“數學深度教學”的理論與實踐

（南京大學 哲學系，江蘇 南京 210093）

研究首先借助“（數學）深度學習”對“數學深度教學”的涵義做出分析，因為，在這兩者之間顯然存在重要的聯系，特別是，應將幫助學生學會“深度學習”看成“深度教學”的一個重要目標.研究將集中于“深度教學”的實踐性分析，因為，如果教師未能做好“深度教學”，學生自然也不可能真正做到“深度學習”.這主要包括：理論的直接教學涵義，此外還應特別重視這樣4個環節：（1）聯系；（2）問題引領；（3）交流和互動；（4）努力幫助學生學會學習.

1 從“深度學習”到“深度教學”

1.1 “深度學習”的基本涵義

從數學教育的角度看，“深度（層）學習”不能說是一個全新的概念，因為，這是人們關于數學學習的一項共識，即是應當切實避免學習的膚淺化、淺層化.也正因此，就可通過相關現象的分析對作為其直接對立面的“深度學習”做出初步界定.

以下就是“（數學）淺度學習”的一些具體表現.

（1）機械學習，即主要依靠死記硬背與簡單模仿學習數學；這并可被看成這樣一種教學方式的直接后果：相關教師在教學中完全不講道理，也不要求學生進行理解.

由于后一做法在美國小學數學教學中經常可以看到，因此人們常常將此稱為“美國式教學”.由中國旅美學者馬立平博士的著作《小學數學的掌握和教學》就可看到這方面的不少實例.

當然，相關表現又非僅限于美國.例如，盡管以下做法不能簡單地被歸結為“機械教學”，但仍然會對這一傾向起到推波助瀾的作用：教師在教學中往往自覺或不自覺地強調這樣一點：不管你是怎樣想的，也不管你是如何做的，只要做得對、做得快，就是好的，就能得到表揚！

（2）“機械學習”在計算法則的學習中較為常見，但幾何學習也不能幸免，即如相關認識始終停留于所謂的“直觀幾何”，也即概念和圖形的直觀感知，卻沒有認識到必須超越直觀更深入地去研究各個圖形的特征性質與相互聯系.這事實上也正是von Hiele何以將“直觀”列為幾何思維發展最低一個層次的主要原因.

（3）這也是“淺度學習”的一個重要表現，即是滿足于數學知識與技能（經驗）的簡單積累，卻沒有認識到還應將它們聯系起來加以考察，從而建立整體性的認識.應當強調的是，這種“知識碎片化”的現象并就是與數學的本質特點直接相違背的，因為，作為“模式的科學”，數學并非具體事物或現象的直接研究，而應致力于“模式的建構與研究”，這也就是指，后者不僅是抽象思維的產物，也意味著認識達到了更大深度，因為，模式反映了一類事物或現象的共同特征；再者，這也是數學發展的重要特征，即是通過更高層次的抽象達到更大的認識深度.

由此可見，如果學生關于“搭配問題”“握手問題”“植樹問題”的學習始終停留于相關的現實情境，就都是一種“淺度學習”，因為，數學學習必須“去情境”，也即由特殊上升到一般.

總之，這是數學學習必須糾正的一個傾向，即是不講理解，或是完全停留于日常經驗與直觀感知.

上述的分析顯然也已表明：“淺度學習”在不同的社會文化背景和不同的時代可能具有不同的表現形式.對此，在以下將聯系新一輪課程改革做出進一步的分析，從而更清楚地說明強調“深度學習（教學）”的重要性.另外，對于以下現象無疑也應給予高度的重視：隨著校外補習的盛行，相關情況似乎有所惡化，因為，這正是后者的普遍特點，即是只講結論與算法卻不講道理，也正因此，很多接受了此類補習的學生看上去已經懂了，也能正確解答相應的“常規性問題”，但卻很難被看成已經達到了真正的理解.

以下就是這樣的一個實例.

例1 丁玉華，“‘三角形內角和’一課的實踐與思考”（《小學教學》，2018年第9期）.

師：關于三角形的內角和，你們已經知道了什么？

生：三角形的內角和是180度.

（全班沒有一個不舉手的，回答問題時還“得意洋洋”）

師：你們都認為是180度？（所有學生點頭）我不信！

師：（課件出示圖1，接著出示圖2）請看大屏幕，這兩個三角形的內角和分別是多少度？

圖1 三角形內角和（一）

圖2 三角形內角和（二）

生：都是180度.

生：三角形不管什么形狀，不管多大多小，內角和永遠都是180度.（全班學生依舊“自信滿滿”.）

師：（出示圖3）繼續看大屏幕，如果在下面的三角形中添一條線，將它們分開，現在這兩個小三角的內角和分別是多少度呢？

（有的學生說90度，瞬間又改口說180度；也有學生說180度，但顯然“口氣不硬了”.）

圖3 三角形內角和（三）

師：（出示圖4）每個小三角形的內角和是多少度？把這兩個小三角形拼成一個大三角形，所得大三角形的內角和是多少度？

（有的學生說360度，瞬間又改口說180度；也有學生說180度，顯然猶豫不定.）

圖4 三角形內角和（四）

綜上可見，這是“深度學習”的基本涵義，即是數學學習一定要講理解，并很好實現對于日常經驗與直觀感知的必要超越.對此并可稱為“深度教學”的1.0版.

1.2 “深度學習”的現代詮釋

除去立足數學教育進行分析以外，現今對于“深度學習”的提倡還有更加廣泛和深刻的原因，這并導致了“深度學習”更重要的一些涵義，這就是“深度學習”的2.0版.

在此主要提及這樣幾個方面.

（1）正如人們普遍認識到了的，人工智能的研究是促進“深度學習”十分重要的一個因素：“隨著人工智能的快速發展，深度學習成為近幾年的熱點之一.”例如，“阿爾法狗”戰勝頂級國際象棋大師的事實就使人們深切地感受到了“自我學習”的重要性，包括什么應被看成“智能”的本質：是知識與技能，還是較強的學習能力？

（2）人類社會的巨大變化與不同要求.以下是美國普里策獎三度得主弗里德曼在《謝謝你遲到——以慢制勝，破題未來格局》一書中提出的主要觀點.

