素養(yǎng)導(dǎo)向下的學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)探討

（南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心 南京市高中數(shù)學(xué)渠東劍名師工作室，江蘇 南京 210002）

1 問(wèn)題提出

1.1 問(wèn)題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）的一個(gè)重大突破是研制了數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn).這使學(xué)生學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)、教師教學(xué)與評(píng)價(jià)、教材編寫(xiě)、各類(lèi)考試命題有了依據(jù).評(píng)價(jià)是為了找出實(shí)際結(jié)果與課程目標(biāo)的差異[1].教、學(xué)、評(píng)目標(biāo)是否一致，教學(xué)實(shí)踐是否有偏離教學(xué)目標(biāo)現(xiàn)象，其程度如何，怎樣調(diào)整優(yōu)化，都需要有明確的依據(jù).“學(xué)業(yè)質(zhì)量水平”標(biāo)準(zhǔn)使這些需要成為可能，進(jìn)而，落實(shí)《課標(biāo)》“學(xué)業(yè)質(zhì)量水平”評(píng)價(jià)就將成為課程實(shí)施過(guò)程中的重要內(nèi)容.

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量分為3種水平，每一個(gè)水平都有比較明確的描述.例如，就“問(wèn)題情境”而言，有現(xiàn)實(shí)生活情境、數(shù)學(xué)內(nèi)部情境與科學(xué)情境之分，有“熟悉的情境”“關(guān)聯(lián)的情境”“綜合的情境”之別；就能力的表述，也有關(guān)鍵明確的動(dòng)詞刻畫(huà).但是，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)仍是指導(dǎo)意義下的，不太具備具體的可操作性，仍需在實(shí)踐中努力探索：依據(jù)《課標(biāo)》學(xué)業(yè)質(zhì)量水平標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建具有較高信度的、較強(qiáng)可操作性的評(píng)價(jià)辦法.這無(wú)論在理論層面，還是就實(shí)踐需求，無(wú)疑都具有積極的、重要的意義.

1.2 研究基礎(chǔ)

就數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的實(shí)踐操作層面，南京師范大學(xué)喻平教授給出了“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的一個(gè)框架”[2-3]：以知識(shí)的3種水平（知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新）與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)3種水平相對(duì)應(yīng)，給出了“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)3種水平的劃分描述”，構(gòu)建了“數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)指標(biāo)框架”，設(shè)計(jì)了評(píng)價(jià)關(guān)鍵能力的雙向細(xì)目表[2]，并提出了針對(duì)關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)的賦分方案，這為數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)提供了一種可操作的方式.

喻平教授的主要觀點(diǎn)是：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成的本源是知識(shí)”，6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)都是一種能力，它們必須依附于知識(shí)，不能脫離數(shù)學(xué)知識(shí)而單獨(dú)存在；進(jìn)而，可以將知識(shí)的3種水平與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)3種水平對(duì)應(yīng)起來(lái)，以對(duì)知識(shí)3種水平的考查實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)3種水平的評(píng)價(jià)；學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的兩個(gè)關(guān)鍵詞是“必備品格”與“關(guān)鍵能力”，必備品格以定性評(píng)價(jià)、過(guò)程性評(píng)價(jià)為主，關(guān)鍵能力以定量評(píng)價(jià)、終結(jié)性評(píng)價(jià)為主.

1.3 研究?jī)?nèi)容

第一，在文獻(xiàn)[2]和[3]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的關(guān)系.認(rèn)為一定意義下關(guān)鍵能力就是核心素養(yǎng)，從而用關(guān)鍵能力水平去衡量數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平是合理的，使學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)在實(shí)踐層面更具可操作性.第二，思索基于知識(shí)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力3個(gè)水平[2-3]與《課標(biāo)》學(xué)業(yè)質(zhì)量3個(gè)水平的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別.第三，基于文獻(xiàn)[2]和[3]的研究成果，利用其給出的關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)辦法及雙向細(xì)目表，在實(shí)踐層面作進(jìn)一步探索.其一，把握學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的內(nèi)涵與關(guān)鍵，梳理傳統(tǒng)評(píng)價(jià)方式的優(yōu)點(diǎn)；其二，具體地，就書(shū)面閉卷筆試評(píng)價(jià)方式，在如下幾個(gè)方面做出探討：（1）單個(gè)題目命制；（2）整套試卷命制；（3）單個(gè)題目賦分；（4）整套試卷賦分；（5）評(píng)價(jià)結(jié)果的學(xué)業(yè)質(zhì)量?jī)?nèi)涵及運(yùn)用.

