小學數學深度學習的認識與落實

課堂教學方法的深度研究

策劃人語 教學改革，首先應是課堂的改革;課堂改革，首先應是教學方法的改革，課程教學方法是教育教學研究亙古不變的主題。

課堂教學方法有很多，先學后教、翻轉課堂、以學定教……無論是哪種課堂教學方法，它的目的都是促進學生的學，讓學生站在課堂正中央，讓學科核心素養落地生根。

近年來，“深度學習”被越來越多的教師們所認識所理解所推崇，逐漸意識到只有深層次的學習才是有意義有價值的學習，才能真正培育學生的學科核心素養。本期，我們特別約請了人教版數學教材主編王永春、“全國小學數學深度學習研究聯盟”理事長趙國防、全國著名特級教師黃慧共同探究“深度學習”，他們就概念厘清、相關認識和實踐策略等進行了深入研究，相信能給廣大教師帶去一些思考和啟迪。

（本刊編輯部）

【摘要】本文從小學數學核心素養的認識和落實兩個維度進行討論。從小學數學核心素養目標達成的視角對深度學習進行了界定，小學數學核心素養體系具體包括：數學認知（包括概念、命題、結構）、數學基本思想和關鍵能力、獨立思考和自主學習、合作樂學。小學數學深度學習的落實重點包括：? 加強學生對數學概念和命題的理解、加強知識間的自主關聯和結構化，學習方式上強調以自主學習為主的多種教學方式的融合、非智力因素的協調發展。

【關鍵詞】深度學習 核心素養 關聯 結構化 學習方式

一、對深度學習的認識

關于深度學習，簡明扼要地說，就當前對小學數學學科而言，學生達成數學核心素養目標的學習就是深度學習。筆者對小學數學核心素養的基本觀點，已經發表文章進行了闡述，主要觀點是超越數學學科本身來構建小學數學核心素養體系，具體包括：小學數學核心素養體系是以數學認知（包括概念、命題、結構）為基礎，以數學基本思想和關鍵能力為核心，以學生的獨立思考、自主學習、合作樂學為關鍵。其中，數學認知是對數學基礎知識和基本技能的具體化，既是數學思想與能力的基礎和載體，又是一個形成和運用數學思想、實現個人發展的心理活動和數學認知結構形成的過程;獨立思考和自主學習是學生達成深度學習的核心途徑和方法。形成數學核心素養的終極目標是實現個人發展、會用數學思想面對現實世界。

深度學習是一個相對的概念，是針對淺層學習而言的，從對數學本質的認識、學習方式、教學過程、課時知識容量、學習興趣習慣等維度考慮，深度學習與淺層學習的比較如下表。

二、深度學習的落實

深度學習是從學生的角度論述的，體現了以學生為主體的教學理念。我們要實現深度學習，一方面需要教師具備這樣的理念與專業素養;另一方面，在明確努力方向和目標的前提下，還要確定實現深度學習的方法和途徑、評價標準等問題。獨立思考、自主學習、合作交流等，這些既是個人發展的具體外在表現，又是實現個人發展的方法途徑，綜合來說是實現深度教學和深度學習的重要策略。關于自主學習，本來是各種學習方式（聽講、獨立思考、自主學習、合作交流、動手實踐等）其中的一種，那為什么強調自主學習呢？筆者認為，基于自主學習的學習，才是可持續發展的深度學習，所以應成為核心的學習方式。一方面，對學生而言，自我認識的覺醒與自主行為習慣的形成是學生發展的內因，比什么都重要，這樣才能夠學會學習、學會思考，形成可持續發展的態度和能力。另一方面，對教師而言，要認識到這樣一個高度：學生核心素養的形成、自我成長能力的形成，僅僅依賴教師的講授是不行的，更重要的是依賴學生自主學習、獨立思考、合作交流，這是一種過程性的教育。實事求是地說，我們要構建實現深度教學和深度學習的教學范式，是以自主學習為核心、多種學習方式融合的基本教學方式，而不是只有自主學習這個唯一的方式。