這是社會變化對教育的最大影響：“隨著流動的速度加快，它會漸漸掏空過去給我們帶來安全和財富的存量知識.”“你在學校里學到的那些知識，可能你還沒有出學校的大門，就已經變得過時了.”我們必須“重新思考我們的學生究竟需要哪些新的技能或態度，才能找到工作、保住工作”，并過上快樂的生活（第115頁、導讀、190頁）.

具體地說，必須牢固樹立終身學習的思想，切實提高自身在這一方面的能力：“你必須知道更多，你必須更加頻繁地更新知識，你必須運用知識做更多創造性的工作，而不僅僅是完成常規工作.”（第185頁）其次，我們又應特別重視長時間的思考與反思：“世界變化得越快……對我們生活方方面面改變得越多，每個人就越需要放慢速度……當你按下一臺機器的暫停鍵時，它就停止運轉了.但是，當一個人給自己暫停一下的時候，他就重新開始了.你開始反思，你開始重新思考你的假設前提，你開始以一種新的角度重新設想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你內心開始與你內心深處最堅定的信仰重新建立聯系……”（簡體中文版序）再者，還應清楚認識合作的重要性：“到了21世紀，我們大部分人將與他人一同協作，相互提供服務……我們必須意識到，工作的固有尊嚴來自人與人的關系，而非人與物的關系.我們必須意識到，好的工作就是與他人溝通交流，理解他們的期許與需求……”（第215頁）

（3）在此還可特別提及2009年諾貝爾經濟學獎得主康納曼（D.Kahneman）的這樣一部著作：《快思慢想》（Thinking,Fast and Slow，Penguin Books，2011）.具體地說，按照康納曼的研究，人類思維的主要特點就是“快思”占據主導地位，從而就可被看成“日常思維”的基本形式；但是，盡管這種思維形式對于人類生活與工作具有十分重要的作用，但又常常會導致若干系統性的錯誤，從而造成嚴重的消極后果.也正因此，這就是人類面臨的一個重要任務，即是努力改進自己的思維，特別是學會“長時間的思考（慢思）”.（詳可見文[1]）

（4）依據上述分析可更好地理解教育的現代發展，也即為什么要將努力提升學生的核心素養看成教育的主要目標.

那么，究竟什么又是上述發展對于更好理解“深度學習”的主要啟示呢？（對此并可見文[2]）

第一，作為“思維的科學”，數學與其它學科相比顯然更加有益于學生思維的發展，應明確提出這樣一個任務：數學學習不應停留于各種具體的數學知識和技能，而應更加注重“通過數學學會思維”，后者并集中反映了“努力提升學生核心素養”這一思想對我們的啟示，即是應當由幫助學生“學會數學地思維”轉向“學會思維”，包括努力提升自身的思維品質.

第二，依據數學本身的特點并可對此做出進一步的解讀：“通過數學學會思維”主要是指逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并能努力提升思維的整體（綜合）性與靈活性、自覺性與創造性等.由于認識的模糊性、淺薄性、片面性與隨意性（任性）等正是現代社會的普遍性弊病，也就更加清楚地表明了“深度學習”的現實意義.

還應提及的是，這事實上也是不少人士的親身感受，即是數學特別有益于人們思維品質的提升.如著名哲學家維特根斯坦就曾明確提及數學學習對其整個學術生涯的重要影響，特別是思維的清晰性：“凡是能說的就要說清楚，說不清楚的則應保持沉默.”另外，中國著名數學家姜伯駒先生在接受采訪時也曾明確提到：這是數學帶給他的最大收益，即是學會了長時間思考，而不是匆忙地去處理問題.

第三，還應努力改變總是按照別人（包括書本）的指引進行學習和思考這樣一個習慣，即是應當真正學會思考、學會學習.

第四，對于上述要求并可統一歸結為“深度學習”，因為，達到更大的思維深度正是實現這些目標的共同關鍵.

另外，從上述角度也可更好地理解一些相關的主張.例如，所謂“長時間的思考”，主要地就不是指思維時間的長短，而是思維的深度，也即如何能夠通過較長時間的思考達到更大的思維深度；另外，對于“反思”也不應簡單地理解成“自我糾錯”、或是單純的“事后反省”，而是指這樣的習慣和能力，即是能夠適時“中止”正在從事的活動（包括實際操作與思維活動）進行更高層面的思考，包括通過新的抽象達到更大的認識深度.后者也正是人們何以將數學抽象稱為“反思性抽象”的主要原因.

綜上可見，“深度學習”不只是數學教育的內在要求，也即對于“淺度學習”的必要糾正，更是現代社會與教育整體發展，也即時代對于數學教育的更高要求.

1.3 走向“深度教學”

上述分析顯然也為應當如何理解“（數學）深度教學”提供了具體解答：數學教學必須超越具體知識和技能深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與學生思維品質的提升，還應幫助學生學會學習，真正成為學習的主人.在此還應特別強調這樣幾點.

（1）依據“深度教學”的涵義也可更好地認識“（數學）淺度教學”在當前的另外一些表現形式.

例如，新一輪課程課改中圍繞教學方法所曾一度出現的形式主義盛行，事實上就可被看成一種“淺度教學”.

具體地說，除去前面已提及的對于“情境設置”的不恰當強調、乃至在一定程度上忽視了“去情境（模式化）”這樣一點以外，以下一些做法顯然也可被看成這方面的又一實例，即是“為合作而合作”“為討論而討論”，盡管課堂上十分熱鬧，但對大多數學生而言卻又很難說有多少真正的收獲，甚至還影響到了部分學生的獨立思考.

再則，按照上述分析，如果在教學中僅僅注意了學生對于具體數學知識或技能的掌握，卻未能更加重視如何能夠促進學生積極地去進行思考，這也就應當被看成“淺度教學”在當前的又一重要表現.

由于“學數學，做數學”這一思想在數學教育領域內具有十分廣泛的影響，“問題解決”更可被看成數學教育的一個持續熱點，以下圍繞“數學活動”對此做出進一步的分析.

