對人教版教材中兩步“混合運算”典型易錯題的分析及相應對策

謝祝

[摘 要]學生在進行混合運算時，順序錯誤一直是令教師頭疼的問題。從“分析教材”“學生后測”“教師訪談”三個方面入手，對兩步“混合運算”的典型易錯題進行深入分析，結(jié)合人教版二、三年級修訂教材，給出相應的干預策略。

[關(guān)鍵詞]混合運算;運算順序;干預策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）05-0025-04

一、問題的提出

人教版教材（本文中提到的人教版是指2013年經(jīng)教育部審查通過的，人民教育出版社出版的義務教育數(shù)學教科書，下文簡稱“人教版教材”。 兩步“混合運算”是指類似于“13+45-22”、“360-12×5”的同級或兩級運算。）三年級《數(shù)學作業(yè)本》第45頁的練習中的一道題“900-210[×]4[○]98”，學生的錯誤率高達78.8%。

三年級（8個班）的錯誤人數(shù)統(tǒng)計如下：

主要錯因是運算順序錯誤，學生將“先乘后減”做成了“先減后乘”。為什么該題的錯誤那么一致，且錯誤率又那么高呢？筆者將從“分析教材” “學生后測” “教師訪談”三個方面入手，對“兩步混合運算”進行調(diào)查分析。

二、調(diào)查經(jīng)過

（一）分析教材

兩步“混合運算”的教材編排如下表所示：

從上表可以看到，二年級上冊和二年級下冊都有兩級運算的新授內(nèi)容。學生雖然知道了要先乘再加（減），但教材在編排上，無論是例題還是整冊書及配套作業(yè)本等相關(guān)練習，所涉及的運算順序很湊巧，都是從左往右的，幾乎沒有“2+3×3”這樣類似的“加在前，乘在后”的習題，如圖1和圖2。

這樣的編排將學生帶入了兩個誤區(qū)：一是先算乘，列式時，乘要寫在加的前面;二是兩級運算和前面所學的同級運算一樣，運算順序都是從左往右的，除非有了小括號。

二年級下冊有了除法的介入，新增了“乘除”和“除加、除減”的內(nèi)容，并增加了“遞等式”這種新的書寫格式。二年級下冊的教學參考用書中也提示：“例2含有兩級混合運算的運算順序”，“學生容易受到思維定式的影響”。這里的“思維定式”顯然就是前面提到的“兩個誤區(qū)”。

三年級上冊無新授內(nèi)容，有關(guān)純遞等式計算的內(nèi)容很少，只在教材中第48、59頁各出現(xiàn)了1次，共12小題，如圖3和圖4。

（二）學生后測

為了更清楚地了解學生掌握“兩步混合運算”的運算順序的情況，我們對整個三年級（8個班）的302名學生進行了測試，為了突出“運算順序”的檢測效果，計算數(shù)據(jù)都較為簡單。試卷分兩部分，如圖5和圖6。

一、遞等式計算。

二、解決問題。

1.學校舉行跳蚤書市活動。小華帶了50元錢，一本書也沒有買，小紅帶的錢買了6本書，每本5元。他倆一共帶了多少錢？

2.花店里，3束同樣的玫瑰花共有30枝，一束康乃馨是15枝，一束玫瑰花比一束康乃馨少幾枝？

1.運算順序錯誤是出錯主因。

第一題中，錯誤率最高的是以下四題。（本文中統(tǒng)計的是因計算順序錯誤的人數(shù)，算錯、抄錯數(shù)、抄錯符號等不計在內(nèi)）

[錯誤率高的題 錯誤人數(shù) 錯誤率 ①14+3×7 103 34.1% ②18+42÷6? 101 33.4% ③36-36÷9 57 18.9% ④60÷5×2 24 8.9% ]

學生錯誤的計算過程如下所示。

（1）第①②③題出錯的均屬于兩級運算順序錯誤，第①②題運算順序都錯的有69人。可見，兩級運算順序錯誤占相當高的出錯比例。

（2）對于含有“（ ）”的題目，學生的運算順序正確率很高，這與“（ ）”在視覺上起到的強調(diào)作用分不開。第③題 “36-36÷9”也屬于兩級運算，但與第①②題相比，錯誤人數(shù)明顯減少了一半，這是該題緊跟“（6-6）×3”的原因，部分學生因為有了與前一題“（ ）”的比較，運算順序也就正確了。但從另一個角度來看，視“（ ）”于不顧的這57個學生的兩級運算順序錯誤是多么的根深蒂固。

（3）第④題“60÷5×2”屬于同級運算，與“66÷6×5”運算順序相同，因為沒有特殊數(shù)的“陷阱”，后者只有1人出錯，錯誤率也就大大降低了。可以得知，混合運算的順序掌握得不是很扎實的學生會受算式中特殊數(shù)的干擾。

