地滿足其需求.對此，任課教師代表學生，對寫作作業的評閱工作表達了謝意.實驗中期，任課教師發現學生數學學習的積極性有明顯提高，產生了用數學寫作任務有針對性地了解學生學習情況的意愿.于是，提出參與數學寫作任務的開發.先自行選編數學寫作任務，與研究成員商討后布置給學生.比如，任課教師開發的數學寫作任務：“圓周角定理是怎么證明的，運用了什么數學思想方法？”

第三階段：課堂即興寫作階段.數學寫作為學生探索、擴展、鞏固和反思所學的數學知識，提供了一種方法.實驗后期，任課教師在課堂上給學生布置寫作任務：解釋數學思維過程和寫學習過程.學生解釋自己的解答以及對數學概念的理解，訓練了數學表達能力.比如，學習了“三角形與圓的位置關系”后，學生出現“內接、內切、外接、外切”表達不清的問題.教師課堂布置寫作任務：“作圖說明圓的內接三角形、三角形的內切圓、圓的外切三角形、三角形的外接圓，有什么區別和聯系？”幫助學生理清圓與三角形位置關系的幾種表述.

3.2 研究結果

3.2.1 質性分析

從課堂即時寫作活動的紀錄，以及課后教師和學生的總結反思，及時了解數學寫作活動的效果.課后訪談主要引導師生的總結與反思.教師訪談的問題，如：課堂數學寫作活動過程中，你最滿意的是什么？哪些地方不滿意？數學寫作活動中，你發現了什么問題，有什么解決辦法？學生訪談的問題，如：課堂數學寫作活動中，你有什么想法和收獲？數學寫作活動最吸引你的地方是什么？最不感興趣的地方是什么？以下是實驗班“直線與圓的位置關系”課堂教學觀察錄像片斷和課后師生訪談分析，是數學寫作融入課堂教學有代表性的教例.

【教師】下面我們討論直線和圓的位置關系？請大家結合小學點和直線的位置關系、直線和直線的位置關系，以及剛學過的點和圓的位置關系，先在自己的練習本上寫一寫：這些圖形之間的位置關系是如何確定的？你能從前面的學習中獲得什么啟發？給大家十分鐘的時間，寫好后小組內交流，再請小組代表發言.現在開始.

（教師在巡視中檢查一些學生的數學寫作）

【學生1】直線與直線有3種位置關系，分別是：平行、垂直和相交.點和圓的位置關系有，點在圓外，點在圓上，點在圓內.

【學生2】直線和圓的位置關系讓我想到，太陽從地平線升起時，將太陽看作一個圓，地平線看作一條直線，得出圓和直線的位置關系.直線和圓有3種位置關系，分別是：相離、相切和相交.

【學生3】生活中的實際例子來說明.比如：飯桌上馕與筷子的位置關系.當筷子在馕上時，馕與筷子的位置關系時相交；當筷子在馕的邊緣時，馕與筷子的位置關系是相切；當筷子在馕外時，馕與筷子的位置關系是相離.

…………

小組代表發言中，學生們認同直線與直線的位置關系有平行、垂直和相交3種.能用數學術語正確地表述點和直線的位置關系、點和圓的位置關系、直線和圓的位置關系；用數學符號正確地表述相應的關系.但沒有學生從這些圖形關系的討論中總結出分類的思想方法，并應用于直線和圓的位置關系的討論.即便有學生預習中知道了直線和圓的位置關系，并羅列出來，也說不出其中的道理.

【教師】其實，討論這些圖形之間的位置關系，需要運用分類的思想方法.分類是根據對象的某一屬性特征，把事物不重不漏地劃分為若干類別，遵循：明確分類對象的集合；每一次分類的標準是同一的；分類必須是完整的，不出現遺漏；所分的各類別之間不能有交叉重疊.現在，大家看看前面討論的圖形間的位置關系，是如何選取標準進行分類的？

【學生4】直線和圓的位置關系是以直線和圓的交點的個數為標準分類，當直線和圓有0個交點時，相離；當直線和圓有1個交點時，相切；當直線和圓有2個交點時，相交.