首先，相信很多教師一看到“數學活動”這樣一個字眼就會立即想到“動手實踐”，如教學中讓學生直接動手去畫、去折、去剪、去量，等等；但從促進學生思維發展的立場進行分析，顯然就應引出這樣一個結論：數學教學決不應單純強調學生的“動手”，而應更加重視如何以“動手”促進學生積極“動腦”.

對于這里所說的“動手”并應作廣義的理解：這不僅是指具體的實物操作，也包括各種數學運作，如數學計算等.例如，這事實上就應被看成上述片面性的一個具體表現：在實際從事計算前學生并沒有認真思考為什么要進行相關計算，從而就很容易出現如下的“盲目干”現象：盡管相關計算取得了某些結果，但對解決面臨的問題沒有任何作用.

總之，這是數學教學應當切實糾正的一個現象：學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！

其次，這也是對于“數學活動”的片面性理解，即是將此簡單地等同于“問題解決”.因為，數學活動不僅包含其它一些重要形式，特別是“概念的生成、分析與組織”，在解題活動與內在思維活動之間也存在十分重要的聯系，即如應當使用怎樣的解題方法？又如何能對得出的結論做出必要的論證，以及結論與方法的適當推廣與必要優化等.總之，就只有圍繞這些問題深入地進行思考，相應的解題行為才能被看成真正的數學活動，這事實上也已由單純的“問題解決”過渡到了“數學地思維”.

與此相對照，如果缺乏清醒的認識，那么，即使是“問題解決”的簡單實踐也可能出現各種各樣的弊病.例如，以下就是美國數學教育界在“問題解決”這一改革運動中的一個普遍現象，即是教學中學生們（甚至包括教師）都滿足于用某種方法（特別是觀察、實驗和猜測）求得了問題解答，卻沒有認識到還應做進一步的思考和研究，甚至都未能對所獲得結果的正確性（完整性）做出必要的檢驗或證明.

進而，顯然也可從同一角度對現實中可以看到的其它一些做法做出分析，如通過組織學生參與各種他們感興趣的游戲，包括“看繪本”“演戲”等，來學習數學.具體地說，調動學生的參與積極性當然十分重要，但從數學教育的角度看，又應深入地去思考：此類活動中學生真正感興趣的是什么？什么又是他們通過參與此類活動的主要收獲？再者，正如弗賴登塔爾所指出的，不應以自己的想法代替學生的感受，因為，兒童完全可能“通過操作對概念進行運算，但卻不知道自己在做什么”.這也就是指，盡管“旁觀者確實可以將它解釋為數學，因為他熟悉數學，也了解實驗過程中兒童的活動是什么意思，可是兒童并不知道”.（這是另一相關的問題，即是應當如何認識“愉快學習”與“數學學習”之間的關系，特別是，數學學習能否真正成為一種“愉快學習”？或者說，這里所涉及的究竟是一種什么樣的快樂？）

總之，無論教學中采取了怎樣的活動形式，都不應忘記一點，即是應當通過活動促進學生積極“動腦”，而不應認為學生只需實際參與各種“數學活動”就可學會數學，或認為學生的數學發展可歸結為“基本活動經驗”的簡單積累.恰恰相反，這是判斷一個“數學活動”是否適合的主要標準，即這是否有利于學生的數學學習，特別是思維的發展.這也就是指，決不應脫離數學思維去談論“數學活動”，而應將此看成數學思維的具體體現與直接應用，這更是數學教學應當糾正的一個弊病，即是學生似乎一直在“做數學”，但卻很難被看成真正學到了數學，從而就只是一種“淺度教學”.

（2）就“深度教學”的理解，特別是相關的教學實踐而言，又應防止各種可能的片面性，并很好把握各個對立環節之間的關系.

例如，以上關于“動手”與“動腦”的分析顯然就不應被理解成對于學生動手的簡單否定，也即將兩者絕對地對立起來，而是指應當更加重視以“動手”促進學生“動腦”，包括由單純的“活動經驗”轉向知識的深刻理解.

在此還應特別強調這樣幾點.

第一，教學中應當很好處理“知識和技能的教學”與“學生思維發展”之間的關系.既應由具體數學知識和技能深入到思維的層面，但又不應以后者完全取代知識與技能的教學，因為，除去知識與技能本身的價值以外，這也為思維教學提供了必要的載體和途徑，我們并就應當以思維的分析帶動具體知識和技能的學習，從而真正做到“教懂、教活、教深”，也即能夠通過自己的教學向學生展現“活生生的”數學研究工作，而不是死的數學知識，并能他們幫助真正理解相關的內容，而不是囫圇吐棗，死記硬背，又不僅能夠掌握具體的數學知識，也能領會內在的思想方法[3-4].

第二，不應將“數學思維的教學”與“一般思維的學習和思維品質的提升”直接對立起來，毋寧說，這即是為改進教學指明了進一步的努力方向.例如，相對于各種具體的解題方法或解題策略而言，應更加重視“變化的思想”與“聯系的觀點”等一般性思維策略，也即應當從后一高度幫助學生由“數學思維”逐步走向“學會思維”，包括努力提升思維的品質.再例如，既不應局限于所謂的“直觀幾何”，但也不應因此而完全否定“直觀”在幾何、乃至整個數學學習過程中的重要作用，而是應當努力實現“直觀”在更高層次上的重構，也即應當幫助學生逐步學會用幾何圖形表現內在的思維活動，從而實現思維的“可視化”，后者并就是發展“形象思維”與“數學直覺”最重要的一個途徑.

第三，還應很好處理“學生獨立思考”與“教師引導”之間的關系.既應將幫助學生學會學習看成數學教學的重要目標，但又應當清楚地看到這一目標的實現離不開教師的指導，后者并就是由數學學習的性質直接決定的：這主要是后天的文化繼承，并必然地有一個較長的過程，教師在此所發揮的則就是文化傳承的作用.

