斜坡型需求率且短缺量部分拖后的改良品庫存模型

張云豐，王 勇，龔本剛

（1.安徽工程大學 管理工程學院，安徽 蕪湖 241000；2.重慶大學 經濟與工商管理學院，重慶 400030）

0 引言

改良品（Ameliorating Items）在庫存持有期間會隨著時間的推移而發生重量增加、數量增長或質量改善的現象，從而使物品的經濟價值或效用得到提升。改良品廣泛存在于農業、漁業、家禽養殖業等行業，如養殖場中處于生長期的肉雞、豬欄中的育肥豬及種豬、果園中尚未采摘的水果，魚塘中具有高度繁殖率的魚類、酒莊中的高檔酒類等。Wee等（2008）指出少量的改良品訂貨可憑直覺或經驗完成而影響不大，對大規模的改良品訂貨問題，按照科學合理的方法進行是非常必要的。Chou等（2008）指出改良品在存儲期的特點與易變質品正好相反，其訂貨問題值得開展深入研究。

一些產品在剛進入市場時，消費者對其需求率往往隨時間呈增長趨勢，待達到穩定階段后，需求率才保持恒定。“斜坡型”需求則較形象地描述了需求率的這種特征，并引起學者們廣泛的關注，相關的研究成果也甚為豐富。本文在前人研究的基礎上，結合改良品的庫存特點，考慮允許缺貨且短缺量部分拖后供應，建立改良品庫存模型，并尋求改良品最優庫存補充策略。需要說明的是，在改良品與易變質品庫存持有期間，雖然兩者物理特性上的變化可視為互逆過程，但由于產品的改良需要承擔相應的改良成本，因此，改良品比易變質品的總成本函數也更為復雜。

1 基本假設與符號說明

本文在建立改良品庫存模型過程中使用的基本假設和符號說明如下：

（1）每次補充的數量恒定且補充速率無窮大；

（2）零售商訂貨提前期為零；

（3）允許缺貨且短缺量部分拖后，拖后率為β；

（4）B為拖后補充的最大短缺量，B′為理論最大短缺量，滿足B=βB′；

（5）T為固定的訂貨周期長度；

（6）Co為每次訂貨的訂購成本；

（7）Cr為每單位改良品的采購成本，記單位采購成本；

（8）Ch為每單位改良品單位時間的存儲成本，記單位存儲成本；

（9）Cs為每單位改良品單位時間的缺貨成本，記單位缺貨成本；

（10）Ca為庫存期間因改良而增加單位物品的改良成本，記單位改良成本；

（11）Cd為每單位改良品因失去銷售機會而引起的機會成本，記單位機會成本；

（12）θ為單位時間物品的改良率，庫存期間保持恒定且0＜θ＜＜1；

（13）S為每個訂貨周期[0，T]內的最大庫存水平，即S=I(0)；

（14）I(t)為每個訂貨周期[0，T]內任意時刻t的庫存水平；

（15）t1為每個訂貨周期[0，T]內庫存水平降為零的時刻；

（16）R(t)為斜坡型需求率，滿足R(t)=D[t-(t-μ)H(tμ)]，D＞0，H(t-μ)是Heaviside函數為需求拐點（線性需求部分與常數需求部分的交叉點）。

2 改良品庫存模型

每個訂貨周期[0，T]分為兩個階段：第一階段為[0，t1]，本階段在市場需求和自身改良的共同作用下，庫存水平從0時刻的最大值S下降到t1時刻的零庫存；第二階段為[t1，T]，本階段一直處于缺貨狀態，其中，β比例的顧客繼續等待，需求在下一次補充時得到滿足，而(1-β)比例的顧客不能容忍缺貨，放棄繼續等待。整個訂貨周期[0，T]內的需求變化用以下兩個微分方程刻畫為：

根據需求拐點μ與零庫存時刻t1的關系，需要分兩種情形來建立改良品庫存模型。

2.1 模型一 0≤μ≤t1(見圖1)