【教師】直線和直線的位置關系是以什么為標準分類的呢？

【學生5】兩條直線交點的個數.當兩條直線有2個或2個以上交點時，重合；當兩條直線有1個交點時，相交；當兩條直線有0個交點時，平行.

【教師】那么，大家公認的兩條直線位置關系中的垂直是怎么回事？是我們選取的分類標準有問題嗎？

【學生6】我知道了，垂直是兩條直線只有1個交點，是兩直線相交的特殊例子.它特殊在：當兩直線相交，所成的角是90°時，我們說這兩條直線互相垂直.所以說，兩直線的位置關系只有兩種，就是平行和相交.

【教師】分類的思想方法是數學常用的方法，當被研究的問題包含多種可能的情況，人們不能對它一概而論的時候，就需要按照問題出現的所有的情況討論，綜合每種情況下相應的結論，從而使問題得以解決.除了討論以上這些圖形的位置關系用到分類思想，很多知識也用到了分類思想，比如三角形的分類.課后的數學寫作作業中，你們想想還有哪些學過的知識中用到了分類？弄清楚了分類的思想方法，下面我們來討論直線和圓的位置關系.

（教師引導學生畫一個圓，通過移動直線的位置，討論直線和圓的位置關系.）

【教師訪談】從學生對“直線和直線的位置關系”的分類中，可以看到學生沒有掌握分類的思想，錯誤理解了一般與特殊的關系.有些學生進行了新課的預習，但僅局限于知識點的記憶和簡單羅列，并沒有理解和掌握方法，甚至不清楚如何將自然語言轉化為符號語言.有些學生的學習還處于實物直觀階段，沒有做到合理的抽象.除了幫助學生領悟分類的思想，發展學生的言語表征、圖示表征和符號表征也很重要.

【學生訪談】這節課我認識到小學數學學習與初中數學學習的聯系，分類的思想方法能夠使我們的思維變得清晰.一直以為“直線和直線的位置關系”有3種，從來沒有意識到“垂直”是“相交”的特例.數學除了用生活中的實例表述，還能用語言和符號表達得更加清晰和有序.這樣我不用背“點和圓的位置關系”了，想想兩個圖形的相對運動和分類標準就可以了.后面還要討論“圓和圓的位置關系”，我要好好試一試.

【分析】課堂教學中的數學寫作，可以在小組合作討論前調動每個學生的思維參與.學生錯誤認知的表露、對知識點簡單的羅列，幫助教師了解學生已有的知識經驗.數學寫作任務中“點和直線的位置關系”“直線和直線的位置關系”“點和圓的位置關系”的聯結，幫助學生體會分類的數學思想方法，使教學建立在學生已有經驗的基礎上，幫助學生知其然又知其所以然，進而走向思想方法滲透的深度.

3.2.2 量性分析

（1）實驗班與控制班學生數學寫作成績的對比.

為了解實驗班學生的數學寫作水平是否得到了提高，研究者將實驗班學生前兩次數學寫作成績均值作為數學寫作成績的前測數據，將實驗班學生后兩次數學寫作成績均值作為數學寫作成績的后測數據.對數學寫作成績的前后測數據用SPSS22.0做配對樣本的均值t檢驗，結果如表4所示.

表4 實驗班學生數學寫作成績前后測差異性對比分析

實驗班數學寫作前測成績均值為2.84，后測成績均值為3.60，其中t=-7.883，P=0.000＜0.05，表明數學寫作的后測成績顯著地高于前測成績.因此，經過數學寫作融入教學的實驗后，學生的數學寫作水平得到了顯著性提高.為明確實驗班學生數學寫作水平提高效果的歸因，將控制班的前后測數據采用SPSS22.0做配對樣本的均值t檢驗，結果如表5所示.

表5 控制班數學寫作成績前后測差異性對比分析

控制班數學寫作前測成績均值為2.85，后測成績均值為2.83，其中t=0.173，P=0.864＞0.05，表明控制班數學寫作前后測成績之間無顯著性差異，說明實驗班數學寫作水平的顯著性提高是實驗處理的結果.

（2）實驗班與控制班學生數學成績的對比.

