混合地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型的估計(jì)

劉 超，桂風(fēng)云

（1.北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.中央民族大學(xué) 理學(xué)院，北京100081）

0 引言

時(shí)空數(shù)據(jù)分析在統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注。時(shí)空數(shù)據(jù)不同于一般的截面數(shù)據(jù)和時(shí)間序列數(shù)據(jù)，同時(shí)具有空間和時(shí)間上的特性。社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域常用的時(shí)空數(shù)據(jù)模型為空間面板數(shù)據(jù)模型，有關(guān)時(shí)空數(shù)據(jù)模型的介紹可參考Anselin（1988）[1]和Elhors（t2014）[2]。

實(shí)際問題分析中，因變量和自變量之間的關(guān)系往往會(huì)隨著空間和時(shí)間的改變而發(fā)生變化，這就是時(shí)空異質(zhì)性。傳統(tǒng)的空間面板數(shù)據(jù)模型一般都是單獨(dú)考慮空間異質(zhì)性和時(shí)間異質(zhì)性，將二者同時(shí)考慮的模型還很少見，其中桂風(fēng)云和魏傳華（2016）[3]將地理加權(quán)回歸技術(shù)用于空間似乎不相關(guān)模型，提出了地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型，Wei等（2017）[4]進(jìn)一步研究了該模型的估計(jì)問題。這一新模型適合空間觀測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多，時(shí)間觀測(cè)點(diǎn)較少的傳統(tǒng)空間面板數(shù)據(jù)，利用地理加權(quán)回歸技術(shù)刻畫空間異質(zhì)性，利用似乎不相關(guān)結(jié)構(gòu)刻畫時(shí)間異質(zhì)性。該模型在結(jié)構(gòu)上是一類空間變系數(shù)似乎不相關(guān)模型，假設(shè)了不同時(shí)刻的回歸系數(shù)都是隨著空間位置變化而變化的。然而實(shí)際問題中，更為一般的情形是有一部分回歸系數(shù)會(huì)隨著地理位置的變化而變化，而另一部分系數(shù)不隨地理位置的改變而改變。基于這一考慮，本文提出一類混合地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型（簡(jiǎn)稱MGW-SUR模型），并研究該模型的估計(jì)問題。

1 混合地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型的設(shè)定

在桂風(fēng)云和魏傳華（2016）[3]的基礎(chǔ)上，考慮如下的混合地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型

其中Yti和Xti=(xti1，xti2，…，xtip)T，Zti=(zti1，zti2，…，分別為i觀測(cè)點(diǎn)t時(shí)刻的因變量與自變量觀測(cè)值，和分 別為未知的常值系數(shù)向量和系數(shù)函數(shù)向量。模型（1）可記為如下矩陣形式：

其中：

顯然，該模型是由m個(gè)混合地理加權(quán)回歸模型組成的，這m個(gè)模型通過如下模型誤差之間的相關(guān)性建立聯(lián)系：

其中Ω是模型誤差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣；Σ是同一觀測(cè)點(diǎn)上誤差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣。

MGW-SUR模型（2）和模型（3）將混合地理加權(quán)回歸模型和似乎不相關(guān)模型相結(jié)合，能夠同時(shí)刻畫時(shí)空數(shù)據(jù)的時(shí)間異質(zhì)性和空間異質(zhì)性,是普通的空間似乎不相關(guān)模型和地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型的推廣。

2 混合地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型的估計(jì)

混合地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型中既有隨著地理位置變化而變化的非參數(shù)系數(shù)函數(shù)，也有常值系數(shù)。同其他類型的半?yún)?shù)模型一樣，重點(diǎn)關(guān)注常值系數(shù)的估計(jì)。對(duì)于普通的線性似乎不相關(guān)模型，眾所周知，如果不考慮模型之間的相關(guān)性，那么多個(gè)子模型的聯(lián)合估計(jì)等價(jià)于子模型的單獨(dú)估計(jì)，而將模型的相關(guān)性考慮進(jìn)去構(gòu)造的廣義最小二乘估計(jì)更有效。對(duì)于本文所提的MGW-SUR模型，將給出兩種估計(jì)方法，分別對(duì)應(yīng)不考慮子模型之間的相關(guān)性和考慮這種相關(guān)性。

2.1 不考慮協(xié)方差矩陣的普通估計(jì)

如果不考慮子模型之間的相關(guān)性，那么本文將分別對(duì)子模型進(jìn)行單獨(dú)估計(jì)。此時(shí)子模型就是一個(gè)普通的混合地理加權(quán)回歸模型。本文采用基于局部線性光滑方法的兩步估計(jì)法（profile最小二乘法）對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)。時(shí)間點(diǎn)t處對(duì)應(yīng)的子模型為：