1.強調對概念和命題的理解，沒有理解就沒有深度學習

學生對知識的理解水平決定對知識本質的接近程度，是進一步掌握和應用知識的基礎，也是對知識進行分析與綜合、評價與創造的基礎。雖然深度學習不僅僅是反對死記硬背和機械模仿、強調理解基礎上的記憶這么簡單，但是理解是基礎，沒有理解這個根基其他免談。概念既是基本思維，又是形成命題和推理的基礎，沒有正確的概念，就沒有思維的材料，也就沒有正確的判斷，繼而就沒有正確的推理，也就沒有進一步的思維。筆者把這個關系概括為：概念不清、判斷不明、推理不靈。例如，長方形和正方形的認識，教科書并沒有給出定義，只是讓學生在一些多邊形中，先辨認出長方形和正方形，學生通過上述一系列活動，初步抽象概括長方形和正方形的各自特征。考慮到部分學生的認知困難，回避了正方形是特殊的長方形，但是這種回避，喪失了一次認識概念的本質特征的機會，因為正方形滿足長方形概念的本質特征，所以正方形也是長方形，只不過它比較特殊的是：四條邊都相等。當學生真正建立了長方形與正方形的概念及關系后，才有利于后續知識的學習，才能夠根據長方形的面積公式、正方形是特殊的長方形進行推理，推出正方形的面積計算公式。

2.用聯系的、而不是孤立的觀點處理知識，強調關聯與結構化

深度學習不僅僅是一個知識點縱向深度，還有知識的寬度，各個知識點間的關聯和結構化。淺表的碎片化知識不如深度的碎片化知識有價值，但是深度的碎片化知識不如深度的結構化知識有價值。比如，我們非常注重讓學生記憶一些概念、公式、性質、運算律等，這固然重要，但是理解記憶比關聯結構化更重要。在看到知識點間區別的同時，多看聯系，這樣有利于知識結構化，把概念結構化有利于保持長久記憶，減少記憶量。

以自然數的認識為例，學生從一年級到五年級（因數與倍數）一直在學習自然數。小學數學中自然數的本質是十進位值制，主要有兩點：10個數字符號與數位。自然數中最重要的數是10，10是第一個發生質變的數，1到2，2到3，…，8到9，都是量變;而9到10是質變，10沒有用新的符號表達，而是用了前面的兩個數字符號1和0占用不同的位置（數位）表達，這個歷史進程非常漫長。10的教學，可以啟發學生進行時光穿越，回想我們的祖先（2600年前的春秋戰國時期）如何數數計數：1個物體用“|”表示，2個物體用“‖”表示，3個物體用“|||”，…，9個物體用“”表示（阿拉伯數字在我國推廣正式使用才100多年），那么比9個多一個，用什么表示呢？學生也可能想象：可以繼續用不同的符號表示，但是這樣下去，有很多物體時，就得使用更多的符號，很麻煩，也不容易記憶。那么，怎么辦才能解決用比較少的符號表示很多數呢？請同學們開動腦筋，想出好辦法來。勤勞智慧的中國人受個、十、百、千、萬等這些計數單位的啟發，創造了數位（位值制），只用10個符號就能夠表示所有的數，把數字放在不同的位置上，可以表示不同的數。例如數字1，把1放在個位上表示1，放在十位上就表示10……可別小瞧這個發明，我們的祖先在商朝時期（大約公元前1600年）的甲骨文中開始用十進制計數，到春秋戰國（大約公元前600年）發明十進位值制，這個過程用了近1000年。

學生理解了兩位數10，其他兩位數就水到渠成了。進一步，學生知道了9到10是怎么增加變化的，99到100也自然呼之欲出了，以此類推，999到1000，9999到10000，…，數位不斷增加，只用10個數字符號和數位就能表達我們需要的數。十進位值制是讀數、寫數、比較大小、計算等的原理和依據。比如，兩個數怎么比較大小？為什么數位多的數就大？兩位數最大是99，三位數最小是100。數是一個一個大起來的，每當一個數位上是9時，再加1就進入下一個高位。以此類推，最大的n位數比最小的n+1位數小1。所以，兩個數比較大小，數位多的數大。同理，如果兩個數的數位相同，就先比較最高位。

