淺談如何講好線性代數的第一節課

杜新偉

（吉林大學，吉林 長春 130012）

眾所周知,高等學校中的大學生對其所要學習的專業課程,不管其對這門課程了解多少,他們都會主動地好好學習這門課程,因為他們知道將來從事他們本專業領域的工作時,會用到這門課程中的理論。但對于非數學專業的學生來說,絕大多數高校的理工科專業,學校都會開設線性代數這門課程,多數同學往往都是被動地學習,不知學習這門課程有什么用,尤其是對他自身專業來說有什么用。以至于對非數學專業的學生來說,學習數學課程都是一件苦惱的事情。

俗話說,萬事開頭難,如何上好第一節課尤為重要。結合本人的多年教學經驗,本文主要討論教師應如何講解好第一節課。多年來，筆者在正式講授線性代數這門課程的書本內容之前,往往用近一個學時的時間向同學們介紹，我們為什么學習線性代數這門課程,如何才能學好這們課程,多年的教學效果表明,這是有必要的。

如何培養學生們學習線性代數這門課程的興趣，使學生們以飽滿的熱情投入到這門課程的學習中呢？我們從以下幾個方面來討論教師應如何講好第一節課。

一、簡單介紹線性代數這門課程的發展史

大量的科學技術問題，最終往往歸結為解線性方程組。歷史上線性代數的第一個問題就是關于解線性方程組的問題。線性代數有三個基本計算單元：向量、矩陣和行列式。我們可以簡單地介紹一下線性代數的發展史，行列式這個概念出現于線性方程組的求解中，它是一種速記的表達式，行列式是由萊布尼茲和日本數學家關孝和發明的。1750 年，瑞士數學家克萊姆在其著作《線性代數分析導論》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了我們后面會學到的解線性方程組的克萊姆法則。在行列式的發展史中，第一個對行列式理論做出連貫的、邏輯的、闡述的是法國數學家范德蒙。

矩陣是數學中一個重要的基本概念，是代數學的一個主要研究對象。矩陣這個詞是由希爾維斯特首先使用的，它是為了將數字的矩形陣列區別與行列式而發明了這個術語。一般公認矩陣論的創立者是英國數學家凱萊。

更多的關于線性代數的發展史，同學們可以上百度上搜索。通過簡單介紹線性代數這門課程的發展史，可以使學生們對這門學科的產生和發展有初步的了解。此外，我還會附加一些這些科學家的奇聞異事，也可以舒緩緊張的課堂氣氛，使我們以更輕松的心情來學習這門課程。

二、激發學生學習線性代數這門課程的興趣

著名教育學家郭沫若曾說過：“教學的目的是培養學生自己學習、自己研究、用自己的頭腦來想、用自己的眼睛看、用自己的手來做這種精神”。我認為要想達到這個目地,對于線性代數這門課程的教學來說,首先要培養學生學習這門課程的興趣。人們如果對某件事物或某項活動感到需要,他就會熱心于接觸,觀察這件事物,積極從事這項活動,并注意探索其奧妙。每個人都會對他感興趣的事物給予優先注意和積極地探索,并表現出心馳神往。

線性代數在數學、力學、物理學和技術學科中有各種重要應用，在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論和算法基礎的一部分。線性代數中所體現的幾何觀念和代數方法之間的聯系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證，巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數學訓練，增益科學只能是非常有用的。

我們可以舉個兩個方程兩個未知量的線性方程組，讓同學們考慮如何求解，由于在高中階段已經學過求解二元一次方程組，學生們很容易解出方程組的解。然后我們在寫出一個六個方程六個未知量的線性方程組，讓學生們求解，學生們自然感嘆，很難求解。我們可以在出一個m 個方程n 個未知量的方程組讓學生們求解。通過這樣一個例子，可以激發學生們的興趣,由于同學們非常關心這個問題,但不知如何求解,所以好奇心會驅使學生們想要解決這個問題。最后告訴學生們，如果我們學習了線性代數課程中的一些知識，我們就可以解決這個問題，從而調動起學生們主觀想學習的熱情。

三、為什么要開設線性代數這門課程

在第一節課中，筆者會介紹為什么要開設和學好這門課程。首先它是我們理工科學生大學階段的三門必修的數學課程之一,所以我們要好好學,修過這門課,你修不過，就得不到畢業證，這是重要性之一。

