“一筆畫”問題教學的幾點思考

韋忻芳

[摘 要]研究數學問題離不開自主探究，過去采用的“滿堂灌”要不得，只有學生通過自主探究和思索得出的成果才是經得起時間檢驗的。自主探究絕不代表教師可以在拋出模糊的問題后，放任學生毫無頭緒地碰運氣，而是要做到嚴密地引導和規范學生的探究行為。

[關鍵詞]一筆畫;失敗;基礎;扎牢;逐步

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）05-0057-02

“一筆畫”問題教學的一開始，教師就以“七橋問題”作為導入，旨在用這一精彩故事激發學生興趣，然后推出“一筆畫”的概念。在學生搞清楚“一筆畫”就是將一個圖形從某起點開始沿著一條不間斷、不重復的線路勾畫完所有線路時，教師開始逐步深入，讓學生觀察研究“一筆畫”圖形的特征。教師展示一組圖形，讓學生研判哪些可以“一筆畫”，讓學生意識到“不連通的圖形無法一線連”。在此基礎上，教師順勢提出奇點和偶點的概念：各線路交匯相接形成回路的圖形稱為連通圖，連通圖的基本結構是點和線，奇數條線交匯的聚點稱為奇點，偶數條線交匯的聚點稱為偶點。任何連通圖都是由點和線組成的，所有交匯的聚點不是奇點就是偶點。用下標“2”標注偶點，用下標“1”標注奇點，如圖1。

這堂課到此似乎已經交代清楚了，實際上，學生還是很迷茫。筆者認為該教師忽略了以下三個方面。

一、沒有為學生的探究做準備

教師提醒學生，研究連通圖首先要判別奇點和偶點。認識奇點和偶點的概念后，問題似乎便可以迎刃而解了，但是風平浪靜的講授背后，卻隱藏著妨礙自主探究的“暗礁”。從字面上看，奇點和偶點的定義淺顯易懂，但是在實踐中，學生卻很難辨別交匯點處線條的數量。

師：我們已經知道了什么是連通圖，也知道判斷能否“一筆畫”的重要前提是看一個圖形是否連通，那么是不是所有連通圖都能“一筆畫”？

這時，學生出現嚴重的意見分歧。教師鄭重指出，連通圖可能“一筆畫”，也可能需要“多筆畫”，然后請學生嘗試一筆畫完例圖，并用箭頭標明行筆方向。學生通過試驗，發現并非所有連通圖都能“一筆畫”。課堂正式進入主題，研究“一筆畫”圖形的特征。教師讓學生分組合作探究研討，要求：先標出奇偶點，然后統計數據并填表，最后回答四個提示問題，總結規律。學生在統計奇點與偶點數量時，對奇點、偶點的判別出現嚴重失誤，教師不得不回頭，補敘奇點與偶點的判定原則。

如圖2是相互穿插，算作4條線交會;如圖3是截斷式相交，算作3條線交會。對于圖3的情況，學生會誤認為只有2條線交會，于是本應劃定為奇點的聚點，被誤判為偶點，對判定能否“一筆畫”提供了錯誤的信息。

教師播放動畫，讓學生暫停下來弄清線條該如何計數后，再繼續前行。十多分鐘后，組織學生交流。但是四個提示問題，大部分學生只答對了第一個。課后，回頭再看“七橋問題”時，學生依然渾渾噩噩，不知從何下手。即便教師將實物圖轉換為幾何圖，奇點和偶點數已經一目了然，學生仍是束手無措。

二、沒有扎牢學生知識基礎

這一堂思維訓練課對于四年級學生來說頗有難度，但是學生的自主探究之所以半途而廢，不能簡單歸咎于問題難，還應客觀判斷，教師并未對自主探究掃清障礙，鋪平道路，這才導致了學生自主探究時“打亂仗”。

有效的探究應該建立在學生牢固的知識基礎上。這節課之所以混亂，其中一個很大的原因就是教師在自主探究之前沒有讓學生扎穩根基、打好底子，導致學生探究時知識儲備捉襟見肘。在學生在懂得不連通的圖形不能“一筆畫”之后，教師馬上話鋒一轉，跳到奇點與偶點的判別上，顯得非常突兀。這兩個概念并不難理解，可是實踐時卻容易碰壁——對交叉線不會判斷，為何會這樣？是因為教師對學生接受奇點和偶點的能力盲目樂觀，沒有進行強化訓練，就讓學生在基礎不牢的情況下，提前開啟了“一筆畫”圖形的特征研究。奇偶點雖不是本章的重點，但作為判斷“一筆畫”的重要理論依據，必須讓學生在自主探究“一筆畫”圖形的特征之前就牢牢掌握。

三、沒有做到分步推進、逐步實施

教師出示的10個圖形（如圖4）難度參差不齊，且排列雜亂。有些圖形難度很大，如編號（3）和編號（9）的圖形，學生在短時間內無法清晰判斷，自主探究時難免裹足不前。

教師在組織學生自主探究時，用表格和問題進行引導。

能“一筆畫”的圖形

研究問題：

1.能“一筆畫”的圖形首先必須是（ ）圖。

2.能“一筆畫”的圖形中的奇點數量必須滿足（ ）或（ ）。

3.如果一個圖形只有兩個奇點，那么勾畫線條時必須從一個（ ）起筆至另一個（ ）收筆。

4.如果一個圖形沒有奇點，全是偶點，“一筆畫”行筆時就可以從任意一個偶點開始至（ ）收筆。

從表面上看，用表格和研究問題步步誘導，好像是給學生指明方向，事實上，將圖形、表格和問題一股腦兒呈現，學生思維一下子超負荷，就會思路擁堵，造成“一筆畫圖形的特征不是學生悟出的，而是教師轉告的”嚴重后果。

要想讓探究活動行之有效，落到實處，教師就要充分考慮四年級學生的認知水平，科學規劃好實施步驟：第一步，判別奇點與偶點，并一一注明;第二步，通過試驗，確定哪些圖形可以“一筆畫”;第三步，將能“一筆畫”的圖形和不能“一筆畫”的圖形分成兩類，統計它們的奇點數和偶點數，列表;第四步，觀察表格數據，探尋規律;第五步，研究“一筆畫”的行筆路線。

在數學探究活動中，教師不僅要讓學生參與其中，還要陪著學生一起探究，否則放任學生自由探究，只會讓學生走入迷途。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 李彩娟，余秀萍.“一筆畫”問題的數學模型及解法[J].河北建筑工程學院學報，2001（02）.

[2] 薛錦芳，徐道.一個有趣的“一筆畫”問題[J].安順師專學報，1999（04）.

（責編 李琪琦）