數學思維視域下“教表達”的再認識與思考

（貴州師范大學 數學科學學院，貴州 貴陽 550025）

培養學生關鍵數學能力，是發展學生數學核心素養的落腳點，而數學能力的核心又在于數學思維能力.正如奧加涅相指出的：“區別于傳統教學，現代教學的特點在于力求控制教學過程以促進學生思維發展，而基本的思維方式則成為學生掌握的專門內容.”[1]《高中課程標準（2017年版）》中也將培養學生會用數學的思維思考世界作為培養數學核心素養之一.由此可見，培養學生的數學思維，成為數學教學與數學研究者的核心任務.

“教表達”，是2014年1月貴州師范大學呂傳漢教授提出的“三教”教育理念之一，旨在讓學生學會“說數學”，即用數學的語言表達世界[2].學生用數學語言表達客觀世界，實質上就是將所學數學知識構建數學模型應用于外部世界，用數學模型刻畫客觀世界中研究對象的性質、關系與規律.在知識的良好構建與探尋事物變化規律過程中，必然促成學生數學思維能力.然而，在課堂教學中，教師往往將學生的表達作為課題引入、教學環節的橋接作用，對學生的表達的關注局限于表達內容是否符合教學主題，表達方式是否流暢、清楚，忽視“教表達”對學生數學思維的提升作用.研究認為，教師應有意識地立足于數學思維的視角，認識“教表達”在數學教學中對學生發展的作用.

1 思維與數學思維

思維是人腦對客觀現實的概括和間接的反映，它體現的是事物的本質與內部規律性，是人類在社會實踐中產生的一種特有的精神活動[3].簡單地說，人的大腦對客觀現實中存在的問題進行思考的這種內部活動就是思維.

數學思維是人腦和數學對象交互作用并按照一般的思維規律認識數學本質和規律的理性活動[4].具體而言，數學思維就是以數學中的空間形式和數量關系作為對象，以數學語言和符號作為載體，在此基礎上認識和發現數學規律的一種思維.數學思維既具有一般人類思維的特點，又具有獨特的數學特點和操作方式，特別是數學的抽象性、嚴謹性、符號性等性質，決定了數學思維具有不同于其它思維的獨特風格.數學思維方式通常可以相對地分為單維型和多維型、封閉型和開放型、靜態型和動態型等[5].

2 數學交流與教表達

“數學交流”主要指：在課堂或課外學習過程中，能夠將自己習得并理解的數學知識、技能、思想方法、情感態度等以口頭或書面的形式傳遞給對方.“表達”是指“表示（思想、感情）”，主要包括書面表達和口頭表達[3]，是學生面臨一定的現實情境（包含數學情境、現實情境或者是其它學科情境）時，通過分析、思考，在所面臨的情境中建構數學模型，并用數學的語言（諸如文字語言、圖形語言、符號語言）描述的過程.數學交流必然基于數學表達，數學學習中的表達，也是為了達到數學交流的目的.因此，“教表達”，旨在通過教師引導進行師生交流、生生交流，讓學生學會“說數學”，讓學生經歷思維過程后表述自己的思考，在表述中傾聽，在傾聽中通過表達交流，在交流中進行再思考和改進，從而促進知識的領悟和數學思維的提升.

3 “表達”對學生數學思維發展的作用

3.1 表達——能引發學生思考的動機

認知理論認為，動機有助于指引注意的方向，影響信息加工的方式[6].教師給學生表述自己思想或觀點的平臺，不僅是給學生一個展示自己數學思維的機會，同時也讓學生產生思考的動機.學生在進行表達時，總會希望獲得別人的贊譽與尊重，形成一種無形的思想約束，也就形成了一種迫使自己思考的外部動機.在這種外部動機的驅動下，就會在進行表達前，對問題進行盡量仔細和周密的思考，完善自己對研究對象的認知建構.當自己的表述得到別人認同時，會引發學生濃厚的數學興趣；當自己的表述被質疑時，會激起學生對問題的再次思考.教表達，并不完全體現在“教”上，更重要的是對學生的引導，包括對學生表達方式、思維、心境的引導，增進學生思考與表達的動機，更愿意主動參與數學討論和小組學習活動，喜歡與大家交流數學學習經驗與體會，有積極地將所學數學知識與實際聯系的傾向，進而逐步將外部動機轉為成就動機或對數學情感因素的內部動機.由此，學生便形成仔細思考—清楚表達—深入思考—充分表達的良性循環狀態.