2 處理好繼承與發(fā)展的關(guān)系是學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的根本

2.1 探討學(xué)業(yè)質(zhì)量與關(guān)鍵能力的關(guān)系

首先，《課標(biāo)》指出：“學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是以本學(xué)科核心素養(yǎng)及其表現(xiàn)水平為主要維度……”“數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的綜合表現(xiàn).”從學(xué)業(yè)質(zhì)量的定義出發(fā)，可以探討其構(gòu)成的要素與依據(jù).第一，用數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)和體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的4個(gè)方面（情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思）描述，將6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為3種水平，得到“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分”[4]；第二，在此基礎(chǔ)上確定了數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，分為3種水平，其主要依據(jù)有三：課程目標(biāo)中的“四基”“四能”與課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)；6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平；體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的4個(gè)方面.從構(gòu)成要素與劃分依據(jù)看，一定意義下，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平，如圖1所示.

圖1 學(xué)業(yè)質(zhì)量與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)關(guān)系

其次，《課標(biāo)》把“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”描述為：“……具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的.”研究者認(rèn)為，關(guān)鍵能力是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的重要抓手：其一，“數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)”就是其理性精神，作為“人的發(fā)展”，就體現(xiàn)為人的認(rèn)識(shí)力——思維力、判斷力、洞察力、鑒別力、鑒賞力、辨析力、預(yù)見(jiàn)力等[5]，屬于情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)，根據(jù)“冰山理論”，本身并不容易評(píng)價(jià)，定量評(píng)價(jià)更是難以做到.其二，史寧中教授認(rèn)為，“三會(huì)”即“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”，就是高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[6]，而“三會(huì)”一定意義就是關(guān)鍵能力.例如，“數(shù)學(xué)運(yùn)用”是關(guān)鍵能力，主要表現(xiàn)為“數(shù)學(xué)建模”，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想去解決問(wèn)題，而“數(shù)學(xué)建?！笔菙?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，這說(shuō)明關(guān)鍵能力的表現(xiàn)就體現(xiàn)為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平.其三，有觀點(diǎn)認(rèn)為，“關(guān)鍵能力”與“核心素養(yǎng)”是同義詞[7].前已述及，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的綜合表現(xiàn)，所以，一定意義下，可以以關(guān)鍵能力水平去評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平，從而也就可以評(píng)價(jià)其學(xué)業(yè)質(zhì)量水平.

2.2 理解關(guān)鍵能力三級(jí)水平劃分的內(nèi)涵

喻平教授認(rèn)為，可以通過(guò)關(guān)鍵能力來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平[2-3].其主要觀點(diǎn)是，知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新既反映了學(xué)習(xí)的3種水平，又蘊(yùn)含由學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力形成的3種水平，知識(shí)學(xué)習(xí)的3種水平又對(duì)應(yīng)著核心素養(yǎng)的三級(jí)水平.這樣就可以以6個(gè)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力水平去界定數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平，進(jìn)而去界定其學(xué)業(yè)質(zhì)量水平.其框架構(gòu)成與關(guān)系如圖2.

圖2 學(xué)業(yè)質(zhì)量水平與關(guān)鍵能力的關(guān)系

喻平教授上述基于知識(shí)運(yùn)用的關(guān)鍵能力三級(jí)水平劃分，與《課標(biāo)》學(xué)業(yè)質(zhì)量三級(jí)水平劃分是相通的.首先，如前所述，學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn)，知識(shí)是生成能力的本源，進(jìn)而是形成素養(yǎng)的本源.依據(jù)知識(shí)運(yùn)用的3種水平.去評(píng)價(jià)關(guān)鍵能力，進(jìn)而去評(píng)價(jià)學(xué)業(yè)質(zhì)量，就是抓住了學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的根本.其次，就具體內(nèi)容的表述來(lái)看，二者“幾乎”是一致的.以三級(jí)劃分的“水平二”為例，關(guān)鍵能力水平二“知識(shí)遷移”界定為：“能夠把基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能遷移到不同的情境中去，促進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)或解決不同情境中的問(wèn)題.”[3]而《課標(biāo)》“學(xué)業(yè)質(zhì)量”水平二的表述為：“能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，抽象……發(fā)現(xiàn)……并提出或轉(zhuǎn)化為……能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題.”這里，“新的情境”與“關(guān)聯(lián)的情境”相對(duì)應(yīng)，其本質(zhì)就是知識(shí)的遷移與應(yīng)用.可見(jiàn)二者在知識(shí)的遷移上是一致的，都突出強(qiáng)調(diào)了運(yùn)用知識(shí)去解決新問(wèn)題.第三，這種關(guān)鍵能力的三級(jí)水平劃分，構(gòu)建了《課標(biāo)》學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的一個(gè)框架，顯然，這個(gè)框架具有較強(qiáng)的可操作性.