也正因此，這就是教學中應當特別重視的又一問題，即是如何處理教師的“引”與“放”之間的關系，也即就各個具體內容的教學而言，教師應當在哪些方面發揮重要的引領作用，哪些方面又應放手讓學生自己完成，或是主要通過學生間的合作完成？

最后，應當強調的是，上述分析顯然也為如何做好“深度教學”指明了努力的方向：應當用思維方法的分析指導、帶動數學知識和技能的教學，從而不僅幫助學生很好掌握各種具體的知識和技能，也能通過數學學會思維；教學中并應注意由具體的方法和策略上升到一般性的思維策略與思維品質，使大多數學生在離開學校以后還能真的留下些具有普遍性價值的東西；還應努力幫助學生學會學習，學會合作.

2 “數學深度教學”的4個重要環節

以下再指明“深度教學”特別重要的4個環節，包括如何才能幫助學生學會學習.

2.1 聯系的觀點

注重“聯系的觀點”事實上也是國際數學教育界的一個普遍趨勢，更與“理解教學”具有直接的聯系：按照建構主義，“理解”就是指新學習的知識與主體已有的知識與經驗建立起了直接的聯系（包括“同化”與“順應”）；而“聯系”的數目與強度則更直接決定了“理解”的程度：“如果潛在的相關的各個概念的心理表征中只有一部分建立起了聯系，或所說的聯系十分脆弱，這時的理解就是很有限的……隨著網絡的增長或聯系由于強化的經驗或網絡的精致化得到了加強，這時理解就增強了.”（Hiebert語）（依據上述分析顯然也可更好理解筆者關于“雙基教學”的這樣一個建議：“基礎知識的教學，不應求全，而應求聯；基本技能的教學，不應求全，而應求變.”[5]）

就“深度教學”而言，“聯系的觀點”還有這樣一個特殊意義：只有從更廣泛的角度，也即用聯系的觀點進行分析思考，才能達到更大的認識深度；反之，也只有達到了更大的認識深度，才能更好發現不同對象之間的聯系.（據此也可很好地理解馬立平博士何以將“深度”與“廣度”【與“貫通度”】一起列為“數學知識深說刻理解”的3個維度.）另外，由于“聯系的觀點”顯然也應被看成一種普遍性的思維策略，對此自然就應予以特別的重視，即不只是用“聯系的觀點”指導各個具體內容的教學，從而幫助學生更好地掌握這些內容，而且也應通過這一途徑幫助學生逐步掌握這種思想策略，也即能夠應用這一方法去分析問題和解決問題.

就“聯系的觀點”在數學教學中的應用而言，并可大致地區分出3個不同的層次.

（1）比較的應用.這既是指找出對象的共同點，也可集中于對象的不同之處，或是同時關注它們的“同與不同”.這些對于數學的認識都有十分重要的作用.

例如，找出不同對象的共同點（這也就是所謂的“舉三反一”）顯然就是數學抽象、乃至一般抽象的直接基礎；另外，如果說抽象主要涉及到了特殊與一般之間的關系，那么，“借助于特例進行思考”就是類比聯系的主要特征，也即如何能夠借助一個特例去從事另一特例的研究.在一些學者看來，這也正是“實踐性智慧”的主要特征.

最后，“對照比較”顯然也可被看成一個普遍性的思維策略，包括與“變化的思想”的綜合應用.例如，常常可以通過與“基本題型”的比較與適當變化解決各種較復雜的問題，而這事實上也正是應用題教學的思維價值所在.

（2）“全局的觀念”的指導.教學中應跳出各個細節并從整體上進行分析思考，包括用整體性認識指導各個具體內容的教學.

在此還應特別強調這樣兩點：第一，抓好“種子課”，突出基本問題；第二，注重認識的發展，“用發展代替重復”（俞正強語）.

例如，就小學數學而言，“度量問題”顯然包括眾多的內容，從而就應很好確定它們的共同核心和相應的“種子課”，為后繼內容的教學打下良好基礎；進而，相對于簡單重復而言，又應更加重視通過新的學習發展學生的認識，包括對“基本問題”和“基本數學思想”的必要強化和再認識.

具體地說，盡管“度”和“量”即可被看成“度量問題”的共同核心，但這在不同情況下又應說有不同的涵義或重點.因此，在教學中就不僅應當幫助學生很好認識新的內容與已學過內容之間的共同點，也應注意分析它又有哪些新的特點，特別是，什么是這一情況下合適的度量單位和度量方法（與工具）？

以下則就是與“度量問題”密切相關的基本數學思想：數學中必須由簡單的定性描述（“長短”“輕重”“大小”等）過渡到精確的定量分析；而且，隨著研究對象的擴展，又應幫助學生建立這樣一個認識，即是用計算代替直接度量，用“動腦”代替“動手”.

（3）努力幫助學生建立“結構性認識”，也即能夠按照邏輯的順序（由簡單到復雜、由低維到高維）把握各個相關內容，從而更好地認識它們的內在聯系，包括什么是真正的重點或關鍵等.

例如，這就是小學幾何教學的一條主線，即是研究對象由“一條直線”逐步擴展到了“兩條直線”“三條直線”……

具體地說，從上述角度即可更好理解“角的本質”：重要的并不在于我們應將“角”的“邊”定義為射線、還是線段，而是幫助學生很好認識引入“角”這樣一個概念的必要性與相關定義的合理性：“角”的引進主要反映了這樣一個需要，即是如何反映直線（線段）與直線（線段）之間的位置關系.

進而，隨著研究對象擴展到更多的直線（線段）、特別是三條直線（線段），“三角形”和“多邊形”的引入就十分自然了，包括為什么應將三角形的3條邊和3個角看成它的主要元素，也即應當主要圍繞“邊與邊”“角與角”與“邊與角”的關系從事三角形的研究：正是先前的研究——在此即是指“線段”與“角”這樣兩個概念的引入與研究——為后繼工作提供了必要的概念工具.

最后，還應圍繞“維度”的概念，特別是“由一維到二維、再到三維”這樣一個順序幫助學生很好地建立起關于幾何形體的整體性認識.

例如，就只有按照這一思路才能很好解決以下的問題，包括真正突破“直觀幾何”的局限性：“在整個小學階段，周長與面積概念的混淆一直困擾著學生和老師，這是為什么？可以從哪些方面去努力？”

當然，除去幾何教學以外，也應從同一角度對“數的認識與運算”做出分析思考.以下就是這樣的一個實例[6].

