為數(shù)學(xué)點(diǎn)贊
——名師例析數(shù)學(xué)文化(11)概率統(tǒng)計(jì)

■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

■北京市教育學(xué)院豐臺(tái)分院 張 琦

一、概率統(tǒng)計(jì)的基本介紹

現(xiàn)代社會(huì)是一個(gè)信息化的社會(huì),生活中人們常常需要收集各種數(shù)據(jù),之后對(duì)所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,從而提取有價(jià)值的信息,作出合理的決策。統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科,它可以為人們制定決策提供依據(jù)。隨機(jī)現(xiàn)象在日常生活中隨處可見,概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科,它為人們認(rèn)識(shí)客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法,同時(shí)為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。因此,統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)成為一個(gè)未來公民的必備常識(shí)。

1.概率和統(tǒng)計(jì),是兩個(gè)彼此獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支

這里概率指的是概率論,其萌發(fā)于16世紀(jì)的賭博中“得分問題”。1657年,惠更斯在他和帕斯卡、費(fèi)馬等人討論的基礎(chǔ)上,寫成了《論賭博中的計(jì)算》一書,標(biāo)志著概率論成為研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門獨(dú)立學(xué)科。此后,雅各布·貝努利的遺著《推測(cè)術(shù)》(1713年出版)的出版,標(biāo)志著概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。

統(tǒng)計(jì)指的是數(shù)理統(tǒng)計(jì),其萌發(fā)于19世紀(jì),形成于20世紀(jì)中葉。1946年,英國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)希爾發(fā)表《統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)方法》,才標(biāo)志數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的成熟。

從這個(gè)角度來講,概率和統(tǒng)計(jì),是兩個(gè)彼此獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。

2.概率是統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ),統(tǒng)計(jì)是概率的應(yīng)用

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象中某事件發(fā)生的可能性,用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。隨機(jī)事件是指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,如概率論最初研究的擲骰子問題。概率論發(fā)展至今在高能物理學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)、生物數(shù)學(xué)等學(xué)科中具有重要應(yīng)用。許多服務(wù)系統(tǒng)如通信、探測(cè)、預(yù)報(bào)、自動(dòng)控制等都要應(yīng)用概率論的內(nèi)容。而在這個(gè)過程中,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的具體模型發(fā)揮著不可替代的作用。

而數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本研究過程是:收集數(shù)據(jù),處理數(shù)據(jù),提取信息,作出決策。這些數(shù)據(jù)都是來自同一總體,而我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的目的,并不在于這些數(shù)據(jù)本身,而是把它作為一個(gè)樣本,通過它來推測(cè)總體的分布規(guī)律。這就必須運(yùn)用概率論的理論。而在概率論產(chǎn)生之前,要作出數(shù)據(jù)以外的推斷是不可能的,要從抽樣調(diào)查去了解總體分布也是不可能的。從這個(gè)角度講,概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

二、概率統(tǒng)計(jì)中文化元素的梳理

概率統(tǒng)計(jì)從其誕生發(fā)展至今都蘊(yùn)涵著濃厚的數(shù)學(xué)文化色彩,數(shù)學(xué)文化是激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)興趣、養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和提高核心素養(yǎng)的有效途徑。下面我們將對(duì)概率統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)文化價(jià)值進(jìn)行簡(jiǎn)單的梳理。

1.概率統(tǒng)計(jì)具有很強(qiáng)的實(shí)踐性和應(yīng)用性

概率論源自“賭博游戲”,數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本研究過程是數(shù)據(jù)的收集、處理、理解和分析,這就使得概率統(tǒng)計(jì)從誕生的時(shí)刻起,就具有明顯的實(shí)踐性和應(yīng)用性。比如數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)的是隨機(jī)變量的平均水平,數(shù)學(xué)期望可以解決許多實(shí)際生活和應(yīng)用現(xiàn)象中的問題,各種媒體中也經(jīng)常用數(shù)學(xué)期望來表達(dá)某些社會(huì)現(xiàn)象的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。再比如方差是在概率論和統(tǒng)計(jì)中衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)的離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望(即均值)之間的偏離程度。統(tǒng)計(jì)中的方差(樣本方差)是每個(gè)樣本值與全體樣本值的平均數(shù)之差的平方值的平均數(shù)。在許多實(shí)際問題中,研究方差即偏離程度有著重要意義。

例1某中學(xué)為了解高二年級(jí)中華傳統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的整體情況,從高二年級(jí)隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行了兩輪測(cè)試,并把兩輪測(cè)試成績(jī)的平均分作為該名學(xué)生的考核成績(jī)。記錄的數(shù)據(jù)如表1。