同時(shí)也要指出，核心素養(yǎng)本身包含情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)，根據(jù)“冰山理論”，這種基于知識(shí)應(yīng)用的關(guān)鍵能力水平劃分，卻只能應(yīng)用于在“水面”上的“行為”部分的評(píng)價(jià).雖然前文已論述關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，但根據(jù)核心素養(yǎng)包含“必備品格”與“關(guān)鍵能力”，關(guān)鍵能力應(yīng)當(dāng)不是核心素養(yǎng)的全部，從而用關(guān)鍵能力去評(píng)價(jià)以核心素養(yǎng)綜合表現(xiàn)為內(nèi)涵的學(xué)業(yè)質(zhì)量，也許還不夠全面準(zhǔn)確.二者的內(nèi)在聯(lián)系，用知識(shí)運(yùn)用水平去評(píng)價(jià)關(guān)鍵能力，再用該關(guān)鍵能力去評(píng)價(jià)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，客觀上的吻合度多高、可信度多大、還要怎樣調(diào)整優(yōu)化，都是需要在理論與實(shí)踐層面進(jìn)一步努力探索的課題.

2.3 把握學(xué)業(yè)質(zhì)量水平評(píng)價(jià)的關(guān)鍵

第一，雙基是學(xué)業(yè)質(zhì)量的重要組成部分.“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成于知識(shí)”，“學(xué)科核心素養(yǎng)是通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的……”[3]所以，“雙基”是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成部分，從而是學(xué)業(yè)質(zhì)量的組成部分.例如，即使是公式直接套用解決問(wèn)題，也屬于“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng).研究者用“高級(jí)搜索”發(fā)現(xiàn)，《課標(biāo)》中動(dòng)詞“理解”共出現(xiàn)287處，【《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中195次】，其中“學(xué)業(yè)質(zhì)量水平”中出現(xiàn)20次，是《課標(biāo)》中動(dòng)詞出現(xiàn)頻率最高的.“理解”大多是指對(duì)知識(shí)的理解.這或許說(shuō)明，一定意義下，《課標(biāo)》更加重視“雙基”.因此教學(xué)依然要重視落實(shí)“雙基”；相應(yīng)地，在學(xué)業(yè)質(zhì)量水平評(píng)價(jià)時(shí)，要注意突出“雙基”.例如，設(shè)置一定數(shù)量的基礎(chǔ)題、簡(jiǎn)單題，考查“知識(shí)理解與直接應(yīng)用”（這屬于學(xué)業(yè)質(zhì)量一級(jí)水平）.

第二，解決陌生情境下的新問(wèn)題，是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的重要內(nèi)容.無(wú)論是從知識(shí)遷移還是知識(shí)創(chuàng)新視角，利用已有知識(shí)（包含陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)）和已有學(xué)習(xí)經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)，舉一反三去解決未曾見(jiàn)過(guò)的新問(wèn)題（相對(duì)于學(xué)生本人），是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)較高水平的關(guān)鍵表現(xiàn).因此，在評(píng)價(jià)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平時(shí)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，提出富有創(chuàng)新意義的問(wèn)題是非常重要的.

第三，要突出讓學(xué)生自己主動(dòng)提出問(wèn)題.研究者用“高級(jí)搜索”得到，《課標(biāo)》中動(dòng)詞“提出”共出現(xiàn)83處，【《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中25處】，其中“學(xué)業(yè)質(zhì)量水平”中出現(xiàn)5處，這里的“提出”，大多是指“提出問(wèn)題”.一定意義下，提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要.提出問(wèn)題的前提往往是要“數(shù)學(xué)地”發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，就要“用數(shù)學(xué)的眼光觀察”.這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平提出較高要求.具體到《課標(biāo)》“學(xué)業(yè)質(zhì)量水平”，每一級(jí)都有明確的表述：水平一要求“提出運(yùn)算問(wèn)題”“抽象出好問(wèn)題”；水平二要求“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題”；水平三則要“用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題”.可見(jiàn)，設(shè)置恰當(dāng)情境，讓學(xué)生提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的重要內(nèi)容.