3.2 表達——思維的可視聽化過程

國外的教育研究更加重視對于學生在學習過程中真實思維活動的深入了解，而中國在數學教學中教師所關注的往往只是如何能夠幫助學生學會數學地思考，卻很少關注學生在數學學習過程中的真實思維活動[7].從唯物辯證的角度來看，意識依賴物質而存在.任何思想、理論的形成，務必依賴于一定的物質基礎.要想培養學生學會數學地思維，就應當立足于學生在數學學習中真實思維活動的深入了解，唯如此，相關的教學理論才能脫離經驗之談，上升到應有的理論高度.

學生的表達與數學交流，實質上是對自己的認知過程、思維方式的一種流露與展現，使得這種潛在的、內隱的數學思維轉化為一種外顯的可視、可聽的過程.無論是教育研究者，還是教學工作者，都應注重對學生可視化思維——通常是書面表達，以及可聽化思維——通常是口頭表達的研究.從學生的表達中了解其現有認知結構和真實思維方式，以師生對話的方式了解學生現有思維的緣由.在此基礎上，結合課程學習目標中應達到的數學認知要求，才能展開研究應如何引導和培養學生進行數學思維的問題.這就要求教師不僅要在上課前進行備學生、備教法，還應在上課中根據學生的表達與交流中進行生成式教學，處理好教學過程中預設與生成的關系.

3.3 表達——思維的流動過程

在現今信息化時代，人與人之間的交流已拓展到人機交流、人與數據的交流，而且信息互換已從時間上得以壓縮，在空間上得以拓展，信息交流變得愈加的重要.表達，是交流的開始，學生在進行數學表達時，不僅展示了自己的數學思維，還創造了學習合作者傾聽的機會.其他學生在傾聽時，也會進行數學思維活動，可能會產生贊同、評價、質疑、反駁的心理傾向.教表達，旨在將學生的這種心理傾向得以實現，促進學生進行表達和交流，使學生的數學思維在表達中流動起來.思維猶如水源，靜態的水源是一潭死水，流動的水源才是源頭活水.流動的思維才能吐故納新，得以活躍，更新自身的循環.在數學交流中，人們頭腦中相對靜態的思維得以流淌，流動過程中，傾聽的學生根據表述者呈現的思維，可能會改變或更新自己的原有認知，也可能提出質疑和反駁，更新別人的認知.

思維的流動，更能改變思維的形態.數學思維是以數學知識為載體的，學生的傳統數學學習過程通常可以分為3個階段：納入階段、新舊知識相互作用階段和操作運用階段，這也是知識形成的一般過程[8].在與外部進行信息交互之前，思維模式通常困于一個思維模式，思維活動局限于固定程式，思考方法也顯得墨守成規和機械化，這幾乎是每一個學習者學習知識的一個起始階段.由此形成的是數學思維方式通常為單維型、封閉型和靜態型.只有在知識形成的每一個階段，有意識注重學生的數學交流，讓學生的數學思維流動起來，與他人交流中進行信息交互與加工提取，才能從多角度、多層面進行思考，獲得多層次、突破性的思維方法，進而逐漸讓學生將數學思維方式轉變為多維型、開放型、動態型思維.

3.4 表達——能養成學生批判性思維與辯證思維

學生在表達過程中，會不由自主地對自己所闡述的觀點進行思考，同時也會對別人的觀點進行評判甚至反駁，帶有較強的說理性與辯證性.教師在教表達的過程中，注意引導學生的表達與交流，注重交流中的數學思維含量，以促進學生批判性思維和辯證思維的養成.