2.綜合列式能力弱。

第二題中，302名學生中列綜合算式解決兩個問題的只有59人，占總數(shù)的19.5%。在統(tǒng)計綜合列式時，發(fā)現(xiàn)了以下兩個較典型的問題。

第1題，有18名學生列式時，給式子中的乘法加了小括號，如圖11。

這些錯誤在一定程度上也證明了前面提到的兩個誤區(qū)的存在。

（三）教師訪談

為了解各階段的混合運算情況，筆者對各年段的數(shù)學教師進行了訪談。主要內(nèi)容有對教材編排的認可度、教學重難點的把握及遇到的教學問題等。

凡教過二年級的教師都普遍反映，二年級下冊的“混合運算”這個單元的知識，學生掌握得不好，錯誤很多。他們還對二年級的教材編排感到困惑，認為遞等式是一種人為規(guī)定的書寫格式，原是四年級下冊的內(nèi)容放到二年級下冊來學習，學生在心理上是難以承受這么多的步驟的規(guī)定，難以理解這種格式的。三、四年級的教師則認為，三年級及四年級上冊極少出現(xiàn)混合運算針對性很強的鞏固性練習，直至四年級下冊的“四則運算”及“運算定律”這兩個單元才再次喚醒學生對“遞等式”及“運算順序”的記憶，教材編排上的斷層是導致學生大面積遺忘的主要原因，很正常的。五、六年級的教師則認為，遞等式只是一種書寫格式，哪怕一開始學生學習起來較困難，但練習后就不容易忘記，這不是計算錯誤的主要問題，運算順序的錯誤才是問題的關(guān)鍵所在。如在五六年級的練習中，學生常常會出現(xiàn)“1+7.2-1+7.2=0;10÷2.5×4=1;[411]+[211][×116]=1”這樣的錯誤，就是因為學生深受“迷惑”，運算順序自然“不戰(zhàn)而敗”！

三、錯因分析及對策

（一）關(guān)于“思維定式”

分析教材的編排，可以看到，直至二年級上冊的“乘加、乘減”，運算順序的確一直是“從左往右”的，這就是二年級下冊教師參考用書中提到的“思維定式”。二年級上冊的教師參考用書中，關(guān)于“乘加、乘減”的編寫意圖有明確的說明：“學生掌握了乘加、乘減算式的計算方法，可以為今后依據(jù)乘法口訣間的關(guān)系記憶乘法口訣做好方法上的準備”，以及“在這里，教材對四則混合運算的運算順序不作要求，學生只要知道‘在乘加、乘減算式中，先算乘法即可。”有了這些說明，是不是“思維定式”就無法避免了呢？事實上，這些說明恰恰是提醒教師發(fā)揮教學的主導作用，盡量避免學生“思維定式”的產(chǎn)生。

1. 減弱定式，提前滲透。

在教學二年級上冊“乘加”內(nèi)容時，教師在學生列出“3×3+2”的算式時，可以這樣滲透：“其實，我們還可以把算式列成2+3×3，以后我們還會學到更多這樣的‘乘寫在‘加減后面的算式。”然后與情境圖相結(jié)合，讓學生明白：不管3×3是先寫，還是后寫，都要先算乘。在后續(xù)的看圖列乘加算式時，也可請優(yōu)秀的學生來試試列成“乘”在加后面的算式。這樣進行變式訓練，學生對加乘算式才不會陌生，既鞏固了運算順序的知識，“思維定式”也得到了減弱。

2.直觀支撐，突破難點。

為了解決教學的難點，盡量避免“從左往右”這個“思維定式”的干擾，在新課教學時，教師要給學生提供“拐杖”——采用了教材提供的多種方法給學生以直觀的支撐，如用下劃線和箭頭標出運算順序;又如給出“圈出先算的一步運算”或“想一想每道題先算什么”等提示。但同時我們也看到，剛開始，學生對運算順序是帶著“警惕”態(tài)度的，沒過幾天，就有學生不再思考運算順序，憑感覺進行計算了，錯誤也就開始增多。在后測中， 302名學生中堅持使用“拐杖”的不到10%，雖然用了還是錯的也有，但總的來說，用的學生的解題正確率遠遠高于不用的。因此，在學生還未真正掌握正確的運算順序時，教師要提醒、鼓勵，甚至獎勵學生堅持用這些“拐杖”，養(yǎng)成“一拿到題就先思考運算順序”的良好習慣。

3.增加素材，幫助明理。

在教材的編排中，“乘與加減”兩級運算是在問題情境中產(chǎn)生的，而“除與加減”兩級運算是脫離情境在練習中通過遷移學習完成的，教材的編者想當然地以為學生理解了前者就會了后者。實踐證明，對于二年級學生來說，理解后者比前者要難得多。