“可以說，‘比較’這一數學思想貫穿了小學數學學習的始終，對此并可簡單地羅列為下列幾個典型句式：

第一階段（一、二年級）：□比□多（少）幾？

第二階段（三、四年級）：□是□的幾倍（幾倍多（少）幾）？

第三階段（五、六年級）：□是□的幾分之幾（□比□多（少）幾分之幾）？”

最后，從促進學生的思維發展這一立場進行分析，又應明確提出這樣一個任務，即是應當通過“結構性教學”幫助學生學會“結構性思維”.（對于所說的“結構性教學”不應與布魯納等人所倡導的“結構主義教學”相混淆，兩者的主要區別是：“結構性思維”必定有一個后天學習與逐步深入的過程，相關教學并應與學生的認知發展水平相適應.）當然，為了實現這一目標，教師本身必須對于相關內容有深刻的理解，特別是，不僅能夠準確把握相應的“核心內容”，而且也能依據“知識結構”與“認知結構”的分析很好處理細節與整體、“生成”與“再認識”等對立環節之間的關系.對此將在以下聯系“幫助學生學會學習”做出進一步的分析.

2.2 問題引領

強調“深度教學”顯然突現了教師在教學活動中的主導作用，也正因此，就應特別重視如何進行教學才能同時保證學生在學習中的主體地位，這并就是突出強調“問題引領”的主要原因，另外，后者事實上也可被看成中國數學教學的一個重要特色[7].

就“深度教學”具體實踐而言，還應特別強調這樣幾點.

（1）不僅應當做好“知識的問題化”與“問題的知識化”，也應高度重視如何能夠通過適當的問題引導學生更深入地進行思考，也即由知識和技能深入到思維的層面.

（2）“問題引領”不僅應當體現于課堂教學的開始部分，也應體現于其它各個環節，盡管不同環節應有不同的重點.在開始部分，應當特別重視“核心問題”的提煉與“再加工”，從而就不僅能夠真正聚焦于課程內容的重點與難點，也能很好調動學生學習積極性，相關實例可見文[8-10].其次，由于認識往往有一個逐步明朗與不斷深化的過程，包括關注點的必要調整與糾錯，因此，在課程的中間環節，教師就應根據預設和當時的實際情況做出持續的引導，包括“核心問題”的明朗化與“再聚焦”，通過追問、反問與提出新的問題促進學生的深入思考，乃至從“元認知”的高度做出分析和思考等.最后，在課程的結束部分，則應引導學生對已有工作做出認真的總結與反思，并通過適當的問題引導學生在課后繼續進行思考，從而很好體現教學的“開放性”.

以下就是關于在學生取得了一定進展之后（包括“課中”與“課尾”）如何通過適當的提問引導他們更深入地進行思考的一些具體建議（相關實例可見文[11]）.

盡管學生已經初步地掌握了某種計算方法，仍應引導他們進一步去思考相關算法的合理性，也即真正弄清為什么可以這樣去算，包括用自己的語言對此做出清楚說明.

盡管學生似乎已經較好地掌握了某一概念，包括能對相關實例（正例和反例）做出正確判斷，也能準確復述相關的定義，仍應促使他們深入思考這一概念與其它相關概念之間的關系，包括究竟什么是這一概念的本質，為什么要引入這一概念等.

盡管學生已通過主動探究發現了相應的規律，仍應促使他們深入地思考如何對此做出必要的檢驗，又能否對此做出進一步的推廣等.

盡管學生已順利地解決了面對的問題，又應促使他們更深入地去思考其中是否可能存在某些隱藏的錯誤，能否找到更有效的解題方法，由這一解題過程又可獲得哪些一般性的結論和啟示等.

顯然，上述分析也已清楚地表明了教學中恰當應用“問題鏈”的重要性，即是如何“讓思維在‘問題鏈’中‘淺入深出’”（吳正憲語）.

（3）盡管對于教師如何做好“問題引領”可以提出一些普遍性的建議，又應更加重注意針對具體的教學內容、對象與環境創造地加以應用.

例如，正如人們普遍了解的，以下3個問題對于數學概念的教學具有特別的重要性：（1）是什么？即概念的定義.（2）有什么用？即為什么要引入？（3）相關概念與其它概念的聯系與區別？但是，相對于機械地去提出這樣3個問題而言，顯然又應更加重視針對具體教學內容與對象做出恰當的選擇，從而很好確定相應的“核心問題”.

例2 數學概念教學的3個例子.

第一，劉松，“聚集核心問題，發展核心素養——《百分數的意義》的教學及思考”（《教育視界》，2017年第4期）.其中主要突出了這樣兩個問題.

（1）在已經有了分數的情況下為什么還要引入百分數？為什么不是“十分數”、不是“千分數”？

（2）你們見過百分數帶單位名稱的嗎？為什么？

第二，李培芳，“基于問題的互助學習——以‘比例的意義’的教學為例”（《小學教學》，2017年第10期）.文中也提到了這樣3個問題：什么是比例？比例有什么用？比例與比有什么關系？但這又是相關教師的主要觀點：就這一內容的教學而言，應當更加突出這樣一個問題：為什么要由“比”的概念進一步過渡到“比例”的概念，即“比例究竟有什么用？”

第三，郭海娟，“‘兩位數減一位數（退位減）’的教學”（《教育視界》，2017年第6期）.相關教師原先認定這一堂課應當聚焦于“個位不夠減，怎么辦”這樣一個問題，但通過實際教學認識到學生的問題并不在于“怎么辦”、也即“怎樣退位？”而是“為什么要退位？”于是調整教學思路，通過兩組需要退位和不需要退位的算式的對比，讓學生首先判斷需不需要退位，再思考怎樣退位.

文中寫道：“‘需要退位嗎’這一課堂中生發的核心問題，如同引擎般將學生‘發動’起來，幫助學生明晰了‘退位減’與‘不退位減’的重要區別.”

從同一角度進行分析也可看出，教學中不應唯一強調任何一種問題形式，而是應當更加重視針對具體內容和對象創造性地加以應用，包括同時肯定“大問題教學”與“讓思維在‘問題鏈’中‘淺入深出’”這樣兩種方法對于數學教學的特殊重要性.進而，以下論述或許就可被看成為如何處理這兩者之間的關系提供了直接啟示：應當同時做好“整體設計的開放性”與“細節處理的精致化”（張齊華語）.

