讓數學學習深度發生

“人是如何學習的？”

這一直是學習科學研究的問題。瑞典哥德堡大學教育學院教授Marton Saljo在基于學生學習過程的研究中，首次提出并闡述了深度學習與淺層學習這兩個相對概念。隨后，John Biggs等多位學者對深度學習作了進一步的研究。我國學者孫智昌認為，學習科學視閾下的深度學習是學習者遵循學習原理，在學校場域中對以重要概念為核心的知識進行理解性和創新性學習的有效學習過程。在《促進學生深度學習》一文中，我國學者黎加厚教授等提出了深度學習的概念，文中指出：深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實（概念），并將它們融入（內化）原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學習。學習科學認為深度學習的特征主要表現在以下4個方面：深度學習意味著理解與批判，深度學習意味著知識建構，深度學習意味著遷移和運用，深度學習意味著問題解決。

可見，深度學習揭示了學習的本質和規律，它使學生學得更好更愉悅，為教師突破“改課”難點———教學行為提供了理論支撐。當然，教師也應從教學論者關于深度學習的論述中了解諸如深度學習的發生條件與機制，從教育技術學者的論述中了解深度學習的資源和環境創設方法。

雖然理論界的研究富有成果，但要將理論運用到課堂教學實踐中，仍有很長的路要走。目前我省一些中小學正在開展相關的實踐探索。為了提升數學教師在課堂教學中推進學生深度學習的水平，我們組織部分老師進行討論，結合老師們的觀察與實踐，提出一些問題，與大家一起思考與探索。

一、數學深度學習深在哪里？

學習科學認為深度學習的特色在于強調理解性學習，所以，理解是深度學習中體現深度的第一要義。

從認知領域看理解，正如數學教育家傅種孫先生所言：“幾何之務不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然。”其實整個數學教學都是如此，在知識的“再創造”與運用過程中，“知其所以然”是指領悟數學思想與方法，“知何由以知其所以然”主要是指對認知過程的認知，如元認知策略。

如何讓學生“知其所以然”？教學論者認為應深在系統結構中，我們由此認為可以縱向聯結與橫向聯結。

從縱向聯結上看，應該通過舊知識遷移得到新知識，并通過新知識的遷移運用，理解知識的價值，形成知識鏈。義務教育階段很多數學知識是基于學生的生活經驗，尤其是小學。那么，如何利用學生的生活經驗促使學生通過正遷移主動建構知識？如數的概念與大小比較、算法等。又如何引導學生由舊知主動發現新知？是通過轉化還是變式抑或歸納？如小學由平行四邊形的面積公式探索三角形的面積，初中由多項式的乘法法則發現乘法公式。但同時，學生原有的經驗與數學概念和事實可能并不一致，數學也總是在打破原有的認知局限中取得發展，如何利用認知沖突促使學生積極學習？如數的擴充。如何幫助學生從認知沖突中走出來？如從狹隘或片面的生活經驗走向科學全面的數學認識。如何幫助學生建立新的認知框架？如從數到式，從等式到函數，等等。這些都是深度學習過程中教師應該深入思考的問題。

從橫向聯結上看，不同領域的數學知識也是相互關聯的。教師應當思考：如何利用直觀想象（幾何直觀、合情推理）幫助學生理解數與代數知識？如小學中關于小數、分數、百分數的認識，初中多項式的乘法、函數的性質。如何幫助學生在廣闊而全新的領域內把握事物的本質？是運用類比思想還是對立統一觀點？如從分數推廣認識分式，用函數的觀點看不等式、方程，等等。

如何讓學生“知何由以知其所以然”、由學會到會學？課堂可發揮“先行組織者”的作用，如何利用引導材料由上位概念認識下位概念？如由平行四邊形認識矩形、菱形、正方形。如何利用比較性引導材料認識鄰近概念？如由矩形類比提出菱形的學習任務與方法。代數、幾何的研究都有各自的方法與套路，如何讓學生在教學中通過熏陶與滲透，建立學習過程的自我意識？如幾何學習中的先觀察猜想再推理論證。如何通過課堂反思，讓學生自悟認知策略？回顧亦或反省？追究？

從情感態度與價值觀來看理解，它是兒童生存、發展的基本方式。學生對知識的發生發展需要情感的溝通、態度上的認可、價值上的認同，進而理解主觀世界的普遍意義和價值。深度學習的理解不只是為了掌握與獲得某種實用的知識，更是為了學生個體的精神發育。課堂應煥發知識的意蘊（知識的情感、知識的價值、知識的精神），使學生感受數學有味、數學有用、數學之美。那么，教師應當思考：在知識的再發生過程中，如何復原火熱的思考，形成求真、求善、求簡的品格？如何利用數學文化讓學生愛數學，如體驗、感悟、對話等？

二、哪些數學知識需要深度學習？

我們認為，數學知識并非都需要深度學習，淺層學習某些數學知識也能服務于數學學習。相對而言，高等級的數學知識更應該深度學習，但低年級學生可能也需要深度學習。因此，我們要厘清哪些數學知識要深度學習。