現行教材單元后的整理與復習，強調了知識的關聯與結構化。例如，《多邊形的面積》單元后的整理與復習第1題（如下圖），體現了知識之間的關聯與轉化、結構化。

但是這樣還不夠，這種關聯與轉化、結構化不能僅僅是事后諸葛亮，而更應該體現在知識的學習過程中，在每個知識點的學習中都應該不斷地關聯與轉化、結構化。

3.強調獨立思考、自主學習

我們的數學課堂教學和學習，要解決一個普遍性難題：為什么很多學生課堂上聽懂了，但是不會做題？為什么作業會做了，考試題不會做？從理解到運用、應用的鴻溝是什么？如果教師講、學生記，然后刷題，這樣的教學沒有真正體現學生的主體性，學生缺少獨立思考和自主學習，無法達成深度學習。應培養學生獨立思考、主動關聯建構、自主變式探究、運用數學思想方法的能力和習慣。

比如，學生學習了除法、分數、比這三個概念，知道了它們的區別。但是另外一方面，更為重要的是，我們要看到這三個概念之間的密切聯系和相同點，即這三個概念的符號表達形式可以用等號連接起來，建立等式，這樣便于我們運算和推理，包括推導它們的性質。商不變的性質、分數的性質、比的性質、分式的性質，這四個知識點類似，具有可類比性。學生在四年級學習商不變的性質，通過計算幾個具體的除法算式，運用不完全歸納法發現這幾個除法算式有一個共同點：被除數和除數同時乘上或除以一個非零的數，商不變。等學習了分數的基本性質以后，可以用分數的性質推導商不變的性質、比的基本性質、分式的性質，而不必再用不完全歸納法探索規律，而是與分數的性質進行類比，直接把新知識轉化成舊知識，完成認知結構的更新。這個轉換過程蘊含了變中有不變的思想、恒等變形方法、數形結合思想（幾何直觀）、關聯思想（普遍聯系）、類比推理方法、轉化思想等。

再如，學生學習了相遇問題后，應理解路程除以時間，得到的是兩個速度的和。舉例來說，一段1000米的直線路程，兩個人從兩端同時出發相向而行，如果兩個人的速度相等，那么相遇時每個人只行了這段路程的[1] [2]，每個人用的時間是自己獨立走完這段路程所用時間的[1] [2]。生活中還有類似的例子：在一條雙向兩車道的公路上，相距1千米的兩輛汽車都以60千米/小時的速度相向行駛，兩車多長時間會車？1÷（60+60）×3600=30（秒）。從答案中可以看出，兩車會車的時間很短，如果兩車相距500米，那么會車的時間只有15秒。這道題的現實意義在于：在雙向兩車道的公路上，超車一定要謹慎，要留出會車的安全距離;兩輛汽車都以60千米/小時的速度相向行駛，相當于對方汽車不動，而自己以120千米/小時的速度沖向對方。

4.興趣、態度、習慣、自信心、價值觀等方面應協調發展

學生個體的數學認知結構主要包括：個體的數學知識結構、數學思想方法、元認知、非智力因素等。非智力因素雖然不直接參與智力活動，但是對智力或者思維的影響不可小覷，比如說有的學生平時數學考試成績非常好，但是一到期末考試或者中考、高考就發揮失常。這是非智力因素的影響，影響學生對認知結構中數學知識的提取（本來是儲存在頭腦中的，狀態不好時提取不出來，等到狀態正常時又恢復了），以及智力活動和思想方法的運用。因此，培養學生對數學學習的興趣、態度、習慣、自信心、價值觀等就顯得尤為重要，而且各方面應協調發展。

這里我們要特別強調的是，從一年級開始就培養學生自主學習的能力，加強對數學本質的理解，如前文所述，加強學生對自然數，尤其是10的本質的認識，這是學生能夠長期建立對數學的興趣、好感、自信心的根本保障。當然，并不是說情境、活動、游戲不重要，而是要通過這些情境、活動、游戲讓學生感悟數學的本質，否則部分學生早晚對數學失去興趣與信心，三年級的兩極分化就是一個殘酷的現實。