綜上可見，“善于提問”確應被看成數學教師十分重要的一項基本功，特別是，即應通過適當提問引導學生更深入地進行思考，從而真正學會思維，包括努力提升他們提出問題的能力（對于后一論題將在第四小節做出進一步的論述）.

也正因此，這就應被看成這方面工作更高的一個境界，即是如何能夠使得以下情境成為數學教學的常態：這時不僅原先設計的問題已經成了學生自己的問題，學生的關注也不再局限于原先的問題，他們所追求的更已超出了單純意義上的“問題解答”[12].另外，從同一角度進行分析，相信讀者也可更好地理解以下的論述：“一個問題情境既不能被等同于問題本身，也不能被等同于如何在教室中對所說的問題做出說明，它還包括了教師關于在課堂上如何去組織這一問題的求解以及如何對相關解答進行驗證的構思.從而，這就可被看成問題與教學情境的一個組合.”（安提卡語）

2.3 充分的交流和互動

為什么又應特別重視學生的交流與互動？或者說，什么是“深度教學”在這一方面給出的重要啟示和更高要求？答案應當說十分明顯：這主要地不是指“會說”“會聽”等一般性要求，而是因為這十分有益于學生學會反思，學會優化，學會合作.

以下就是這方面的一些具體建議.

（1）教學中應盡可能給學生更多的表述機會，因為，為了清楚地說出自己的想法，必然要求主體積極進行思考，包括對于自己頭腦中已有想法的梳理與檢查.

由于上述目標的實現在很大程度上取決于學生是否有時間做出準備，特別是深入思考，因此，教學中應十分重視為學生的積極思考提供足夠的空間與時間，包括努力培養學生長時間思考的習慣與能力.

特別是，教學中要求學生解決的問題不應太多太小，而應努力做到“少而精”，并有足夠的思維含金量，因為，不然的話，學生就會忙于應付，而不可能真正靜下心來做長時間的思考，甚至根本找不到深入思考的切入點.

教學中還應十分重視如何能為學生的靜心思考提供合適的環境與氛圍，包括努力幫助他們進入這樣一種狀態，即是完全沉浸于相應的學習活動.

例如，從后一角度進行分析，以下的論述即使對于數學教師而言也是十分重要的：“班級要寧靜，教師必須先靜下來.秩序紊亂的班級通常都會有一位喋喋不休的教師.教師說話太急促，聲調不斷提高，帶著強烈的情緒與人交流，等等.”（林文生）“改變最應該從課堂開始，每個課堂的參與者都要學會靜靜地傾聽，尤其是課堂的主導者——教師……只有傾聽才能有正常、平等的交流，只有傾聽才能讓自己的下一句話有的放矢，才能讓學生們想聽，而只要學生們想聽，你就不用背著大功率的擴音器，潤物細無聲才是教育的高境界.”（吳志軍）

（2）其他人的看法或做法顯然也為主體的深入思考、特別是比較和優化提供了重要背景，因為，只有更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，才可能對他人的意見做出適當評論與批評，包括對自身原來的認識做出改進或優化.更進一步說，這并就清楚地表明了這樣一點：“深度學習”不僅依靠師生間的積極互動，同樣離不開學生間的積極交流與互動.

也正因此，在教學中就應積極提倡觀點與方法等的多元化，特別是對于不同觀點與方法等的容忍、理解與欣賞，即是應當保持一定的開放性，而不應過分強調教學的規范性.進而，教學中又應更加重視引導學生對不同的觀點和方法（包括自己原先的觀點和方法）等做出比較，并能通過充分地交流與反思很好實現認識的不斷優化.

顯然，從上述角度也可更好地理解：應將“善于比較與優化”看成數學教師又一重要的基本功.教學中還應很好地處理開放性與規范性之間的關系，即既應堅持必要的規范，而不應采取放任自由的態度，又應使之真正成為學生的自覺行為，而不只是由于外部壓力的被迫服從.

（3）強調“交流與互動”還有這樣一個更重要的涵義，即是認識主體由各個單獨的個體向群體、向由學生與教師組成的“學習共同體”的轉變.也正因此，這就更直接地關系到了“深度教學”的這樣一個目標，即是應當幫助學生“學會合作”，從而真正成為學習的主人.從理論的角度看，這并可被看成集中反映了“社會建構論”與“個體建構論”的區別；當然，這又是兩者必須共同面對的一個問題，即是如何更好地認識“建構”與“反映”之間的關系.

例如，只有從上述角度進行分析，才能更好理解“學習”的真正涵義：這并非指知識的簡單“傳遞”，而主要是指相關成員作為共同體的成員直接參與到了知識的生成過程之中，盡管相關學生在當時可能并沒有發言的機會，或只是通過舉手表達了對于某個主張的贊同或反對，或只是用簡單的一句話表達了自己的想法，或只是提出了一個問題，等等.

更重要的是，如果說在先前所強調的主要是由“與別人對話”轉變到“與自己對話（反思）”，那么，現在就是由“個體性反思”走向了“集體性反思”和“社會性反思”，后者顯然又應被看成一種更高層次的“反思”.

例如，從后一角度去分析，這就是一個很好的教學措施，即在課堂上組織學生對解題時容易出錯的地方（“易錯題”）進行交流，包括明確提出這樣一個論述：“聰明人會認識自己的錯誤，聰明人會改正自己的錯誤，聰明人不重復犯同樣的錯誤，最聰明的人不重復別人的錯誤.”（賁友林語）

再者，這顯然也是上述做法的一個可能作用，即是有益于解決現實中“學生間差異變大”這樣一個困難，并將此轉變成重要的教學資源.當然，后者又不只是指“兵教兵”這一方式的應用，而主要是指使全體學生真正成為一個學習共同體，從而就可超出單純知識與方法的學習這樣一個范圍產生更大的作用，特別是，即是幫助學生真正學會合作.