在該情形下，微分方程（1）和方程（2）轉化為：

圖1 0≤μ≤t1時的庫存模型

結合邊界條件，解微分方程（3）至方程（5），得到：

結合I(μ-)=I(μ+)，可知：

因此，在一個完整的訂貨周期[0，T]內，物品改良的總數量為：

考慮到0＜θ＜＜1，故在計算過程中略去θ的二次及以上項，下同。

最大短缺量和失去銷售機會的需求量分別為：

零售商在一個訂貨周期[0，T]內的總成本由訂貨成本OC1、采購成本PC1、庫存成本HC1、缺貨成本SC1、改良成本AC1及機會成本KC1六部分組成：

零售商的單位時間總成本為：

零售商單位時間總成本取得最小值的必要條件是：

經化簡后得到：

令L1=3θCh，M1=2(Ch+βCs+θCa-θCr)，N1=2[(1-β)(Cr-Cd)-βCsT]，則式（14）轉化為：

顯然，有L1＞0，M1＞0(0＜θ＜＜1)。因此，當且僅當N1-M12/4L1≤0時，存在唯一正根M1)/2L1滿足題意。若：

則零售商單位時間總成本取得最小值的充分條件成立。用替代式（9）中的t1，得到每個訂貨周期初最優庫存水平：

每個訂貨周期末最大短缺量：

零售商每次最優訂貨數量：

零售商最小單位時間總成本：

2.2 模型二t1≤μ≤T(見圖2)

在該情形下，微分方程（1）和方程（2）轉化為：

結合邊界條件，解微分方程（21）至方程（23），得到：

考慮到I(0)=S，可知：

圖2 t1≤μ≤T時庫存模型

因此，在一個完整的訂貨周期[0，T]內，物品改良的總數量為：

最大短缺量和失去銷售機會的需求量分別為：

零售商在一個訂貨周期[0，T]內的總成本由訂貨成本OC2、采購成本PC2、庫存成本HC2、缺貨成本SC2、改良成本AC2及機會成本KC2六部分組成：

零售商的單位時間總成本為：

零售商單位時間總成本取得最小值的必要條件是：

考慮到t1≠0，經化簡后得：

令L2=θCh，M2=-2(Ch+βCs+θCa-θCr)，N2=-2[(1-β)(Cr-Cd)-βCsT]，則式（32）轉化為：

顯然，有L2＞0，M2＜0(0＜θ＜＜1)。因此，當且僅當N2-/4L2≤0時，存在唯一正根t1==(-M2-滿足題意。若：

則零售商單位時間總成本取得最小值的充分條件成立。用替代式（27）中的t1，得到每個訂貨周期初最優庫存水平：

每個訂貨周期末最大短缺量：

零售商每次最優訂貨數量

零售商最小單位時間總成本：

3 數值算例及敏感性分析

3.1 數值算例

例1：對模型一中各參數賦值如下：Co=50元/次；Cr=10元/單位；Ch=5元/單位·年；Cs=6元/單位·年；Ca=4元/單位；Cd=16元/單位；D=100單位，μ=0.12年；θ=0.1；β=0.8；T=1年。將上述參數代入式（14），解得=0.621。經驗證，=0.621滿足式（16）取得最優值的充分條件。同時，解得每個訂貨周期初最優庫存水平S*=6.504，每個訂貨周期末最大短缺量B*=3.638，則零售商每次最優訂貨數量Q*=S*+B*=10.142；零售商的單位時間總成本=183.171。

例2：對模型二中各參數賦值如下：Co=50元/次；Cr=10元/單位；Ch=5元/單位·年；Cs=6元/單位·年；Ca=4元/單位；Cd=16元/單位；D=100單位，μ=0.90年；θ=0.1；β=0.8；T=1年。將上述參數代入式（31），解得=0.664。經驗證，=0.664滿足式（33）取得最優值的充分條件。同時，解得每個訂貨周期初最優庫存水平S**=21.069，每個訂貨周期末最大短缺量B**=21.964，則零售商每次最優訂貨數量Q**=S**+B**=43.033；零售商的單位時間總成本=640.614。