2.4 處理好繼承與發(fā)展的關(guān)系

處理好繼承與發(fā)展的關(guān)系，是課程改革成敗之關(guān)鍵.數(shù)學(xué)，有其不變的本質(zhì)；數(shù)學(xué)教育，有其自身的規(guī)律.任何改革都不是全盤(pán)否定、另起爐灶.學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)也要繼承傳統(tǒng)評(píng)價(jià)的優(yōu)勢(shì)并發(fā)展創(chuàng)新.

其一，重視“雙基”考查.例如，考查“記憶水平”的公式直接運(yùn)用的簡(jiǎn)單題目（比如，填空題考查單一的、簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)）依然要保留，而且仍要占有一定的比重.

其二，以分?jǐn)?shù)量化學(xué)業(yè)質(zhì)量水平.《課標(biāo)》指出，命題要“在傳統(tǒng)評(píng)分的基礎(chǔ)上……進(jìn)行評(píng)價(jià)”[4]，可見(jiàn)將學(xué)科核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)與傳統(tǒng)評(píng)分形式結(jié)合是《課標(biāo)》的要求，也是必要與可行的.環(huán)顧當(dāng)下的高考模式，包括新近出臺(tái)的高考改革方案，數(shù)學(xué)科目考查都是以分?jǐn)?shù)來(lái)量化水平的.若這里的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平評(píng)價(jià)不對(duì)接高考，不以分?jǐn)?shù)量化，必然造成平時(shí)教學(xué)與考試評(píng)價(jià)、學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)與高考（甚至平時(shí)階段考試）兩張皮的現(xiàn)象.因此，就閉卷筆試而言，打通學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)與當(dāng)前以分?jǐn)?shù)量化的傳統(tǒng)形式的評(píng)價(jià)，既考慮到了現(xiàn)實(shí)需求，也是學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)所需要的.

其三，將分?jǐn)?shù)與質(zhì)量水平結(jié)合.《課標(biāo)》中的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，給出了3種水平劃分，這在一定意義下還是粗線條的、模糊的，也存在著一般等級(jí)評(píng)價(jià)的不足之處.有了分?jǐn)?shù)，可以更精細(xì)地刻畫(huà)；若將分?jǐn)?shù)與等級(jí)水平對(duì)應(yīng)起來(lái)，就可以使評(píng)價(jià)結(jié)果兩種形式并行，更加準(zhǔn)確地描述，更多視角地分析，其結(jié)果的參考運(yùn)用價(jià)值也就更大.

3 構(gòu)建素養(yǎng)導(dǎo)向下閉卷筆試評(píng)價(jià)的模式

3.1 單一題目命制

單一命題命制是命制整套試卷的基礎(chǔ)，值得探索研究.

案例1是由傳統(tǒng)形式題目改編.基于核心素養(yǎng)立意，以評(píng)價(jià)關(guān)鍵能力水平為目標(biāo)，選擇一些現(xiàn)成的題目去改造，作為命題的一種途徑，具有可操作價(jià)值與普遍意義.

立意：主要評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)建模、直觀想象核心素養(yǎng)水平；以現(xiàn)實(shí)生活背景設(shè)置應(yīng)用題，主要應(yīng)用三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)解決問(wèn)題.

尋找題源：（這里選定2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第17題）

某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為此圓弧的中點(diǎn)）和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A、B均在線段MN上，C、D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.

（1）用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；

（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4:3.求當(dāng)θ為

改造設(shè)想一，添加第（3）問(wèn)：

（3-1）由這個(gè)問(wèn)題，你能構(gòu)造一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題并解決它嗎？

或（3-2）你能把這個(gè)問(wèn)題作一般化處理嗎？請(qǐng)給出解答.

分析：就答題而言，可能有如下變化：變化所求，求面積變?yōu)榍箝L(zhǎng)度，求線段的長(zhǎng)變?yōu)榍蠡￠L(zhǎng)（這其中構(gòu)建的函數(shù)模型有質(zhì)的變化）；變化背景，變優(yōu)弧為劣弧，變半圓為關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線，變對(duì)稱(chēng)圖形為一般函數(shù)曲線在第一象限的情形（比如，考慮過(guò)圖象上一點(diǎn)分別做坐標(biāo)軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積，等等）.