批判性思維是通過恰當提問和客觀事實進行質疑、分析和論證評估的思維[9].有了這種思維，在數學問題解決中，就能考慮到一切可以利用的條件，不斷驗證所擬定的各種假設，最終獲得獨特的問題解決方法.因此，批判性思維是培養學生創新精神和實踐能力的重要組成部分.數學教學中的批判性思維，既包含了對他人觀點的批判性思考，也包含對自己的批判性思考.因而從認知心理學的角度，批判性思維又可稱為元認知，即對認知的認知.在實際教學過程中，教師通過教表達，引導學生進行數學交流時，學生會對他人的表述會進行質疑與評判.學生通過自己表述、他人評價，又會對自己的認知進行再認知，思考自己的不足，及時調節自己的思維過程，修改思維方式和思維手段，減少思維的盲目性和觸發性，發展思維的分析性和主動型，提升自己的思維水平.

辯證思維是指人們運用概念、判斷、推理等思維形式能動地反映客觀事物的發展過程[10].辯證思維最基本的特點是將對象作為一個整體，對其內部，分析其內在矛盾運動與變化，究其外部，分析其與各方面的相互聯系，從正反兩方面對事物進行系統、完整的認識.教表達的過程中，不同的學生有不同的知識經驗和認知水平，學生能聽取針對同一數學問題的不同角度、不同層面的觀點，甚至教師有時可以通過引導、追問學生的表達，幫助學生無意識或有意識地整合、提升思維水平.使學生能逐步結合形象思維與邏輯思維，集中思維與發散思維，形成多維性思維.當這種多維性思維達到一定水平時，就能從動態的、全面辯證的觀點看待事物的本質，從而形成辯證思維.

4 數學課堂中“教表達”的教學策略

基于以上分析，教表達不僅可以培養學生的語言交流與數學交流能力，更能形成學生進行思考的動機；教師通過學生的表達，能夠了解和審查學生的數學思維方式和思維水平，便于進行生成式教學，利于學生數學思維的培養；學生通過生生交流、師生交流，得到異于自己的不同層面的數學思維整合，提升自身數學思維品質，最終促成自身數學核心素養.于是，注重數學思維視域下學生的數學表達，是課堂教學中教師應有的認識，在數學思維視域下，教師在數學課堂教學中應如何“教表達”，是值得教師和教育研究者思考的問題.

4.1 注重學生的情感交互

這里講的情感，并不局限于學生的數學學科情感，還包括學生與學生之間，特別是學生與老師間的情感.學生喜歡數學的重要原因，往往是由于教師與數學教學內容之間形成恰當的氛圍和教師在教學過程中體現著豐富的數學情感，從而感染學生，讓學生被數學所吸引.例如，挪威數學家阿貝爾之所以能成為中學生數學家，成為“群論之父”，很大程度得益于他的數學教師霍姆伯的循循善誘和因勢利導[11].教表達要首先注重師生的情感交互，特別是性格較為內向、靦腆的學生，教師要表露出愿意傾聽學生發表自己看法的神情，哪怕是學生錯誤的、不確定的答案，也要流出期待的眼神或贊許的目光，并對學生的表述給與中肯的評價.讓學生在表述前得到教師發自內心的期待，表達中得到教師的傾聽，表達后得到教師的指點，如此，才能讓學生從情感上愿意將自己對問題的真實看法表達出來，愿意與老師交流、與同學分享.只有師生之間有了這種情感交互，教師才能了解學生的數學思維，進而有針對性地予以指正和改善.