首先，假定常系數(shù)αt已知，則模型（4）可以寫成：

顯然，模型（5）是標(biāo)準(zhǔn)的地理加權(quán)回歸模型，基于Wang等（2008）[5]局部線性光滑方法，可得βt(ui，vi)的估計(jì)為：

將式（6）代入原模型（4）中，可以得到下面的模型：

其中：

其中wti(u0，v0)作為一個(gè)權(quán)函數(shù)值表示t時(shí)間點(diǎn)上第i組因變量和自變量觀測(cè)值Xti，yti對(duì)估計(jì)(u0，v0)處的系數(shù)函數(shù)所起的重要性。同桂風(fēng)云和魏傳華（2016）[3]，本文設(shè)置為：

其中d0j表示空間位置(u0，v0)和(uj，vj)之間的距離，ht＞0稱為光滑參數(shù)，可以用交叉證實(shí)法來選取,詳細(xì)介紹可參考Fotheringham等（2003）[6]。

采用普通最小二乘估計(jì)法來估計(jì)（7），可以得到常值系數(shù)αt的估計(jì)是：

從而變系數(shù)函數(shù)的估計(jì)為：

進(jìn)而得到Y(jié)t的擬合值：

從而模型擬合為：

其中：

2.2 考慮協(xié)方差矩陣的廣義估計(jì)

上文的普通估計(jì)沒有考慮子模型之間的相關(guān)性，為了構(gòu)造更為有效的提高估計(jì)，本文提出一類廣義兩步估計(jì)。先假設(shè)常值系數(shù)已知，則模型可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型：

其中：

由Wei等（2017）[4]，的有效估計(jì)定義為：

其中，Ω由式（3）定義。

由廣義最小二乘估計(jì)法可以得到常值系數(shù)的估計(jì)：

相應(yīng)的變系數(shù)函數(shù)的估計(jì)為：

進(jìn)而得到因變量擬合結(jié)果：

其中：

針對(duì)MGW-SUR模型的廣義局部線性加權(quán)最小二乘兩步估計(jì)，有如下性質(zhì)：

定理1：常值系數(shù)的廣義局部加權(quán)最小二乘估計(jì)量的期望和方差分別為：

3 模擬實(shí)驗(yàn)

本文通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證所提的兩種估計(jì)方法的有效性。模擬實(shí)驗(yàn)中，空間位置的選取是通過二維格子空間來定義的，在每個(gè)m×m個(gè)格子點(diǎn)上取觀測(cè)值，觀測(cè)點(diǎn)之間的距離可以通過格子空間的橫、縱坐標(biāo)來求得。在平面直角坐標(biāo)系中，這n=m2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)定義為：

假設(shè)數(shù)據(jù)來自下面的模型：

其中自變量的取值為x1i～U(- 1，1)，x2i～N(0 ，1)，z1i～U(0 ，1)，z2i～N(1 ，1),常值系數(shù)為α1=2，α2=3，系數(shù)函數(shù)分別為：

誤差之間的相關(guān)性滿足：

權(quán)函數(shù)采用下面的形式：

為簡(jiǎn)化計(jì)算過程，實(shí)際操作中假設(shè)不同時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的窗寬ht=h是相同的，通過交叉驗(yàn)證（CV）進(jìn)行選擇。誤差相關(guān)系數(shù)分別取r=0.5，0.8兩種情況，樣本數(shù)量n=m2，其中m=7，13兩種情況，對(duì)每種情況重復(fù)實(shí)驗(yàn)1000次。

本文重點(diǎn)關(guān)注常值系數(shù)的表現(xiàn)，利用1000次重復(fù)中得到的估計(jì)量的均值（Mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（SD）和估計(jì)均方誤差來考察其表現(xiàn)，其中估計(jì)均方誤差（EMSE）定義為:

其中表示第j次重復(fù)時(shí)得到的估計(jì)值。

模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。可以看出，隨著樣本量的增加，兩種估計(jì)的效果都越來越好。并且隨著誤差相關(guān)性的增加，廣義最小二乘估計(jì)比普通最小二乘估計(jì)表現(xiàn)更好。

表1 混合地理加權(quán)似乎不相關(guān)模型兩種估計(jì)的實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果

4 結(jié)論

本文研究了一種能夠同時(shí)刻畫時(shí)空數(shù)據(jù)的時(shí)間異質(zhì)性和空間異質(zhì)性的混合地理加權(quán)似乎不相關(guān)回歸模型，并且研究了模型的兩種估計(jì)方法：一是不考慮模型誤差相關(guān)性的普通局部線性加權(quán)最小二乘兩步估計(jì)，二是考慮模型誤差相關(guān)性的廣義局部線性加權(quán)最小二乘兩步估計(jì)。本文重點(diǎn)研究了所提模型的估計(jì)問題，關(guān)于MGW-SUR模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，以及模型在實(shí)際應(yīng)用中的表現(xiàn)都還有待進(jìn)一步研究。