3.2 敏感性分析

下面將考察改良率θ、拖后率β、單位缺貨成本Cs、單位機會成本Cd及單位改良成本Ca變動+25%、+10%、-10%、-25%時，對上述模型一和模型二中主要決策變量值的影響情況，分別見表1和表2所示。為了便于對敏感程度做出說明，給出如下規定：若δ∈[0，10%)，則不敏感；若δ∈[10%，30%)，則稍敏感；若δ∈[30%，60%)，則較敏感；若δ∈[60%，100%)，則很敏感；若δ∈[100%，+∞)，則極敏感。其中，δ表示因變量變動比率與自變量變動比率的絕對值。

表1 0≤μ≤t1時的敏感性分析

從表1中的數據可以看出：（1）隨著改良率θ遞減，零庫存時刻逐漸減小，最大庫存水平S*、最大短缺量B*、最優訂貨數量Q*、最小單位時間總成本逐漸增大，且敏感程度表現為不敏感；（2）隨著拖后率β遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S*、最小單位時間總成本逐漸增大，最大短缺量B*、最優訂貨數量Q*逐漸較小，且敏感程度介于稍敏感與極敏感之間；（3）隨著單位缺貨成本Cs遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S*、最優訂貨數量Q*、最小單位時間總成本逐漸減小，最大短缺量B*逐漸增大，且敏感程度介于不敏感與較敏感之間；（4）隨著單位機會成本Cd遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S*、最優訂貨數量Q*、最小單位時間總成本逐漸減小，最大短缺量B*逐漸增大，且敏感程度介于不敏感與很敏感之間；（5）隨著單位改良成本Ca遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S*、最優訂貨數量Q*逐漸增大，最大短缺量B*、最小單位時間總成本逐漸減小，且敏感程度表現為不敏感。

表2 t1≤μ≤T時的敏感性分析

從表2中的數據可以看出：（1）隨著改良率θ遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**逐漸減小，最大短缺量B**、最優訂貨數量Q**、最小單位時間總成本逐漸增大，且敏感程度介于不敏感與稍敏感之間；（2）隨著拖后率β遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**、最小單位時間總成本逐漸增大，最大短缺量B**、最優訂貨數量Q**逐漸較小，且敏感程度介于稍敏感與極敏感之間；（3）隨著單位缺貨成本Cs遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**、最優訂貨數量Q**、最小單位時間總成本逐漸減小，最大短缺量B**逐漸增大，且敏感程度介于不敏感與較敏感之間；（4）隨著單位機會成本Cd遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**、最優訂貨數量Q**、最小單位時間總成本逐漸減小，最大短缺量B**逐漸增大，且敏感程度介于稍敏感與極敏感之間；（5）隨著單位改良成本Ca遞減，零庫存時刻、最大庫存水平S**、最優訂貨數量Q**逐漸增大，最大短缺量B**、最小單位時間總成本逐漸減小，且敏感程度表現為不敏感。

4 結論與展望

改良品是日常生活中常見的一類物品，但改良品的訂貨問題尚沒有引起學者們足夠的重視。本文在假設改良品的需求率服從斜坡型分布及改良率保持恒定的基礎上，考慮允許缺貨且短缺量部分拖后，根據需求拐點與零庫存時刻出現的先后關系，分別建立不同情形下的零售商訂貨決策模型，給出數值算例模擬訂貨決策過程，通過敏感性分析探討了模型部分參數變動對主要決策變量值的影響方式。

不同類型改良品在持有期間的改良率變化規律也會不同，現有文獻中已見的有常數分布、兩參數威布爾分布，及LOGISTIC分布。實際上，改良品在持有期間的改良狀況往往比較復雜，以某一種分布來精確刻畫是很困難的。本文的研究旨在討論斜坡型需求下允許缺貨的改良品庫存問題，因此對改良率做了簡單處理，僅以常數改良率為例。在后續的研究中，將進一步結合不同種類改良品的改良特征，搜集改良品持有期間的改良數據，擬合改良品的改良曲線，從而建立更具有實際可操作性的理論模型。