綜上可見，這就是交流與互動的主要作用：觸發思考，促進優化，學會合作；進而，為了實現這樣一個目標，教師就不應滿足于“平等的參與者”這樣一個定位，而應很好發揮“組織者”和“引導者”等作用，即如對于討論方向的引導、結論的總結和必要強調等，更應努力促進學生的反思與合作，從而實現不斷的優化.

這或許也可被看成實現以下目標的關鍵：“錯著錯著就對了；聊著聊著就會了.”（吳正憲語）當然，這又是這方面的一個更高要求，即是努力促進學生的思考，從而真正做到“想著想著就通（懂）了”.（也可從同一角度對如何更好地實現“學為中心”做出具體分析，即是應對“交流與互動”予以更大的重視，包括切實做好“學習共同體”的建設.）

以下就是這方面的一個具體經驗.

例3 與學生的“約定”.

這是北京小學長陽學校吳桂菊老師的一個做法，即從一年級開始就鼓勵學生在課堂上自由地與同學們分享“自己看到了什么，自己想到了什么，自己發現了什么，自己有什么好奇想問的”，并將此作為師生的共同約定用明顯標識寫在了教室的黑板之上，如圖5所示.

圖5 黑板標識

當然，隨著學生年齡的增長，又應對此做出必要的調整.例如，在進入小學中段以后，這可能就是更加合適的一個“約定”，即是應當鼓勵學生在課堂上自由地提出以下幾個問題：“我還有哪些不理解的地方或疑問？有什么不同的想法或做法？我又有哪些教訓愿意與大家分享？我還能提出哪些問題供大家進一步思考？”

最后，還應強調的是，上述分析事實上也直接涉及到了這樣一個問題，即是應當創造怎樣一種“數學課堂文化”：“思維的課堂，安靜的課堂，合作的課堂，開放的課堂.”當然，后一目標的實現必定又有一個較長的過程：“你的心中有你堅信的價值觀，你真誠地相信它、表達它、宣揚它，并持之以衡地創造性地工作，可能就是在倡導一種文化……文化是源自內心的堅守和持之以恒的耕耘，短時間內是無法被刻意創造出來的.”（王小東）

2.4 努力幫助學生學會學習

“幫助學生學會學習”，首先就是指這樣一個意識的樹立，即是應由教師指導下的學習、不知不覺的成長，轉變成學生的自覺行為，包括清楚地認識數學學習，特別是“深度學習”的主要目標，并以此來指導自己的行動.

就這方面的具體工作而言，還應注意超出數學從更一般的角度進行分析.以下就轉引著名學者周國平先生的一些論述，借此即可更清楚地認識究竟應當通過數學學習養成哪些基本能力和必備品格.

周國平先生指出，就人的成長而言，有3項教育是最重要的：生命教育、智力教育與靈魂教育.以下就是一些相關的論述[13].

“在人的智力品質中，第一重要的品質是好奇心……每個人在智力成長的一定階段上都會顯現出來，實際上是一個人的理性覺醒的征兆.”

“智力品質的另一個要素是獨立思考的能力.所謂獨立思考的能力，就是對于任何理論、說法，你都要追問它的根據，在弄清它有無根據之前，你要存疑.”

“智力生活的非功利性……如果一個民族尊重精神本身的價值，純粹出于興趣從事精神事業的人越多，那個民族就會成為肥沃的土壤，最容易出大師.”

“怎樣才能使靈魂豐富呢？欣賞藝術，欣賞大自然，情感的經歷和體驗，這些都很重要.除此以外……要養成過內心生活的習慣.人應該留一點時間給自己，和自己的靈魂在一起，靜下來，想一想人生的問題，想一想自己的生活狀態……我承認交往是一種能力，但獨處是一種更重要的能力，缺乏這種能力是更大的缺陷.”

由此可見，通過數學學習應當養成以下一些基本素養.第一，好奇心的保持，對精神本身價值的尊重.這事實上也是筆者一直持有的一個觀點：正是人類固有的好奇心、探究心為數學學習提供了根本動力：“一種希望揭示世界最深刻奧秘的強烈情感.”[14]

顯然，從上述角度也可更清楚地認識“應試教育”的危害性，包括這樣一點，即是不應過分強調數學的實用價值.

第二，理性精神的養成，特別是，應當努力提升自身獨立思考的能力，包括一定的批判能力，而不是迷信盲從，并能逐步養成自覺反思的良好習慣與不斷優化的能力，而不是自我滿足，固步自封，包括積極創新，而不是標新立異.

在很多人看來，這也正是數學學習的主要價值：“告訴一個小學生第二次世界大戰持續了10年，他會相信；告訴他兩個4的和為10，就會引起爭論了.”[15]另外，還應通過數學學習逐步養成長時間思考的習慣與能力，以及以下一些品格：有較強的承受力，能經得起挫折與失敗，能耐得住寂寞，有一定的獨處能力，并能始終保持積極思維與謹慎的樂觀這樣一種狀態.

就這方面的具體教學工作而言，還應特別強調兩點.

（1）注意幫助學生學會總結、反思與“再認識”.

如前所述，這也直接關系到了數學本身的特點：數學的發展主要不是指橫向的擴展，即如引進了更多概念，積累起了更多知識與技能等，而是指借助更高層次的抽象實現了縱向的發展；也正因此，數學學習就主要是一個不斷優化的過程，又由于后者不可能單純依靠外部壓力與簡單示范得到實現，而必須成為學生的自覺行為，這顯然也就更清楚地表明了幫助學生學會總結與反思的重要性.

例如，“問題解決”現代研究中對于“元認知”的強調就可被看成屬于這樣一個范圍，即在從事解題活動時，應當促使學生經常問自己這樣3個問題[16]：正在干什么？為什么要這樣做？這樣做了究竟又有怎樣的效果？而這事實上就是一種“即時反思”，更十分有益于學生依據實際情況及時做出必要調整，并使解題活動真正成為一種自覺的行為.另外，教學中還應十分重視引導學生從整體的視角對已有知識做出“再認識”，從而建立起“結構性認識”，并能真正做到“化多為少”“化復雜為簡單”.

