供應鏈備件庫存模型的研究*

□ 李群霞，馬風才,張 群

(北京科技大學 東凌經濟管理學院，北京 100083)

1 引言

在設備維修中，同類型的備件安裝在不同的設備上，所起到的作用大不相同。因此在研究備件庫存管理模型和設備維修過程中，需要分析這種備件的應用場景。當剩下少量備件時，這些備件一般將被特殊對待，即作為重要備件，只用于重要需求，即只對重要設備進行安裝和維修，暫停對次要設備的維修，從而保證整體利益的最大化。Veinott[1]最早在庫存管理中引入了多種需求類別和重要水平的定義。重要水平定義為：當庫存水平下降到一定水平，所有剩下備件被認為重要備件的時候，該庫存水平為重要水平。Ha[2]假設各種不同需求都服從泊松分布過程，并且假設訂貨量和重要水平與時間無關，在此基礎上，推導出了最優重要水平策略。Vericourt[3]研究了相似的模型，假設了出現的缺貨可以補貨。Melchiors[4]將需求分為兩類，在訂貨成本、庫存持有成本和銷售損失成本之和最小化條件下，估計了最優的訂貨量，基本的庫存水平和重要水平。同樣，Deshpande[5]分析了相似模型，假設缺貨可以補貨。Chang[6]對模型做了簡化，假設重訂貨點水平即為重要水平，在此基礎上，分析了備件訂貨庫存模型。

本文采用Chang[6]的假設，重要水平設置在訂貨點水平。在每個訂貨周期開始的一段時間內，由于備件數量充足，備件不分重要備件和次要備件，所有備件都用于對重要設備和次要設備進行維修，不分優先級。當備件庫存水平降到重訂貨點水平時，將剩下的所有備件視為重要備件，只用于重要設備的維修，次要設備維修被暫停。另外假設允許缺貨現象的發生。從上述假設可知，當備件庫存水平到達重訂貨點水平時，次要備件先于重要備件開始缺貨。當所有剩下的重要備件被重要需求消耗完，重要備件也開始缺貨。由于客戶在提前期開始，即在重訂貨點開始訂貨，因此，備件將在提前期末瞬時補貨，該時刻客戶才結束重要備件和次要備件的缺貨。一般情況下，在每個生產時間間隔，生產商會在客戶下達訂貨需求的時候，啟動機器開始生產備件，在提前期末必須生產夠多的備件供給客戶。因此，提前期信息已經在客戶和生產商之間得到了共享。Sajadieh在文獻[7]中假設提前期訂貨只影響客戶的庫存變化水平和訂貨行為，來研究聯合庫存模型，在最小的聯合庫存成本下，并尋求最優的訂貨量和訂貨次數。該研究存在一定的局限性。主要原因是在研究生產商的生產庫存模型中未考慮提前期信息的共享，因而未考慮提前期信息對生產商的生產庫存模型的影響。本文相比Sajadieh文獻[7]在提前期信息上做了進一步的深化，另外，將備件分成了重要備件和次要備件，這些假設更符合實際環境。

本文將建立客戶的備件庫存模型和生產商的生產庫存模型，結合構成聯合備件庫存模型，在此基礎上尋求聯合優化方法，保證在最小聯合成本條件下，獲取最優參數，即最優訂貨量、最優訂貨次數和最優重要水平。相比Chang文獻[6]，本文的研究是在供應鏈環境下對此研究，因此更復雜。

2 供應鏈庫存水平描述

圖1(a)：客戶重要備件的庫存變化水平圖1(b)：客戶次要備件的庫存變化水平圖1(c)：生產商的庫存變化水平

本文假設當客戶的備件庫存水平降為重訂貨點水平時，將剩下的備件都被認為重要備件，只用于重要需求，而次要備件開始缺貨。因此，重訂貨點水平為重要水平。為了更直觀的表達，可以將客戶的備件庫存變化水平分成兩部分：重要備件的庫存變化水平和次要備件的庫存變化水平，如圖1(a)和圖1(b)所示。另外，圖1(c)反映生產商的庫存水平的變化情況。客戶在重訂貨點，即在t1時刻末或者提前期開始向生產商訂購Q件產品。生產商立即響應訂貨需求，開始生產備件產品。假設不允許生產商存在缺貨現象，則生產商必須在提前期末，即在L時刻末，必須至少生產相同數量的備件，以滿足客戶的需求。由于Q件備件會瞬時到達，因此，客戶的庫存會及時補貨，而生產商的庫存及時地得到削減。生產商一旦啟動生產機器就會一直生產備件，直到生產nQ件備件來滿足客戶的n次訂貨，才結束生產。具體涉及的參數定義如表1所示。

