概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革探索

李 賀

(安徽工業(yè)大學(xué) 商學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(簡(jiǎn)稱概率統(tǒng)計(jì))是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。概率統(tǒng)計(jì)是普通高等院校絕大多數(shù)專業(yè)本科和研究生必修基礎(chǔ)課，它不僅具有嚴(yán)密的學(xué)科理論體系，還具有廣泛的應(yīng)用背景。概率論隱含微分和積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，融合代數(shù)和幾何等數(shù)學(xué)工具，為數(shù)據(jù)處理提供了理論基礎(chǔ)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為基礎(chǔ)研究處理數(shù)據(jù)的學(xué)問(wèn)，是研究如何收集、整理、分析隨機(jī)性數(shù)據(jù)，對(duì)所研究問(wèn)題進(jìn)行推斷和決策的學(xué)科[1]。

概率統(tǒng)計(jì)不同于其它數(shù)學(xué)分支研究確定問(wèn)題的思想，它著眼于整體而非個(gè)體(或著眼于多次而非一次性)隨機(jī)事件，是學(xué)生首次接觸到的隨機(jī)數(shù)學(xué)。由于是從整體而非個(gè)體的抽象，許多學(xué)生反映概念很難理解，雖能聽(tīng)懂、看懂概率公式的邏輯推演，套公式可機(jī)械地做練習(xí)題，可有時(shí)僅知其然不知其所以然，甚至有時(shí)會(huì)因涉及高等數(shù)學(xué)知識(shí)而望而卻步。學(xué)生在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)過(guò)程中抽象思維難以展開(kāi)，分散的知識(shí)點(diǎn)難以整合，不同方法內(nèi)在聯(lián)系難以掌握等。因此，有必要結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)課程特點(diǎn)和教學(xué)實(shí)踐對(duì)本課程教學(xué)進(jìn)行改革探索。

一、概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)現(xiàn)狀

概率統(tǒng)計(jì)是一門理論性和實(shí)踐性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，是與經(jīng)濟(jì)、統(tǒng)計(jì)、管理等專業(yè)密切相關(guān)的基礎(chǔ)課程。由于它與其它研究確定現(xiàn)象問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)科處理問(wèn)題的思維方式不同，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中需改變?cè)季S方式，需要有較強(qiáng)的抽象和分析能力，而這些能力需要學(xué)習(xí)和訓(xùn)練培養(yǎng)。

(一)陳舊案例多

概率論統(tǒng)計(jì)是一門理論性非常強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科，選課學(xué)生分別來(lái)自不同專業(yè)，教材的內(nèi)容設(shè)置和案例選擇難以很好地激起不同專業(yè)學(xué)生的興趣。概率統(tǒng)計(jì)課程內(nèi)容主要包括理論知識(shí)、分析方法和應(yīng)用案例，其中理論知識(shí)包括隨機(jī)事件、隨機(jī)變量、數(shù)字特征、極限定理、抽樣分布、參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等，這些知識(shí)構(gòu)成本學(xué)科理論框架；分析方法主要包括條件分析、統(tǒng)計(jì)分析、相關(guān)性分析、方差分析和回歸分析等，這些是研究本學(xué)科的具體方法；應(yīng)用案例主要列舉概率統(tǒng)計(jì)在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用。目前概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)更多強(qiáng)調(diào)理論知識(shí)講解和公式推演，而理論知識(shí)的產(chǎn)生背景、分析方法和引起興趣的應(yīng)用案例講授較少[2-3]，且案例較為陳舊。

(二)知識(shí)分解多，銜接聯(lián)系少

概率統(tǒng)計(jì)是一門邏輯體系較完整的學(xué)科，為把這門學(xué)科的理論闡述清楚，各種教材都將整個(gè)理論體系拆成不同章節(jié)，如概率和條件概率、邊緣分布和條件分布等分別安排在不同章節(jié)，按這種抽絲剝繭方法逐章講清楚每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)確實(shí)非常有效。然而，現(xiàn)實(shí)應(yīng)用所涉及的理論知識(shí)往往不是單一的，一旦遇到涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合的問(wèn)題學(xué)生不知所措。如何將不同章節(jié)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系或綜合講授是目前需要進(jìn)行改革的。

(三)抽象講解多，直觀表達(dá)少

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)科，數(shù)學(xué)本身就具有抽象性，也正是這門學(xué)科具有抽象性特點(diǎn)，讓不少抽象思維能力稍弱的學(xué)生學(xué)習(xí)較為吃力。目前概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)基本還是從理論推導(dǎo)到例題講解這種方式，不能減少概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的抽象性，然而這種抽象性有時(shí)是可以借助一些手段直觀表達(dá)，如隨機(jī)變量的概率大小有些是可借助幾何工具直觀表達(dá)。如何將比較抽象性的概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為直觀的概率問(wèn)題是值得教學(xué)改革嘗試的。

(四)平時(shí)考核單一

考核評(píng)價(jià)是教學(xué)不可或缺的重要組成部分，通過(guò)考試手段既可檢查學(xué)生掌握課程知識(shí)情況，也可檢查教師教學(xué)效果。傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)的成績(jī)考核是通過(guò)考試和平時(shí)成績(jī)來(lái)檢驗(yàn)的，然而，隨著社交平臺(tái)慢慢滲透到輔助教學(xué)工作中，如布置作業(yè)、檢查家庭作業(yè)、問(wèn)題討論等，但作為課后或課外表現(xiàn)的成績(jī)尚未進(jìn)入考核評(píng)價(jià)體系，可這又是越來(lái)越普遍的課堂延伸形式，因此考核評(píng)價(jià)體系也應(yīng)做相應(yīng)改革。