表1

分析:本題答案很簡(jiǎn)單,顯然但怎么就顯然了呢?其實(shí),如果同學(xué)們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一下處理,先計(jì)算出來考核成績(jī),如表2,再將所有成績(jī)按從小到大順序排列一下(不關(guān)注具體的學(xué)號(hào)),如表3,此時(shí)自然能得結(jié)論原因是第一輪測(cè)試成績(jī)與第二輪測(cè)試成績(jī)完全相同,平均數(shù)自然相同。,則是因?yàn)槊黠@第一輪測(cè)試成績(jī)波動(dòng)程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于考核成績(jī)波動(dòng)程度。本題非常完美地體現(xiàn)了數(shù)據(jù)處理的過程,需要同學(xué)們對(duì)平均數(shù)和方差概念有深入的理解,計(jì)算反而退居末位了。

表2

表3

2.概率統(tǒng)計(jì)思維特點(diǎn)——隨機(jī)性、偶然性、似然性

隨機(jī)性、偶然性、似然性的思維方式是概率統(tǒng)計(jì)的主要思維特點(diǎn),但這些特點(diǎn)又具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,這使得對(duì)于習(xí)慣了確定性、必然性、唯一性的思維方式的同學(xué)而言是極具挑戰(zhàn)的。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾云:“生活中最重要的問題,絕大部分其實(shí)只是概率問題。”我們看個(gè)糅合著必然與偶然、確定與隨機(jī)的具體例子:給定一根木棒,誰都不會(huì)懷疑它有自身的“客觀”的長(zhǎng)度,長(zhǎng)度是多少?我們可以用各種儀器去測(cè)量,但是不管我們的儀器多么精確,你得到的數(shù)據(jù)也總是穩(wěn)定在木棒真實(shí)長(zhǎng)度的附近。

例2預(yù)計(jì)某地區(qū)明天“降水概率為0%”,你是怎么理解的?

分析:比如說沒有學(xué)過概率論的人,可能會(huì)認(rèn)為“該地區(qū)有70%的地方會(huì)下雨,或是降水概率越大雨就下得越大”。但是即使學(xué)過概率論系統(tǒng)知識(shí)的數(shù)學(xué)老師,也經(jīng)常會(huì)發(fā)出這樣的感慨:“天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)……”其實(shí),降水概率一詞有兩種理解方式:一是指某地的歷史氣候降水概率,完全是依據(jù)歷史氣候資料統(tǒng)計(jì)計(jì)算分析得出的結(jié)果;二是在天氣預(yù)報(bào)中應(yīng)用科學(xué)技術(shù)依靠各種知識(shí)、信息和技能建立數(shù)學(xué)模型對(duì)未來天氣進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。但是受到技術(shù)手段的限制,后一種建立模型的方法往往更不精確,所以現(xiàn)在我們都是采取第一種方法來預(yù)測(cè)。那么從統(tǒng)計(jì)的角度而言,“降水概率為70%”的含義可以近似理解為與明天天氣情況類似的某些日子里,有70%的日子有降水,而明天是否降水,則需要你自己去判斷。所以有人說“天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)……”這句話本身就是有問題的。

3.概率統(tǒng)計(jì)中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法

概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的核心可以簡(jiǎn)單地概括為:處理數(shù)據(jù)而不是研究數(shù)字;關(guān)注活動(dòng)而不只是死記概念;強(qiáng)調(diào)過程而不是只看結(jié)果。概率論屬于不確定性的數(shù)學(xué),是為了尋找隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性,這與我們平時(shí)強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)、幾何、向量從思維到學(xué)習(xí)方法上都是不一樣的。

如同其他數(shù)學(xué)學(xué)科一樣,概率統(tǒng)計(jì)也具有豐富的數(shù)學(xué)思想方法,如隨機(jī)思想、公理化思想、化歸思想、模型化思想、推斷思想等。概率統(tǒng)計(jì)的思想方法往往蘊(yùn)含在日常生活和概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容中,可以幫助同學(xué)們提高分析和解決實(shí)際問題的能力。我們不妨來看下面這個(gè)例子。

例3如圖1,面積為S的正方形A BD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M,可按下面方法估計(jì)M的面積:在正方形A B C D中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn),若n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中,則M的面積的估計(jì)值為,假設(shè)正方形A B C D的邊長(zhǎng)為2,M的面積為1,并向正方形A B C D中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),以X表示落入M中的點(diǎn)的數(shù)目。

(Ⅰ)求X的均值E X;

(Ⅱ)求用以上方法估計(jì)M的面積時(shí),M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間(-0.03,0.03)內(nèi)的概率。

圖1

表4

分析:每個(gè)點(diǎn)落入M中的概率均為p=依題意知

本題是標(biāo)準(zhǔn)的二項(xiàng)分布模型,熟練掌握二項(xiàng)分布的相關(guān)知識(shí)是解決本題的必要條件。本題能很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)中的模型化思想。

在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)時(shí),引入數(shù)學(xué)文化的相關(guān)知識(shí),

不僅能使我們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的發(fā)展過程,

同時(shí)還會(huì)使我們感受到數(shù)學(xué)的進(jìn)展是腳踏實(shí)地的,

是一步一個(gè)腳印的。