4.2 足夠的思考時間與空間

在新課程改革的理念下，多數教師開始有了以學生為本的意識，已經開始擁有了從關注教師的教到更關注學生的學的理念轉變，因而開始注重放手讓學生去表達.這一理念當然是沒有問題的，然而，不少教師卻僅僅從形式上讓學生很“自由”地表達，學生也顯得充滿活力與熱情.往往是教師拋出一個問題后，學生便開始積極地回答甚至是搶答，課堂顯得非常活躍，教師對課堂氛圍也自覺滿意.實際上，課堂這種形式上的熱鬧，學生這種表層的表達帶來的問題是：其一，部分學生充滿疑惑的表情被這種熱鬧的氛圍掩蓋和埋沒了；其二，學生對問題缺乏深入的、條理性的思考，違背了教表達的初衷.

學生的表達，務必是基于一定思考的表達.教師在讓學生進行表達前，要確保大部分學生對問題有了較好的思考.這就要求教師在教學過程中，要給學生留出足夠的思考空間和思考時間.所謂足夠的思考空間，即向學生呈現的情境或者拋出的問題要有一定的思考性或難度，讓學生處于一個“結構不良”的問題中，讓學生通過思考才能獲取問題的信息和解決方法，在思考過程中讓數學思維有一定的伸展和延伸的空間.所謂足夠的思考時間，即在向學生呈現具體情境時，教師既不急于讓學生進行回答，也不急于回答學生提出的問題，而是留給他們足夠的時間去思考.當學生思考不出結果時，可組織學生進行交流和討論，在互相啟發中尋求解決問題的方法；當問題解決之后，教師不要急于收場，讓學生思考有沒有更多的解決方法，能否由此提出新的問 題[12].這樣，學生在表達前經過充分的思考，才能進行有條理地表達，促進數學領悟.

4.3 注重學生思維過程

前面已經論述，學生的表達過程實則是學生思維的一個展示過程，是思維的可視化.教師在引導學生進行表達的過程中，要特別關注學生的思維過程，對其中缺乏思考的環節進行追問，對思考不正確的環節進行詰問，幫助學生形成完善、清晰的思維圖式.在關注學生思維過程中，教師還可以反思自己的教學預設，對自己沒有預先考慮到的“斷點”進行修改與調適，根據學生的認知進行生成式教學.

例如，義務教育階段第三學段——三角形內角定理證明的課堂教學過程中，通常會遇到如下一些教師處理不得當的情況，可以從注重學生思維過程，根據學生的表達進行完善.

（1）如右圖，在引導學生進行“剪一剪、拼一拼”的數學活動后，讓學生將該定理轉化為數學語言，猜想證明方法時，部分學生會因為提前預習而直接得出添加平行線的方法，這一過程其實是缺乏應有思考的.如果教師不抓住這個機會對學生的表達進行追問，直接根據學生所答添加平行線進行問題解決，那么不僅使學生進行數學活動成為擺設，還失去一個培養學生良好思維習慣的機會.

此時，教師應對學生進行追問：“你是怎么想到這種方法的？”亦或是“你為什么要這樣想？”等問題，讓學生對自己的決策做出思考，找出真正的思維來源.通過這樣的追問，可能會有學生提出這樣想的原因來源于剛剛拼紙模型的啟示，也可能會有學生提出是前面內容中滲透過的初中幾何證明方法——即用已學定理與基本事實等推導出新學定理的幾何證明思路，因而想到用平行線的性質進行證明.在這種師生交流中，滲透了幾何證明思想，培養直觀想象的素養.

（2）學生在猜想證明方法時，可能會有部分學生想到的不是添加平行線，而是通過作角相等來進行證明.如右圖，過點A作∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，根據等量代換及平角性質得到∠B+∠C+∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°.學生的這個表述過程雖然有較大漏洞，但也確為解決此問題最為自然的方法，因為學生剛剛的拼圖活動就是將三角形的3個內角拼成一個平角進行推理得到的.由于老師對學生的這種思考缺乏預設，可能會直接忽視學生這種看起來有很大漏洞的方法，錯失拓展學生思維的良機.