數學寫作對學生的數學成績是否會有影響？為回答這個問題，研究者將實驗班和控制班學生初中二年級下學期的數學期末考試成績作為前測數據，將實驗班和控制班學生在初中三年級上學期的數學期末考試成績作為后測數據.對這兩組數據，用SPSS22.0分別做獨立樣本的均值t檢驗.結果如表6所示.

表6 實驗班和控制班前測成績的對比

控制班前測數學成績均值為68.19，實驗班前測數學成績均值為67.69，雖然兩個班的前測數學成績略有差異，但t=0.09，P=0.928＞0.05，故認為這種差異是不顯著的，表明實驗前實驗班和控制班的數學基礎水平沒有差異.

如表7，實驗班后測數學成績均值78.35明顯高于控制班后測數學成績均值71.24，其中t=-2.376，P=0.019＜0.05，故認為這種差異是比較顯著的.表明數學寫作活動的介入，有助于提高學生的數學成績.

表7 實驗和控制班后測數學成績的對比

（3）數學寫作對學生學習情感態度的影響.

學生在數學學習中形成積極的情感態度，是數學學科素養培育的高階水平目標.那么，數學寫作融入教學，對少數民族初中生數學學習的情感和態度會產生什么樣的影響？問卷調查結果顯示，經過一個學期的數學寫作教學，高達67.9%的學生表示很喜歡數學寫作，25.0%的學生對數學寫作有一點好感，只有7.1%的學生不喜歡數學寫作.學生喜歡數學寫作的原因依次為：數學寫作能提高學生的數學成績；數學寫作能促進師生間的交流；數學寫作豐富了學習評價的方式；數學寫作減輕了學生繁重的習題負擔.極少數學生厭惡數學，不喜歡數學寫作；個別學生認為數學寫作會花費大量時間，不喜歡數學寫作；還有個別學生因不喜歡動筆，不喜歡數學寫作.開展數學寫作后，44.6%的學生更喜歡數學；37.5%的學生開始喜歡數學；只有1.8%的學生仍不喜歡數學；另有16.1%的學生說不清楚對學習數學的興趣是否有變化.可見，開展數學寫作活動受到少數民族學生歡迎，大多數學生愿意運用數學寫作輔助學習，充實他們的學習生活.

4 討論與研究結論

比較、分析該研究與以往研究，討論它們的區別與聯系.解釋研究結果產生的原因，說明存在的局限與改進.

4.1 討論

4.1.1 與以往研究的區別與聯系

該研究建立在已有研究結果的基礎上，以數學寫作活動為切入點，探索如何改進初中數學教學，通過實驗研究證實

了數學寫作促進少數民族學生數學學習的價值假設.與已有研究相比，進一步明確了數學寫作的內涵和外延.該研究提出了數學寫作有機地融入初中數學教學（如圖3），“融入”體現在：數學寫作是評價學生學習成果和對學生已有知識技能、能力預評估的工具；是推進課堂教學的活動方式.充分發揮數學寫作的兩個功能，使教學聯系學生已有的知識經驗，在教學中發展學生的自我監督和反思能力，促進師生間的對話和情感交流.

圖3 數學寫作融入初中數學教學路徑

4.1.2 實驗結果產生的原因分析

縱觀實驗過程，總結出數學寫作融入初中數學教學的3條策略.

第一，引導策略.開展數學寫作活動初期，為消除學生對數學寫作的陌生感，教師需做一些引導性工作.此外，寫作必須是漸進的，應該從簡單、短小集中的任務開始，逐漸發展為更具挑戰性，需要分析、綜合和創新思維的任務.

第二，激勵策略.布置數學寫作任務時，應明確寫作作業的要求和評價的標準；評價學生的數學寫作作業時，鼓勵學生開放、發散的思維，充滿自信的獨立表達.評價要從多個角度挖掘學生作業中的“閃光點”，利用激勵性、富含感情的語言呈現評語.課堂上，教師表揚一些學生的優秀習作.

第三，總結策略.教師要對數學寫作做出總結，宏觀了解班級的整體情況，微觀把握學生數學學習中有代表性的問題.歸納和總結認知的盲點，在課堂上著重講解或進行個別輔導.教師反思數學寫作活動的各個環節，學生反思自己數學寫作的表現，對數學寫作活動提出建議.