然后,介紹線性代數的應用范圍非常廣泛,在我們后續課程的學習中,可能會用到線性代數這門課程中介紹的一些方法,結合我們所面對的不同專業的學生,我會舉出一些在他們專業中常常遇見的且比較簡單的例子。使學生認識到學習線性代數這門課程的另一個重要性。

比如，當筆者給電子、計算機等相關專業的學生上課時,我會和他們談談他們專業所涉及到的一些問題。同學們你們將來如果想從事電路分析、線性信號系統分析、數字濾波器分析設計等工作，你就需要學好線性代數這門課，因為線性代數就是研究線性網絡的主要工具。如果你想搞IC 集成電路設計，對付數百萬個集體管的仿真軟件就需要依賴線性方程組的方法。當然，如果你想從事光電及射頻工程，比如光調制器分析研制需要張量矩陣，手機信號處理等等也離不開矩陣運算。如果你想搞軟件工程，3D 游戲的數學基礎就是以圖形的矩陣運算為基礎。如果你想搞圖像處理，大量的圖像數據處理更離不開矩陣這個強大的工具，你們知道么，電影《阿凡達》中大量的后期電腦制作沒有線性代數的數學工具簡直難以想象。

當我給商學、經濟等相關專業的學生上課時,筆者會向他們介紹這樣一些問題。同學們你們知道列昂惕夫（Wassily Leontief）嗎？哈佛大學教授，1949 年用計算機計算出了由美國統計局的25 萬條經濟數據所組成的42 個未知數的42 個方程的方程組，他打開了研究經濟數學模型的新時代的大門。這些模型通常都是線性的，也就是說，它們是用線性方程組來描述的，被稱為列昂惕夫“投入-產出”模型。列昂惕夫因此獲得了1973 年的諾貝爾經濟學獎。因此，我們也需要學好線性代數這門課。

對于其他工程領域，基本沒有用不上線性代數理論的地方，在搞建筑工程上，例如奧運場館鳥巢的受力分析需要線性代數的工具；在石油勘探方面，勘探設備獲得的大量數據所滿足的幾千個方程組也需要我們用線性代數的知識來解決；在飛行器設計上，需要研究飛機表面的氣流的過程包含反復求解大型的線性方程組；同學們知道馬爾科夫鏈嗎？這個“鏈子”神通廣大，在許多學科如生物學、商業、化學、工程學及物理學等領域中被用來做數學模型，實際上馬爾科夫鏈是由一個隨機變量矩陣所決定的一個概率向量序列，大家看看，矩陣、向量又出現了。

此外，我們陸續會介紹到矩陣的特征值和特征向量，特征值和特征向量理論可以用在研究物理、化學領域的微分方程、連續的或離散的動力系統中；我們還會講二次型，二次型常常出現在工程和信號處理的應用中，他們也常常出現在物理學（例如勢能和動能）、微分幾何（例如曲面的法曲率）、經濟學（例如效用函數）和統計學（例如置信橢圓體）中，某些這類應用實例的數學背景很容易轉化為對對稱矩陣的研究。

我們通過舉出一些不同專業學生所關心的問題，這可以使得學生初步了解線性代數這門課程在他們自己專業領域中的具體應用，出幾個同學非常關心的問題,激發學生的好奇心,然后我們帶著這些問題進入我們教學中,告訴同學我們將來會一一解答這些問題。從而使得學生不會被動，盲目地學習這門課程。

最后,同學們如果想繼續深造,比如考研究生,對于理工科學生來說線性代數這門課程也是一門必考課程。近十年來，每年考研的報名人數均在120 萬以上，中國教育在線統計顯示，多數本科生感覺就業壓力大，需提升就業競爭力，因而他們選擇繼續深造，提高學術研究能力。即使是將來參加工作,我們也會用到線性代數這么課程的理論。

四、結束語

本文主要討論了教師應該如何講好第一節線性代數課程。教師通過介紹線性代數這門課程的發展史，使學生們初步了解這門學科的歷史，同時激發學生們的學習興趣，以及說明學習這門課程的重要性。通過以上幾個方面的介紹，會使學生們清醒地認識到我們為什么要學好這門課程，而不是被動地開什么課，我就學什么，以至于沒有興趣和方向。多年的教學效果表明，講好第一節課尤為重要。