表1 變量及其含義

3 供應鏈備件庫存模型

3.1 客戶平均庫存成本

(1)

其中：

(2)

假設重要備件和次要備件分別服從(μc,σc)和(μn,σn)的正態分布，上式展開后，則:

(3)

3.2 生產商平均庫存成本

如圖1(c)所示，為了滿足客戶的n次需求，生產商只在0≤t≤Tm內生產了nQ件產品，在Tm

(4)

另外,生產商的生產準備成本=Am，則生產商平均生產庫存成本Cm為平均庫存持有成本和平均生產準備成本之和，即:

(5)

3.3 聯合平均庫存成本

結合式(1)的客戶平均成本和式(5)的生產商平均成本，可得聯合平均庫存成本：

(6)

(7)

將上式代入式(6)，可得：

(8)

(9)

將上式代入式(8)，可得:

(10)

(11)

將上式分別代入式(8)和(9)，可得:

(12)

則最終最小聯合備件庫存成本為:

(13)

4 算例分析

假設客戶和生產商的庫存參數如下：

①一次訂貨(客戶)：Ab=100元/次，D=2000件/年，hb=20件/年，Sbc=50件/年，Sbn=40件/年，μc=2件/提前期，σc=4，μn=10件/提前期，σn=20。

②一次生產(生產商)：Am=10000元/次，P=40000件/年，hm=10元/件/年。

5 敏感性分析

5.1 α=Am/Ab對r*，n*,Q*,C*的影響

圖2 α=Am/Ab對r*,n*,Q*,C*的影響

設Am在區間[2000,4000]變化，Ab值和其它庫存參數值不變，則α=Am/Ab在區間[20,40]變化，r*,n*,Q*,C*隨α=A/Ab變化趨勢如圖2所示。n*和C*值隨α值的增大而增大，幾乎是線性增大的，而r*和Q*值不受α值變化的影響。

5.2 β=hb/hm對r*,n*,Q*,C*的影響

設hb在區間[15,30]變化，hm值和其它庫存參數值不變，則β=hb/hm在區間[1.5,3.0]變化，n*,Q*,C*隨β=hb/hm變化趨勢如圖3所示。r*值和Q*值隨β值的增大而減少，相比r*曲線，Q*曲線非線性特性更加明顯，而n*值和C*值隨β值的增大而非線性增大。

圖3 β=hb/hm對r*,n*,Q*,C*的影響

5.3 ρ=D/P對r*,n*,Q*,C*的影響

圖4 ρ=D/P對r*,n*,Q*,C*的影響

設P在區間[4000,8000]變化，D值和其它庫存參數值不變，則ρ=D/P在區間[0.25,0.50]變化。r*,n*,Q*,C*隨ρ=D/P變化趨勢如圖4所示。r*值和Q*值不隨ρ值的變化而變化，n*值隨ρ值的增大而增大，而C*值隨ρ值的增大而減少。

6 結論

本文對聯合備件庫存模型進行深入的研究，獲得以下結論：

①針對備件使用情況，將備件分為重要備件和次要備件，將重訂貨點水平設置為重要水平。當庫存水平降為重訂貨點水平時，將剩下備件作為重要備件，只供應給重要需求。

②提前期信息在生產商和客戶之間得到共享，因此,無論生產商的生產庫存模型，還是客戶的備件訂貨庫存模型，都受到了提前期參數的約束。

③聯合客戶的備件庫存模型和生產商的生產庫存模型，最終確立了聯合備件庫存模型，優化方法證明模型存在最優重要水平，最優訂貨量和最優訂貨次數，并且保證在這些最優處存在最小的聯合平均備件庫存成本。

④敏感性分析方法分析了客戶的與生產商的準備成本之比、客戶的與生產商的單位持有成本之比、客戶需求率與生產商生產率之比對最優參數和聯合成本的影響。從圖可知，最優參數和聯合成本更易受客戶的與生產商的單位持有成本之比的影響。