事實上，教師如果對學生進行詰問：你怎么知道∠DAE是一個平角，一方面學生很有可能會進一步思考而得出，另一方面教師也可根據自己思考，引導學生得出：因為∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，根據平行線的判定定理得到DA//BC，AE//BC，再根據過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行，所以得到DAE三點共線，從而得到∠DAE為平角.如此一來，學生的推理不但符合邏輯，而且其思維的形成也相比教材中呈現的思路更為自然，問題解決的辦法更有創造性.

數學教學過程中，學生的創新往往來源于學生不經意的、教師預設之外的一個聯想，教師要珍視學生不同尋常的想法，注重學生表達出的思維過程，發現學生的思維創新點.

4.4 將合作學習引進課堂教學

教表達的最終目的是為了促進學生數學交流和數學思維的流動、交融，因此在實際教學過程中，教師可以借助合作學習模式促進學生的數學交流.合作學習是當前很受重視的一種學習形式，它主要指讓學生在小組或小團隊中開展學習，互相幫助，學習某些學科性材料.從認知理論的角度來看，合作學習可以促進學生對學習材料的意義建構，促進高水平的思維和學習活動，發展辯證思維能力.從社會認知角度來看，學生在合作學習過程中，看到同伴們的成功，會提高他們自身的自我效能感.當然，最為重要的是，學生在合作學習中有更多的、更深度的交流，相互之間的想法、思路都更加明確化和外顯化，可以更好地對自己的理解和思維進行監控，對學習對象進行更完整的表征.可以說，合作學習在課堂教學這一大背景下，為學生的數學交流搭建了一個更為適合的平臺，平臺適當減小了，學生的表達空間卻增大了.

在合作學習中，教師在學會放權的同時，也要培養學生學會溝通、合作的技能，學會分享學習成果、協調和處理分歧.最終為學生爭取更廣闊的交流空間和更高水平的思維活動，同時培養學生的合作精神.

4.5 合理融入信息技術

在“互聯網+”時代，信息技術的廣泛應用正在對數學教育產生深刻影響[13].在數學教學中，信息技術是學生學習和教師教學的重要手段，它不僅為師生交流、生生交流搭建了平臺，更將數學交流拓廣到另一維度——人機交流.正是信息技術具有“思維可視化”的特點，教師在教學中可充分利用信息技術將問題解決的思維呈現出來，主動將數學思維以形象的方式表達給學生，使得抽象的數學模型變得直觀化，利于學生從形象思維和直覺思維過渡到邏輯思維；也可讓學生通過動手操作、主動探究，將自己的思考在信息技術平臺上進行實踐探索、分析驗證，將自己的數學表達呈現給平臺，讓它通過“自己的豐富的思考”再回應給學生，培養學生發現問題和提出問題的能力.傳統教學中，有些抽象的數學問題教師難以通過語言或是教具進行直觀表達，學生對自己的某些思考也處于“只可意會，不可言傳”的朦朧狀態，借助信息技術平臺，可以彌補這一缺陷.

例如，在中學數學教學中，教師既可用計算機展示函數圖象、幾何圖形運動變化過程，讓學生在圖象分析、圖形運動中進行猜想、歸納，抽象出數學本質，用數學的眼光觀察世界；也可發揮學生的主觀能動性，利用計算機進行大規模的計算、探究算法，或是利用計算機獲取數據，繪制統計圖表，使學生能更充分、完整地進行數學建模，用數學的語言表達世界.

5 結束語

教表達，不應僅成為學生認知與新知之間、教學知識結構之間的一種“搭臺階”的作用，也不應僅將其看成一種鍛煉學生表達能力的作用.而應以發展學生能力為目標，以提升學生數學思維為初衷，著力認識“教表達”的思維意蘊.在數學課堂教學中，教師應注重教表達對學生數學思維的促進作用，把話語權交給學生，鼓勵學生思考與表達，抓住有價值的表達進行引導，對未經適當思考的回答進行追問，調動學生思考的積極性.注重以合作交流的形式，培養學生辯證思維能力，適當融入信息技術，在人機交流中培養學生積極探索、發現問題的創造與實踐能力.