例如，就自然數的運算而言，就應通過總結與反思幫助學生建立這樣的認識：對此可以區分出兩個不同的層次：加與減，乘與除.兩者又不僅同樣具有互逆的關系，相應的計算法則也都可以看成“化歸思想”的具體運用，即是用加法與乘法分別解決減法與除法的問題.

應當強調的是，在很多學者看來，這也正是數學認識發展最重要的一個特點：“由簡單到復雜，化復雜為簡單”；進而，正如華羅庚先生所說，這也可被看成最基本的治學之道，盡管他使用的是“由薄到厚”和“由厚到薄”這樣一個表達方式：“由薄到厚是學習、接受的過程，由厚到薄是消化、提煉的過程”；“經過‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過程，對所學的東西做到懂，徹底懂，經過消化的懂，我們的基礎就算是真正打好了”[17].

（2）努力提高學生提出問題的能力.

如果說適當的提問正是教師發揮指導作用，特別是引導學生深入思考最重要的一個環節，那么，由此顯然也可引出這樣一個結論：努力提升他們提出問題的能力正是幫助學生學會學習的又一關鍵：借此他們即可通過自我引領不斷實現自我完善和新的發展.以下即是幾個具體的建議.

第一，無論在課程的哪個環節，教師都不僅應當通過適當提問進行引領，也應讓學生發揮更大的作用，即是應當鼓勵學生積極提問，包括通過對學生所提問題的評價、篩選與優化等為學生提供必要指導，并能通過自己的工作做出直接的示范.

教學中并應注意保護學生的提問積極性，而不要因為不恰當的“理答”挫傷了他們在這一方面的積極性，即應讓學生真正做到“敢問”.正因為此，這就應被看成“數學課堂文化”建設的又一重要方面.

第二，除去直接的示范，也應從一般角度總結出這方面的一些普遍性策略或方法.

例如，所謂的“逆向思維”就可被看成這樣的一個策略，如在解決了“面積相等時圖形的形狀是否一樣”這一問題之后，就應促使學生進一步去思考：“圖形形狀一樣時面積是否一定相等？”進而，以下一些問題的提出則可被看成“類比聯想”的具體應用：“面積相等時圖形的周長是否一定相等？”“周長相等時圖形的面積是否一定相等？”

再例如，對于所謂的“否定假設法”[18]也應予以特別的重視，因為，借此即可清楚地認識“（自我）評價”對于提升提出問題能力的特殊重要性.

還應清楚地看到在“提出問題的能力”與“數學思維和一般思維能力”之間的重要聯系：“提出問題”事實上也可被看成數學思維與一般性思維策略的具體體現和直接應用，反之，提出問題的學習也十分有益于人們思維品質的提升.

第三，應當努力提升學生在這一方面的自覺性，特別是，不僅“敢問”，也能真正做到“愛問”“善問”.

例如，這方面十分重要的一個認識就在于：為什么要對“發現問題”與“提出問題”做出一定區分，并對“問題的表述”予以足夠的重視？這事實上也關系到了由素樸狀態向自覺狀態的重要轉變：如果說“發現問題”主要是指主體對于問題有一定的敏感性，也即具有一定的“問題意識”，那么，由“發現問題”轉向“提出問題”，就意味著主體對問題的認識已由先前的“模模糊糊、似有似無”轉變成了清醒的認識，變得更清晰、更準確，這并就是認真思考和分析（“再思考”），包括自我評價與改進的結果，如這是否可以被看成一個真正的問題，又是否具有深入研究的價值等[16].

顯然還應特別強調提出問題對于提升創造能力的特殊重要性，包括這樣一點：只有會提問題，特別是能夠引發深入思考的問題，才能真正學會學習，學會“深度學習”.

第四，還應十分重視學生的發展水平與接受能力，包括針對“學生的學習心理”去進行工作.這也正是以下實例給予的主要啟示：

例4 姜俊峰，“從學生心理看提問時機的設置”（《小學數學教師》，2018年第12期）.

這是作者對于六年級學生的一項調查，希望能夠弄清“學生對課堂提問的喜好及真實想法”.以下就是兩個相關的結論.

其一，“學生對提問是有畏難情緒的……他們更希望能在對知識有一定體驗后進行提問，以提出‘被人接受的’的‘好問題’.”相對而言，“設置在課始的提問看似不難，但為何喜歡的學生并不多？因為，學生此時自感缺乏對知識的體驗，覺得很難提出好問題.”

其二，“學生對提問是有目標意識的……他們更愿意在對比新舊知識后，提一些‘加深對知識的理解’的‘好問題’，而這樣的提問時機就是在新知識剛講完以后.”“我們是否也可由此推測，喜歡在‘課堂的練習部分’和‘課堂總結時’提問的學生之所以不多，是因為練習時已進入鞏固深化階段，不再有新舊知識對比；而課堂總結時，學生難免認為：都已經學完還怎么提呢？更何況，課末提問通常以教師的‘課下自行研究’而告終，那何必再提呢？”

由此可見，讓學生提問必須講究時機：“讓學生在有一定體驗后進行提問，在教學的行進過程中開展提問.”另外，這也更清楚地表明了在“提問”與深化認識之間的重要聯系，對此學生并可說已有了一定認識.

當然，與簡單否定課始和課末的提問相比較，上述分析又應被看成更清楚地表明了努力提升學生在這方面認識的重要性，也即應當通過自己的教學幫助學生很好地認識“善于提問”與總結反思對于學習的特殊重要性，包括逐步學會在不同時機提出不同的問題.

最后，還應強調的是，先前關于“深度教學”主要環節的分析顯然也為這方面工作提供了直接啟示，特別是，除去已提及的“總結反思”和“適當提問”以外，還應通過強調“聯系的觀點”和“積極的交流與互動”幫助學生更好地學會學習，包括真正學會與他人合作.

3 結語

如果說人們在先前比較注重教學的“實”“活”“新”（周玉仁語），那么，在當前就應更加強調一個“深”字，也即應當通過“深度教學”很好落實努力提升學生核心素養這樣一個目標.再則，如果說“用詩意的語言感染學生”正是語文教學應當努力實現的境界，那么，數學教師的主要責任就是“以深刻的思想啟迪學生”.