該題數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力考查分布如表1.

表1 案例1考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力分布

這里，把問(wèn)題做一般化處理或提出一個(gè)新問(wèn)題，問(wèn)題具有發(fā)散性，屬于“知識(shí)創(chuàng)新”水平，改造的題目難度變大、綜合性增強(qiáng)，由于第（1）問(wèn)較容易，第（2）問(wèn)屬中等難度，并且?guī)讉€(gè)問(wèn)題之間有聯(lián)系，難度梯次遞進(jìn)，故改造后的題目可以較全面地評(píng)價(jià)“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)建模”等核心素養(yǎng)水平.

改造設(shè)想二，考慮變化條件：例如不給出參數(shù)，不在圖形上連接OC，或者去掉第（1）問(wèn)，直接提出后面的問(wèn)題，等等.

案例2是由課本例、習(xí)題改造.課本例、習(xí)題具有基礎(chǔ)性、典型性與發(fā)展性，是高考等各類(lèi)考試命題的重要來(lái)源，也應(yīng)是學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)命題的重要參考.

立意：該題擬主要評(píng)價(jià)“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)建?！钡葦?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平.根據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平標(biāo)準(zhǔn)，“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)建模”和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平三主要通過(guò)以下形式表現(xiàn)：能夠用數(shù)學(xué)眼光找到合適的研究對(duì)象，能夠在綜合的情境中，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上形成新命題；運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的一般方法和相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型[4].

背景：阿波羅尼斯圓有豐富的數(shù)學(xué)文化背景，又是重要的曲線，性質(zhì)應(yīng)用廣泛，研究方法典型，在高考數(shù)學(xué)（江蘇卷）中備受青睞，常考常新.在蘇教版教材中也多次出現(xiàn)其影子：

【蘇教版必修2（2012年6月第4版）第112頁(yè)習(xí)題12】已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)的距離之比為那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足什么關(guān)系？畫(huà)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線.（易求得該曲線方程為 (x- 1 )2+y2=4，它表示一個(gè)圓）

【蘇教版選修1-1（2012年6月第3版）第36頁(yè)習(xí)題12】已知點(diǎn)M與橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為求點(diǎn)M的坐標(biāo) ),( yx 滿(mǎn)足的方程.（易求得該曲線方程為x2+y2+26x+25=0，它表示一個(gè)圓）

基于這個(gè)背景，立足于上述數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平評(píng)價(jià)立意，設(shè)計(jì)如下題目：

（1）解答下列問(wèn)題：

① 已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)的距離之比為那么點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足什么關(guān)系？畫(huà)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M所形成的圖形.

（2）在解答問(wèn)題（1）的基礎(chǔ)上，請(qǐng)你提出一般化的問(wèn)題，并嘗試解決問(wèn)題.

（3）將上述問(wèn)題情境與橢圓、雙曲線定義聯(lián)系對(duì)比，你還能提出怎樣的問(wèn)題？并解決你提出的問(wèn)題.

該題除重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理核心素養(yǎng)水平外，解答過(guò)程還將體現(xiàn)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)水平，其數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力考查分布如表2.

表2 案例2考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力分布

分析：第（1）題就是根據(jù)條件直接求方程，是知識(shí)的直接運(yùn)用，屬于一級(jí)水平，不但是需要考查的，而且是后續(xù)研究的基礎(chǔ).

在（1）中，將兩個(gè)小題放在一起，意在讓學(xué)生作對(duì)比研究，注意到它們有一個(gè)共性：都研究了一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，所得軌跡都是一個(gè)圓.這不應(yīng)該僅僅是個(gè)偶然，背后可能有必然的原因，由此進(jìn)行合情推理.這樣，就較為自然地讓學(xué)生提出問(wèn)題【第（2）題】，由于要求提出“一般化”的問(wèn)題，問(wèn)題指向明確，所以難度并不太大，屬于二級(jí)水平.提出問(wèn)題及其解答如下.

問(wèn)題：求平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之比為常數(shù)λ（λ≠1）的點(diǎn)M的軌跡.

略解：設(shè)F1F2= 2 a，以線段F1F2所在直線為x軸，它的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意得 M F1=λMF2，即整理得

它表示一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做阿波羅尼斯圓.

