連續平分問題的模型建構

潘美秀

[摘 要]數學中的計算都是十分嚴謹的，向來“說一不二”，但是應用到生活實際時，為了方便演示、顯示公平、減少糾紛，有時不得不打破常規，引入一些虛擬數，可以大大簡化思維過程，最后再將這些虛擬數以一種巧妙的方式消除掉。

[關鍵詞]獵人;倍數;野兔;私分;平分

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）05-0059-02

我們以獵人分野兔為素材，由簡到繁，逐步深入地研究一類難度較大的連續平分的問題模型的建構。

[問題1]趙某、錢某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上點燃篝火露營。午夜時分，趙某醒來，把野兔平分成4份，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢某醒來，也把野兔平分成4份，私自拿走1份，剩余的3份也放在一起。孫某、李某也這樣做。問：他們至少獵捕了多少只野兔？

答：他們至少獵捕了256只野兔。

[思考]如果他們獵捕的野兔總數在1000以內，這個數量還可能是多少？你能否找到滿足條件的數據的最大值，然后根據題意計算出四人分別私分了幾只野兔和最后剩下野兔的數量？

一、平均分后有剩余量

[問題2]趙某、錢某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上搭建簡易帳篷宿營。午夜，趙某醒來，把野兔平分成4份，結果發現多出1只，將多出的1只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢某醒來，也把野兔平分成4份，發現多出1只，將多出的1只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。孫某、李某也這樣做。問：他們至少獵捕了多少只野兔？

問題2與問題1有所不同，每次分取野兔后都多出1只放歸山林，也就是每次都不能剛好分成整份數，我們不妨設法使趙某分野兔時能分成整份數。可以設想用3個石塊代替3只野兔，混入原來的野兔中充數，這樣趙某正好將全部野兔（含石塊）平分成4份而無剩余，但一定要把3個石塊分別放在3份野兔里，趙某私自拿走不含石塊的那1份。接下來該怎么推演？顯然，趙某私自拿走的數量比題目設定的多了1只，而這只正好就是放歸山林的那1只，這樣一來，剩余的3份野兔（含3個石塊）的數量就與原題設中的數量相同。這3個石塊成了調節器，錢某也能把野兔（含石塊）恰好平分成4份，他私自拿走的是沒有石塊的那1份，也比原題設中錢某私自拿走的實際數量多了1只，這只也可以看作是他放歸山林的那1只，這樣錢某剩下的野兔（含3個石塊）也與原題設中的第二次剩余量相等。同理，孫某、李某也可以把趙某、錢某剩下的野兔（含3個石塊）平分而無剩余，只是每次剩下的野兔中都比原數量多了3個石塊。由于3個石塊的加入，問題2就轉化成了問題1，只是最后需要拿走魚目混珠的3個石塊。

解：44-3=253（只）。

答：他們至少獵捕了253只野兔。

[思考]如果他們獵捕的野兔總數在1000以內，這個數量還可能是多少？你能設定一個數，然后用賦值法計算每人私拿走的野兔的數量，來檢驗你設定的數據嗎？

二、剩余量由一變為二

[問題3]趙某、錢某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上搭建簡易帳篷宿營。午夜，趙某醒來，把野兔平分成4份，結果發現多出2只，將多出的2只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢某醒來，也把野兔平分成4份，發現多出2只，將多出的2只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。孫某、李某也這樣做。問：他們至少獵捕了多少只野兔？

與問題2一樣，問題3同樣要轉化為問題1。不妨這樣假設：把趙某放歸山林的2只野兔重新捕獲后給趙某，那么，剩余3份也應按照配比多加2只，才能使野兔的總數正好能平分成4份，因此，要用2[×3]=6（個）石塊充當野兔。趙某在把野兔平分成4份時，其中3份每份混入2個石塊，他取走不含石塊的那1份。這樣他私自拿走的野兔數量就比原題設中他實際到手的多了2只，這2只剛好可以看作是他放歸山林的那2只。對于趙某來說，除了平白無故多出6個石塊外，野兔數量并無變化。由于這6個石塊的混入，錢某、孫某、李某都可以把野兔（含石塊）平分成4份而無剩余。如此一來，問題3就轉化成了問題1，最后拿走魚目混珠的6個石塊即可。

解：44-2[×]（4-1）=250（只）。

答：他們至少獵捕了250只野兔。

[思考]假設故事的梗概不變，只是把“把野兔平分成4份，結果發現多出2只，將多出的2只順手放歸山林”改為“把野兔平分成4份，結果發現多出3只，將多出的3只順手放歸山林”，且他們獵捕的野兔只數在1000只左右，他們獵捕了多少只野兔？

三、份數和余數都改變

[問題4]趙某、錢某、孫某、李某、周某五位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起。午夜，趙某醒來，把野兔平分成5份，結果發現多出3只，將多出的3只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的4份又放在一起。錢某醒來，也把野兔平分成5份，發現多出3只，將多出的3只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的4份又放在一起。孫某、李某、周某也這樣做。問：他們至少獵捕了多少只野兔？

結合問題1，我們仍可以設想，如果每人分野兔時都正好分完，那么這些野兔至少有55只。再結合問題3，不妨設想用3[×]（5-1）=12（個）石塊充當野兔，那么就可以把復雜的問題轉化成每次正好平分完的簡單情景，只是最后需要拿走12個石塊。

解：55-3[×]（5-1）=3125-12=3113（只）。

答：他們至少獵捕了3113只野兔。

[思考]在類似的情境中，如果只有三位獵人，每人分走[13]的野兔后，結果發現多出2只，將多出的2只順手放歸山林，那么他們至少獵捕了多少只野兔？

由此，我們可以建立一個一般模型：有m位獵人獵捕了s只野兔，獵人A把這些野兔平分成m份，結果發現多出n只，將多出的n只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的放在一起。獵人B把獵人A分剩下的野兔平分成m份，結果發現多出n只，將多出的n只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的也放在一起。其他獵人也這樣做。那么，他們獵捕的野兔只數可用一個式子表示：[s=pmm-n（m-1）]（p、m、n都為大于0的自然數，且n小于m），s的最小值=mm-n（m-1）。

[ 參 考 文 獻 ]

李秀紅.尋找內在關聯 提升認識水平——“平均分兩種分法的比較”教學片斷與反思[J].小學數學教育，2018（18）.

（責編 李琪琦）