頻率分布直方圖考點透視

■任海濤

頻率分布直方圖作為提供背景材料和考查同學們數學建模、數據分析能力的重要載體，是高考的必考知識點。如何簡捷快速處理有關頻率分布直方圖問題，下面通過舉例分析，幫助同學們提高這類問題的解題能力。

題型一：頻率分布直方圖中的數據計算

例1小亮開通了一個微信公眾號，每天推送一篇文章。通常將閱讀量作為微信公眾號受關注度的評判標準，為了提升公眾號的關注度，進一步了解大家的需求，小亮對之前推送的100篇文章的閱讀量進行了統計，得到了頻率分布直方圖（如圖1），則圖中的a=。

圖1

解：因為頻率分布直方圖的各組的頻率之和為1，所以（0.0004+0.0008+2a+0.002+0.0026+0.0006+0.0004+0.0002）×100=1，解得a=0.0015。

評析：有關頻率分布直方圖的計算問題要注意四點：①每個小長方形的面積表示相應各組的頻率；②所有小長方形的面積之和為1；③樣本容量×頻率=頻數；④頻率分布直方圖中各小長方形的面積之比等于頻率之比，也等于各小長方形的高之比。

題型二：用樣本的頻率估計概率

例2某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：［20，30），［30，40），…，［80，90］，并整理得到了頻率分布直方圖（如圖2）。

圖2

（1）從總體的400名學生中隨機抽取1人，估計其分數小于70的概率。

（2）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間［40，50）內的人數。

解：（1）由頻率分布直方圖，可知分數在［70，80）的頻率為0.4，分數在［80，90］的頻率為0.2，則分數小于70的頻率為1—0.4—0.2=0.4，故從總體的400名學生中隨機抽取1人，估計其分數小于70的概率為0.4。

（2）由頻率分布直方圖，可知樣本中分數在區間［50，90］的人數為（0.01+0.02+0.04+0.02）×10×100=90。已知樣本中分數小于40的學生有5人，所以樣本中分數在區間［40，50）內的人數為100—90—5=5。

設總體中分數在區間［40，50）內的人數為x，則，解得x=20，所以總體中分數在區間［40，50）內的人數為20。

評析：頻率分布直方圖中，每個區間內的概率就是該區間內樣本容量與總體個數的比，這和古典概型概率的計算原理是一樣的，因此可以用樣本的頻率估計概率。