4.1.3 研究的局限與改進

受任課教師專業素質、課堂管理能力和對數學寫作理論理解深度的影響，以及實驗時間和精力的限制，該研究存在以下局限.

第一，課堂教學融入數學寫作的實驗中，缺乏學生先期討論的介入.其實，學生發現有機會談論他們的想法，可使他們產生以書面形式解釋的想法.班級和小團體內的討論，會提示更多的學生寫出他們聽到的任何有意義的、可解釋的想法.

第二，數學寫作對知識學習的影響，不只體現在提高學生的數學成績.學生數學考試成績的提高，從一個側面證實了數學寫作對學生數學學習的影響.數學學科素養目標下，還要求學生具備綜合應用知識，解答現實情境中的非常規數學問題的多種數學能力.

為突破研究的局限，未來研究方向包括：一是，從小學或初中低年級實施數學寫作融入教學的實驗，關照“討論”在完成數學寫作任務中的作用.讓學生在寫作前討論他們的想法，以小組的方式分享他們的觀點.二是，從活動內容、方式和結果維度，編制課堂觀察的量表，總結教學實驗的特征和規律；依據課程標準編制數學能力表現測試卷，驗證數學寫作融入教學的能力培養價值，探索數學寫作培養學生關鍵能力的方法.

4.2 研究結論

第一，實驗和調查數據證實了數學寫作促進少數民族學生數學學習的價值假設.數學寫作融入教學提升了實驗班學生的數學寫作水平；提高了實驗班學生的數學成績；對實驗班學生數學學習的情感態度產生積極影響.第二，進一步明確了數學寫作的內涵與價值，分析了數學寫作與數學學習的關系.總結出數學寫作融入初中數學教學的路徑，以及數學寫作活動有效融入初中數學教學的策略.

附錄：數學寫作對數學學習影響的調查問卷

親愛的同學，你好！

為了了解你對數學寫作的態度以及數學寫作對你的數學學習的影響，請你根據自己的實際情況如實填寫以下問題，謝謝配合！

注：以下題目中，除了特別注明“可以多選”的題目外，其余題目均屬于單項選擇題.

1.你對數學寫作的態度是？（ ）

A.很喜歡 B.有一點好感 C.不喜歡 D.無所謂

2.對于下面的2a與2b兩題，喜歡數學寫作的請做第2a題；不喜歡的請做第2b題

2a.喜歡數學寫作的主要原因是？（ ）

A.能提高我的數學考試成績 B.減少了繁重的數學習題

C.提供了和老師心靈交流的通道 D.考試成績不再是評價學習的唯一標準

2b.不喜歡數學寫作的主要原因是？（ ）

A.花費了大量時間 B.不喜歡動筆 C.提高考試成績不如多做幾道題有效 D.不喜歡數學

3.通過數學寫作，你對數學學習的興趣有何變化？（ ）

A.更加喜歡數學 B.開始喜歡數學 C.仍不喜歡數學 D.說不清楚

4.你認為數學寫作是否有利于你的學習？（ ）

A.很有幫助 B.較有幫助 C.沒多大幫助 D.沒幫助

5.你認為數學寫作對師生的關系有什么影響？（ ）

A.有助于師生間互相理解、信任 B.對形成良好的師生關系有促進作用

C.對師生間的關系沒有多大幫助 D.說不清楚

6.你認為數學寫作在掌握數學知識方面的影響是？（ ）（可以多選）

A.有助于優化思維品質，提高數學能力

B.可以進行學習交流，適時調整自己學習的方式

C.可以分享老師或其他同學的思維成果，共同提高

D.可以就自己的疑惑問題尋求幫助

E.可以發現認識的錯誤，及時更正

F.可以鞏固所學，加深理解

G.如果你有不同答案，你認為數學寫作_______

7.下面是數學寫作中可能存在的困難，請你選出你所遇到的困難（ ）（可以多選）

A.不知寫什么，該怎么寫 B.資料匱乏 C.體會不多，沒靈感 D.太花時間 E.其它

8.以后的學習生活中，你是否會運用數學寫作的方式來輔助學習？（ ）

A.總是使用 B.經常使用 C.一般 D.很少使用 E.從不使用