淺談?dòng)妙l率分布直方圖估計(jì)總體的數(shù)字特征

■劉娟娟

在頻率分布直方圖中，運(yùn)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，可以很好地考查同學(xué)們的識(shí)圖能力，也可以很好地考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和轉(zhuǎn)化推理的核心素養(yǎng)，因此這類(lèi)試題備受命題者的青睞。下面分別介紹如下，以供同學(xué)們參考。

一、利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)

在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。

例1某校有高三文科學(xué)生1000人，統(tǒng)計(jì)這些學(xué)生高三上學(xué)期期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)后，得到的頻率分布直方圖如圖1所示。

圖1

（1）求圖中a的值，并估計(jì)本次考試成績(jī)低于120分的人數(shù)。

（2）假設(shè)同組的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)本次考試成績(jī)不低于120分的學(xué)生的平均分（結(jié)果保留一位小數(shù)）。

（1）利用頻率之和為1，由圖得到（a+0.015+0.0225+0.0175+0.015+0.01+a+0.005）×10=1，解得a=0.0075，所以本次考試成績(jī)低于120分的學(xué)生共有1000—1000×10×（0.01+0.0075+0.005）=775（人）。

（2）由圖1可知，不低于120分的頻率為0.1，0.075，0.05，所以本次考試成績(jī)不低于120分的學(xué)生的平均分為

在解答這類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中，需要弄明白的是頻率分布直方圖中小矩形的面積表示的是頻率，平均數(shù)的計(jì)算公式為組中值乘以相應(yīng)的頻率作和。該題中需要注意的是當(dāng)前的總體發(fā)生了變化，所以對(duì)應(yīng)的頻率已經(jīng)不是對(duì)應(yīng)的小矩形的面積了，應(yīng)該重新核算。

跟蹤練習(xí)1：對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表（如表1）和頻率分布直方圖（如圖2）。

表1

圖2

（1）求表中M，p及圖中a的值。

（2）若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)這些學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間［10，15）內(nèi)的人數(shù)。

（3）試估計(jì)這些學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的平均數(shù)。

提示：（1）由題意知，解得M=40。因?yàn)轭l數(shù)之和為40，所以10+24+m+2=40，解得m=4，所以因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組［15，20）的頻率與組距的商，所以

（2）因?yàn)樵撔８呷龑W(xué)生有240人，分組［10，15）內(nèi)的頻率是0.25，所以估計(jì)這些學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為240×0.25=60。

（3）估計(jì)這些學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的平均數(shù)是12.5×0.25+17.5×0.6+22.5×0.1+27.5×0.05=17.25。

二、利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)

眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。在頻率分布直方圖中，用最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)估計(jì)眾數(shù)。

例2某校對(duì)高二年級(jí)的男生進(jìn)行體檢，對(duì)他們的體重（單位：k g）數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成六組，并繪制成頻率分布直方圖，如圖3所示。

已知第三組［60，65）的人數(shù)為200。根據(jù)一般標(biāo)準(zhǔn)，高二年級(jí)的男生體重超過(guò)65k g屬于偏胖，低于55k g屬于偏瘦。

觀察圖中的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）用分層抽樣的方法從偏胖的學(xué)生中抽取6人，對(duì)高二年級(jí)男生的日常生活習(xí)慣及體育鍛煉情況進(jìn)行調(diào)查，則各組應(yīng)分別抽取多少人?

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高二年級(jí)的男生體重的眾數(shù)。

（1）設(shè)高二年級(jí)男生的總?cè)藬?shù)為n，由，可得n=1000。所以體重超過(guò)65k g的總?cè)藬?shù)為（0.03+0.02+0.01）×5×1000=300，由此可得抽樣比為

在［65，70）這一組的人數(shù)為0.03×5×1000=150，應(yīng)抽取的人數(shù)為；在［70，75）這一組的人數(shù)為0.02×5×1000=100，應(yīng)抽取的人數(shù)為；在［75，80］這一組的人數(shù)為0.01×5×1000=50，應(yīng)抽取的人數(shù)為所以在［65，70），［70，75），［75，80］這三組應(yīng)抽取的人數(shù)分別為3，2，1。

（2）由圖可知［55，60）這一組對(duì)應(yīng)的小矩形最高，其底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為57.5，由此可估計(jì)該校高二年級(jí)男生的體重的眾數(shù)為57.5k g。

跟蹤練習(xí)2：某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后，分成五組，繪制成如圖4所示的頻率分布直方圖。求高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和平均成績(jī)。

圖4

提示：由圖可知［60，70）這一組對(duì)應(yīng)的小矩形最高，其底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為65，所以高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為65分。

由圖可知從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別為0.3，0.4，0.15，0.1，0.05，所以高一參賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?5×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67（分）。

三、利用頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可知，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的垂直于x軸的直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以用來(lái)估計(jì)中位數(shù)的值。

例3為了調(diào)查某廠(chǎng)工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，并繪制成如圖5所示的頻率分布直方圖。

圖5

（1）求這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量在［55，75）的人數(shù)。

（2）求這20名工人一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)。

（1）由圖可知（0.04×10+0.025×10）×20=13，所以這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量在［55，75）的人數(shù)為13。

（2）由圖知0.2+0.4＞0.5，所以中位數(shù)應(yīng)位于第二個(gè)小矩形內(nèi)。設(shè)中位數(shù)為x，則0.2+（x—55）×0.04=0.5，解得x=62.5，所以這20名工人一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為62.5個(gè)。

第（1）問(wèn)根據(jù)第i組的頻數(shù)=第i組的頻率×樣本容量來(lái)計(jì)算。第（2）問(wèn)根據(jù)中位數(shù)左邊的直方圖的面積為0.5，列方程求得中位數(shù)。

跟蹤練習(xí)3：某校從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖6所示的頻率分布直方圖。由于一些數(shù)據(jù)丟失，試?yán)妙l率分布直方圖求出這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)。

圖6

提示：由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。在頻率分布直方圖中，最高的小矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，所以這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)應(yīng)為75分。

由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)左右兩邊的小矩形的面積相等。因此在圖6中，將所有小矩形的面積一分為二的垂直于x軸的直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的成績(jī)即為中位數(shù)。因?yàn)?.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，所以前三個(gè)小矩形的面積的和為0.3，而第四個(gè)小矩形的面積為0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，所以中位數(shù)應(yīng)位于第四個(gè)小矩形內(nèi)。設(shè)第四個(gè)小矩形的底邊長(zhǎng)為x，因?yàn)楦邽?.03，所以有0.03x=0.2，解得x≈6.7。故這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)應(yīng)約為70+6.7=76.7（分）。