首先，在學習新知過程中，深度學習應聚焦核心內容，如數學中的核心概念，重要的數學事實等。深度學習還應聚焦高層次的內容。一般來說，知識的層次從低到高可分為經驗性、概念性、方法性、思想性、價值性。對于高層次的知識，我們需要深度學習。那么，義務教育階段哪些數學概念應推進深度學習？（如小學中的整數、小數、分數，初中的方程與函數等）哪些重要的數學事實需要深度學習？（如小學中圖形的面積，初中的三角形、平行四邊形的性質與判定等）

其次，在運用新知時也需要通過深度學習解決復雜問題。比如，從學與習的兩個環節來看，如何在綜合與實踐課中，引導學生通過聯結、遷移解決實際問題？如何讓學生在解題教學中學會思考的方法？

再次，深度學習并不是專門針對更難更深奧的知識、解決繁雜的任務，也不盲目增加認知負荷、一味追求核心要素的復雜表達形式，但不能由此將深度學習與任務復雜度對立起來，深度學習深在復雜的思維過程，應對挑戰性問題。深度學習不可能回避較難知識，深度學習有利于解決學生學習中想不通、想不到、理不清的問題。因此，教師在推進深度學習中，應當在學生的最近發展區設計問題，并思考如何利用深度學習突破教學難點，對知識追根溯源，進行條理化聯想，等等。

三、如何引導學生進行數學深度學習？

美國教育心理學家梅耶提出，學習始于學習者的注意—激活原有知識—找出新知識的內部聯系—建立新舊知識的聯系—新習得的知識進入長時記憶。深度學習始于學生的學習動機和相關知識經驗被激活，激活的關鍵在找準學生內源性學習力的出發點，在分析學情（認知基礎、前概念、困惑迷思等）的基礎上設計課堂的導入方式，引起學生的注意。那么，如何激化學生的認知情感？如何讓學生在問題情境中感受認知沖突、誘發認知期待？如何讓學生產生認知需求（而不是生硬地要求學生達成學習目標）？如何激活學生的認知基礎與認知策略？

深度學習意味著問題解決，利用問題解決也可以推進新知的深度學習，基于問題解決的教學是深度學習的一種方式。教師要根據教學內容選擇教學材料，設計教學活動，因此要思考：如何創設真實的問題情境？如何圍繞挑戰性主題設計問題串，促進學生持續建構？如何利用信息技術提供豐富多樣的學習材料？

深度學習是以學科核心內容為線索，因而強調整體學習，讓學生在系統結構中理解性學習。單元教學是一種策略，這里的單元并不是教材中的章節，而是教材中幾個課時的學習內容，圍繞學習主題形成的教學單元。比如，有理數一章中關于加、減、乘、除、乘方運算可構成一個教學單元，其主干知識是算法，主要數學思想是分類、轉化，核心素養是運算能力。在各章中選定教學單元后，應當思考：如何確定各單元的教學主題（高階思維與關鍵能力）？如何通過各課時的教學逐步實現深度學習？如何在章末的學習中幫助學生整體認識？如何在章末復習中通過解題教學促進學生對知識的融會貫通？綜合運用亦或一題多解？

深度學習是“以學為中心”改革的升級版，而課堂的主導權在教師手中，學生學習的自主權究竟體現在什么方面？我們認為應該是思維，師生的思維同步、共振、碰撞。那么在學習的過程中如何打造學習共同體（情感、認知、行為）？生生之間如何通過相互啟發、合作探究、評價反饋實現多元共生？如何組織多樣化的探究活動完成復雜的思維過程？

最為關鍵的是，在深度學習中，通過理解性學習和創新性學習，發展分析、綜合、評價、創造等高階思維能力，就是發展了學生的數學核心素養。那么如何通過深度學習發展學生的抽象能力？運算能力？推理能力？如何借助深度學習解決實際問題發展建模能力？

四、數學深度學習如何評價？

什么樣的數學課堂推進了深度學習？從教學目標看，深在掌握知識、技能的過程中形成高級認知（邏輯形式、元認知）和高階思維（數學核心素養），并觸及學生的心靈深處；從教學內容看，聚焦核心內容，深在系統結構；從教學方式看，深在教學規律中，教師的充分引導，學生理解與遷移、批判與反思。那么，如何制定一個教學評價量表開展相關的教學評價？

學生在數學課堂上進行了深度學習，表現在哪些地方？從學習態度上看，學習投入的主動、積極、全面；從學習過程上看，思維活躍、深入、自省；從學習結果上看，豐富、突出，如認知結構的完善、關鍵能力的發展、復雜情感的體驗。那么，在課堂觀察中，如何評價各層次學生的深度學習狀況？對各層次學生的深度學習的水平有什么要求？如何進行學生的深度學習的發展性評價？這些都需要老師們作更進一步的研究。

概而言之，推進學生深度學習，關鍵在教師。教師不僅要掌握相關的理論，也要具有深厚的學科教學知識，還需要智慧地讀懂課堂，提升駕馭課堂的能力，積累推進學生深度學習的方法和策略，促進學生全面、深入、持續地發展。

【本文系湖南省教育科學“十三五”規劃立項課題“初中數學‘自主·深度教學的實踐研究”（課題編號：XJK016BZXX040）的階段性成果】

（執筆：張向東。參加討論人員：趙雄輝、張向東、李闖、徐旺、胡力、鄒旭紅、砂子塘泰禹小學數學組）