第（3）題，則讓學(xué)生基于數(shù)學(xué)研究的一般方法，立足于數(shù)學(xué)內(nèi)部，基于知識(shí)發(fā)展，從完備知識(shí)結(jié)構(gòu)視角，提出新的問(wèn)題.事實(shí)上，在解決（1）（2）題的基礎(chǔ)上，再把過(guò)程及結(jié)果與橢圓、雙曲線的定義作比對(duì)，它們分別探究的是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之比、之和、之差（絕對(duì)值）為定值的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，從四則運(yùn)算的角度來(lái)看，此情此景，提出如下問(wèn)題就是水到渠成的了.

問(wèn)題：求平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2距離之積為定值k的點(diǎn)M的軌跡.

略解：設(shè)F1F2= 2 a，以線段F1F2所在直線為x軸，它的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意得 M F1·MF2=k，即整理得

該案例是從教材的兩道習(xí)題出發(fā)，關(guān)注到它們的共性，并對(duì)其進(jìn)行引申，得到一般性的結(jié)論，這是對(duì)教材例習(xí)題的“深化”.這種依托教材的“挖掘”，不僅讓學(xué)生鞏固了求曲線方程的一般方法，而且拓寬了學(xué)生的知識(shí)視野：將阿波羅尼斯圓與橢圓、雙曲線進(jìn)行比對(duì)，從它們的定義之間的聯(lián)系出發(fā)，自然提出“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”的問(wèn)題.更為可貴的是，這種拓展方式滲透了一種研究問(wèn)題的方法，突出了數(shù)學(xué)地“發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題”的過(guò)程.學(xué)生經(jīng)歷這樣的解題過(guò)程，對(duì)新知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展感到親切自然，學(xué)習(xí)也將變得更加主動(dòng)而有趣了.

3.2 整套試卷命制

單元、章節(jié)、期中、期末學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)，乃至于高考，都需要命制整套試卷.素養(yǎng)導(dǎo)向下的試卷命制，要在上述單個(gè)題目命制的基礎(chǔ)上，統(tǒng)籌以下幾個(gè)方面.

其一，適當(dāng)控制題量.評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平，尤其是評(píng)價(jià)其較高水平，需要一些應(yīng)用題、開(kāi)放題，甚至要由學(xué)生自己提出問(wèn)題，以考查知識(shí)遷移與創(chuàng)新的能力，這需要更多的思考時(shí)間與空間，更長(zhǎng)的答卷（表達(dá)）時(shí)間.因此，相對(duì)于當(dāng)下的考試命題狀況，延長(zhǎng)答卷時(shí)間或適當(dāng)減少題量，特別是適當(dāng)減少選擇題、填空題題量，可能是必要的.

其二，整體把握難度.前已述及，要有一定量的考“死記硬背”“直接運(yùn)用”的簡(jiǎn)單題，即要有足量的考查學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的題目；還要有部分考查質(zhì)量水平一、二的題目，即將知識(shí)“遷移”至“熟悉的”或“關(guān)聯(lián)的”情境中去；控制評(píng)價(jià)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平三的題量，并且這些綜合題中要含有一定量的基礎(chǔ)題，可采取分步設(shè)問(wèn)，既考查所要重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的多級(jí)水平，又同時(shí)考查多種數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).突出重點(diǎn)考查的方式可以體現(xiàn)在全面考查、多次考查、多層次考查.

其三，多層次多角度設(shè)計(jì).例如，設(shè)置不同類(lèi)型的題型，填空題、選擇題、解答題、判斷題、實(shí)驗(yàn)探究題等；設(shè)置不同的情境，生活的、數(shù)學(xué)內(nèi)部的、科學(xué)的、綜合的；不同的設(shè)問(wèn)方式，一定量的開(kāi)放題，甚至由學(xué)生自己提出問(wèn)題.還可以考慮題目位置順序的變化.例如，不一定總是按由易到難排序，前面的題目可以難于后面的題；在一道題目中學(xué)習(xí)新方法解決問(wèn)題，還需要將其遷移應(yīng)用到其它題、甚至是序號(hào)靠前的題目上去.這一點(diǎn)，李尚志教授提供了例子[8-11].

3.3 賦分

3.3.1 單個(gè)題目賦分

喻平教授給出一些賦分建議，其中一個(gè)方案是：由各項(xiàng)分值確定題目的分值，一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)水平分別計(jì)x分、x+1分、x+2分，視具體情況對(duì)x賦值，一般取1，得到各個(gè)關(guān)鍵能力不同水平的分?jǐn)?shù).這種計(jì)分方法，避免了出現(xiàn)分?jǐn)?shù)情況，簡(jiǎn)便易行.若照此方案賦分，取x=1，則案例2的賦分如表3.