除法的介入，筆者認為要把它作為重頭戲來唱，重新創(chuàng)設了一個簡單的情境。教學過程如下：

（1）教師出示圖和問題。

<G：＼刊物備份＼2019＼小教＼小教數(shù)學第2期＼內(nèi)文＼2s30.tif>

（2）要求學生列式，并說說列式的依據(jù)，并把依據(jù)寫在算式對應的位置。

<G：＼刊物備份＼2019＼小教＼小教數(shù)學第2期＼內(nèi)文＼2s31.tif>

（3）改變條件，把書的單價改為“3本18元”。

<G：＼刊物備份＼2019＼小教＼小教數(shù)學第2期＼內(nèi)文＼2s32.tif>

（4）“書的價格不知道，該怎么辦？”要先算出書的價格，“6”用“18÷3”代替，并把“18÷3”寫在卡紙上，移至“書的價格”的下方，再確定應該“先算除，再算減”。

<G：＼刊物備份＼2019＼小教＼小教數(shù)學第2期＼內(nèi)文＼2s33.tif>

（5）再次與原例題中的“7+4×3”比較，得出結(jié)論：先算乘除，后算加減，“7”和“20”都寫在算式前面且暫不參加計算，要先抄下來。

要說明的是：在這節(jié)課中，教學情境的運用主要是為了幫助學生理解規(guī)定混合運算順序的合理性，所以從最簡單的減法入手，引導學生通過簡單的示意圖梳理信息并確定解題步驟，用簡單的數(shù)量關(guān)系式作為梯子，既能幫助學生順利地列出兩步混合運算算式，又為學生理解運算順序的合理性服務。因為在沒有這個數(shù)量關(guān)系式及動態(tài)演示的幫助時，很多學生列出的綜合算式為“18÷3-6”或“18÷3-20”。

（二）關(guān)于綜合列式能力的培養(yǎng)

在對學生的后測中， “列綜合算式解決兩個問題”都正確的學生占總數(shù)的19.5%，而且這些學生都集中在某幾個班上。可見這跟教師平時的教學要求有著密切的聯(lián)系。在與學生的訪談中，我們進一步了解到，有的教師為了提高解決問題的正確率，遵循 “分步列式錯一步得一半，綜合列式錯一步全扣完” 的改卷評分標準，不鼓勵學生綜合列式，甚至明確要求分步列式，這種不理解小學生思維發(fā)展特點的評價方式，把原本需要緊密結(jié)合的“混合運算”與“解決問題”硬生生地分割開來了。然而，這兩者是相輔相成的，“混合運算”的強化需要“解決問題”情境的支撐，而“解決問題”的抽象結(jié)果又需要用“混合運算”去體現(xiàn)。只有這兩者的強強結(jié)合，才能使學生的綜合運用能力得到培養(yǎng)與提升。為了真正體現(xiàn)教材的編寫意圖，讓混合運算學有所用，提高學生的綜合概括能力，為后續(xù)學習服務，教師一定要掙脫應試的枷鎖，鼓勵學生在解決問題時能綜合列式，用遞等式解答。二年級學生的思維正處于直觀形象向抽象發(fā)展階段，考慮到學生間的差異性，允許部分學生剛開始學習時先分步列式，再嘗試著把分步合并成綜合，相信經(jīng)過長期的練習，這些學生的綜合概括能力一定會比一直列分步解答的學生強得多。

（三）關(guān)于練習的斷層

一些教師認為“在三年級及四年級上冊，極少出現(xiàn)混合運算針對性很強的鞏固性練習”，他們認為是教材編排上的練習斷層造成了學生的遺忘。事實上，教材中雖然沒有專項的遞等式練習的內(nèi)容，但這個知識點的用武之地還是有很多的，就看教師會不會利用了。除了上文提到的結(jié)合解決問題列綜合算式進行練習外，還可以進行以下針對性的練習。

1. 利用易錯題，加強學生的思辨能力。“當我們能僥幸完成任務的時候，我們就不去思考，反而依賴記憶。”因為有了先前太多的“思維定式”的記憶，學生遺忘與錯誤是正常的，特別是在強信息“特殊數(shù)”的干擾下，在簡便計算的“干擾”下，這種依賴更為強烈。因此，在學生出現(xiàn)錯誤后，教師要引導學生思辨，通過識錯、思錯、糾錯、防錯等一系列方法對錯誤進行再利用、再加工，使錯誤成為推進學生學習進程的有利資源。如在教室里專設一個易錯題“專家門診”供學生“醫(yī)治”;請學生自己設計“計算陷阱”，供同學來挑戰(zhàn);等等。

2.每周利用作業(yè)本的空白部分，適量地加入幾題有關(guān)混合運算的對比練習和強化練習 ，避免遺忘。如圖13。

總之，教師不僅是教材的使用者，也是教材的“編寫者”，需視學情靈活地處理教材，分解難點，同時遵循遺忘的規(guī)律，為學生綜合能力的提升服務，為他們的后續(xù)學習與發(fā)展服務。

（責編 金 鈴）