表3 案例2考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力賦分

總分20分，其中水平一8分，水平二6分，水平三6分，分布大致是合理的.

值得討論的是，解題過(guò)程中可能會(huì)呈現(xiàn)不同的思路，所展示出來(lái)的關(guān)鍵能力類(lèi)別、水平不同，如何賦分呢？賦分是以命題立意傾向預(yù)設(shè)還是以解題過(guò)程給定？研究者傾向于前者.首先是要支持素養(yǎng)立意，即問(wèn)題考查的主要是哪些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就在那些方面賦分；其次是考慮解答該題的通性通法、一定意義下的“優(yōu)解”、多種解法的交集，這些是要重點(diǎn)考慮的，弱化或忽略其它次要因素.

案例3 已知關(guān)于x的方程x2- 2x-a=0有兩個(gè)不相等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路1 由Δ＝4+4a＞0，得a＞-1.

思路2 函數(shù)y=x2-2x與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，得a＞-1.

思路1以考查“邏輯推理”核心素養(yǎng)為主，思路2除了考查“邏輯推理”核心素養(yǎng)還有“直觀想象”核心素養(yǎng)，但思路1是通法，解法也“經(jīng)濟(jì)”一些，故確定所考查的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為“邏輯推理”，而忽視“直觀想象”.

另外，當(dāng)不同解法在關(guān)鍵能力表現(xiàn)上無(wú)“交集”，就采取分別給分，即分?jǐn)?shù)給在不同的關(guān)鍵能力之下.這可能會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)相同，但關(guān)鍵能力水平分布不一的情況.是否適當(dāng)，也有繼續(xù)研究的必要.

3.3.2 加分

《課標(biāo)》指出：“開(kāi)放性問(wèn)題和探究性問(wèn)題的評(píng)分應(yīng)該遵循滿(mǎn)意原則和加分原則，達(dá)到測(cè)試的基本要求視為滿(mǎn)意，有所拓展或創(chuàng)新可以根據(jù)實(shí)際情況加分.”[4]從知識(shí)學(xué)習(xí)的3種形態(tài)[2]而言，拓展與創(chuàng)新屬于關(guān)鍵能力的三級(jí)水平.首先，加分要在滿(mǎn)意的基礎(chǔ)上加分，即首先要求達(dá)到基本要求，這是命題需要明確的；其次，加分也要分級(jí)考慮，比如視“知識(shí)創(chuàng)新”的“含金量”水平而定；第三，要盡可能給出明確的、可操作的細(xì)則，何時(shí)加分、加多少分、關(guān)鍵表現(xiàn)特征是什么……

以案例2為例，第（2）題是將問(wèn)題“一般化”，難度并不大，只適用于滿(mǎn)意原則；第（3）問(wèn)從提出問(wèn)題到建立方程，指向較為明確，也可以定位為達(dá)到水平三的滿(mǎn)意水平；在此基礎(chǔ)上，得到方程 (x2+y2+a2)2-4a2x2=k2后，這條曲線不是常規(guī)曲線，若能夠從“方程視角”去研究其幾何性質(zhì)，如軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)、范圍等性質(zhì)，就屬于利用“已有方法和探究經(jīng)驗(yàn)”去研究新問(wèn)題，屬于“知識(shí)創(chuàng)新”水平了，應(yīng)該考慮加分.比如，研究出一條性質(zhì)加x分，在此基礎(chǔ)上多研究出一條再加0.5x分，以此類(lèi)推……

3.3.3 整卷賦分

前已述及，素養(yǎng)導(dǎo)向下的整套試卷，將包含更多的元素，更加全面準(zhǔn)確地考查學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，其分?jǐn)?shù)也應(yīng)有更加豐富的內(nèi)涵.這里，研究者給出以下計(jì)分框架設(shè)想，如表4，并說(shuō)明如下.

表4 整套卷賦分框架

（1）相對(duì)分.每套卷考查的目標(biāo)、內(nèi)容、難度可能有所不同，特別是每個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查比重往往是不均等的.例如，單元、章節(jié)考試卷，一般屬于階段性考試，考查的是階段學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)發(fā)展水平.由于不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容和知識(shí)對(duì)6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展可能是不一樣的，因此，階段考試應(yīng)對(duì)某些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有所側(cè)重.例如，對(duì)“函數(shù)”單元的考查，“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)水平就難以做到充分地考查，甚至不必去考查，那么該項(xiàng)得分會(huì)很低或者為0，這是否意味著該“核心素養(yǎng)”水平就很低呢？即使是綜合性的考查，也難以使6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)所占比重相同.其實(shí)，學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn)，不必要也不可能做到平均分配分?jǐn)?shù)，命題也很難做到這一點(diǎn).若設(shè)置相對(duì)分，則可以使各種關(guān)鍵能力水平可比，更有利于整體把握6個(gè)關(guān)鍵能力水平，使看問(wèn)題多了一個(gè)視角，這可能是有意義的.附帶說(shuō)明，若整套卷總分設(shè)為150分，則相對(duì)分以(本項(xiàng)得分÷預(yù)設(shè)項(xiàng)總分)×150 計(jì)，例如A2＝(A1÷A0)×150.

（2）權(quán)重.統(tǒng)籌考試目標(biāo)、關(guān)鍵能力水平分布、知識(shí)內(nèi)容所占課時(shí)比重、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求等諸多因素，設(shè)置6個(gè)關(guān)鍵能力所占權(quán)重分別為m1、m2、···、m6，其中m1+m2+···+m6＝1，這樣就得到該關(guān)鍵能力的權(quán)重得分分別為m1A2、···、m6F2，使該項(xiàng)得分更趨合理.至于權(quán)重m1、m2、···、m6的確定，要根據(jù)具體情況統(tǒng)籌多種因素確定.例如，單元考試教學(xué)內(nèi)容為“概率與統(tǒng)計(jì)”，在求出各關(guān)鍵能力標(biāo)準(zhǔn)分后，提高“數(shù)據(jù)分析”權(quán)重計(jì)算總分，一定意義下，可以突出該階段考試重點(diǎn)，可以重點(diǎn)考查該階段教學(xué)內(nèi)容主要發(fā)展了的“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)水平；又如，階段考試知識(shí)為函數(shù)，較少涉及“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容，則應(yīng)該設(shè)“數(shù)據(jù)分析”關(guān)鍵能力權(quán)重較小，甚至可以設(shè)為0，即該次考試忽略此項(xiàng)關(guān)鍵能力的考查；再如，在“立體幾何初步”的考查中，就關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)，主要是邏輯推理與直觀想象，應(yīng)該占有較大權(quán)重，而“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“數(shù)據(jù)分析”占有權(quán)重很小，或者忽略，其它關(guān)鍵能力也要統(tǒng)籌考慮.

（3）總分.以H＝m1A2+···+m6F2作為整套卷總分，即作為該綜合卷6種關(guān)鍵能力水平的結(jié)果（以分?jǐn)?shù)量化），由于已適當(dāng)調(diào)整權(quán)重，使之更加貼近評(píng)價(jià)目標(biāo)，因此一定意義下，這個(gè)總分就可以作為相應(yīng)階段學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的結(jié)果.

4 分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵與結(jié)果運(yùn)用

這里以整套試卷得分為例.由上述分析，每一個(gè)關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)分后，就使得各種關(guān)鍵能力水平可比；總分H由各種關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)分、權(quán)重分而得到，它統(tǒng)籌各種因素，包括學(xué)習(xí)內(nèi)容、課時(shí)比重、知識(shí)要求層級(jí)、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)等，可以認(rèn)為它較全面、客觀地反映學(xué)生的階段學(xué)業(yè)質(zhì)量水平.分?jǐn)?shù)高，就認(rèn)為其學(xué)業(yè)質(zhì)量水平較高.

若將分?jǐn)?shù)劃分為幾個(gè)區(qū)間，并與學(xué)業(yè)質(zhì)量水平對(duì)應(yīng)起來(lái)，則可以從兩個(gè)角度去刻畫(huà)其學(xué)業(yè)質(zhì)量水平.例如，規(guī)定60～75分為學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一，76～80分為學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二，86～100分為學(xué)業(yè)質(zhì)量水平三.若總分150分則按相應(yīng)權(quán)重轉(zhuǎn)化.如此，不僅可以利用分?jǐn)?shù)反映學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，而且還能夠?qū)τ谖挥谕粋€(gè)質(zhì)量水平的再進(jìn)行細(xì)分：例如，兩個(gè)個(gè)體得分分別為78分、82分，均屬于二級(jí)水平，但一般認(rèn)為得分高的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平高于得分低的水平.兩個(gè)群體之間的比較也如此.