二、課程教學(xué)改革的實(shí)踐

(一)豐富教學(xué)內(nèi)容，更新應(yīng)用案例

興趣是最好的老師，是最持久的動(dòng)力。為提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，筆者在理論知識(shí)講解過(guò)程做了這些嘗試：(1)增加相關(guān)理論與經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)和心理學(xué)等學(xué)科的結(jié)合應(yīng)用，如經(jīng)濟(jì)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)合形成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、遺傳學(xué)理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)合形成數(shù)量遺傳學(xué)；(2)增加相關(guān)理論知識(shí)在社會(huì)生活領(lǐng)域中的具體應(yīng)用，如在醫(yī)療、金融和軍事領(lǐng)域的應(yīng)用，如癌癥篩查、軍力投送；(3)增加一些統(tǒng)計(jì)學(xué)家的相關(guān)史料，例如泊松、高斯、伯努利、切比雪夫、辛欽、費(fèi)歇爾等人的生平和科學(xué)貢獻(xiàn)資料[3-4]；(4)豐富語(yǔ)言表達(dá)的方式，因人能集中精力的時(shí)間長(zhǎng)度有限，適當(dāng)活躍課堂氣氛，以提高學(xué)生課堂聽(tīng)課效果；(5)增加年輕人較感興趣的案例[5-6]。通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)與相關(guān)社會(huì)生活、學(xué)科關(guān)系結(jié)合以及統(tǒng)計(jì)學(xué)家的史料簡(jiǎn)介，來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣。

(二)章節(jié)分合有度，講授相互銜接

許多教材在編寫過(guò)程中，為把每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)說(shuō)清楚，往往先“庖丁解牛”般地提前把知識(shí)體系分解成章節(jié)，逐章節(jié)闡述每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這種結(jié)構(gòu)往往只見(jiàn)部分難觀整體。如果在講授過(guò)程中不能有效還原知識(shí)體系，學(xué)生很難成為未來(lái)的“庖丁”。因此在講授過(guò)程中要把握哪些章節(jié)可分解，哪些章節(jié)可合并講授，各章節(jié)內(nèi)容內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系需要理清楚。比如教材一般都是把貝葉斯公式、邊緣分布和相互獨(dú)立的二維離散型隨機(jī)變量分別在不同章節(jié)編寫，但也可合并講授，將貝葉斯公式、邊緣分布和二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性放在一起討論更容易理解這些理論的內(nèi)在聯(lián)系。

(三)縝密抽象思維，形象直觀表現(xiàn)

人類對(duì)自然規(guī)律的理論認(rèn)識(shí)是先經(jīng)抽象思維，后借助各種工具或手段來(lái)揭示。概率統(tǒng)計(jì)的許多抽象問(wèn)題也可借助工具直觀表現(xiàn)，可把概率統(tǒng)計(jì)抽象性直觀表現(xiàn)出來(lái)的工具往往是幾何圖形。無(wú)論是一維隨機(jī)變量和二維隨機(jī)變量的分布，還是隨機(jī)變量的條件分布，甚至隨機(jī)變量函數(shù)分布等諸多概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題都可直觀表達(dá)其幾何含義。借助幾何圖形把抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，既有利于消化理解抽象問(wèn)題的本質(zhì)，也有利于形成直觀形象記憶。

(四)拓寬信息渠道，多元考核評(píng)價(jià)

傳統(tǒng)教學(xué)的信息渠道就是“一塊黑板、一支粉筆和一張嘴”，而隨著現(xiàn)代科技進(jìn)步和教學(xué)設(shè)備的完善，尤其QQ和WeChat(微信)等社交平臺(tái)的出現(xiàn)，知識(shí)傳播方式發(fā)生了重大變化，如視頻、圖片、語(yǔ)音等都可傳播知識(shí)，這些新事物的出現(xiàn)延伸了課堂教學(xué)空間和時(shí)間，催生了新的教學(xué)和考核方式改革。

1.板書和多媒體并用

傳統(tǒng)教學(xué)板書書寫比較慢，如案例太長(zhǎng)難以全部寫出，甚至有些圖形很難臨時(shí)畫出，而多媒體恰能彌補(bǔ)這些不足。由于PPT可以提前制作，這相當(dāng)于延伸教學(xué)時(shí)間，同時(shí)節(jié)省板書時(shí)間可講授更多內(nèi)容。當(dāng)然作為數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)，完全依賴PPT無(wú)法展現(xiàn)每一步推導(dǎo)演算過(guò)程，因此板書和多媒體需結(jié)合使用。概念和容易的內(nèi)容通過(guò)PPT展示加上講解，比較難的內(nèi)容仍需要逐步推導(dǎo)，兩種方式結(jié)合教學(xué)效果更好[7]。

2.課堂和課后兼顧

在QQ和WeChat社交平臺(tái)出現(xiàn)前，往往師生之間只有見(jiàn)面才能答疑解惑，這樣大大限制了輔導(dǎo)和答疑時(shí)間。現(xiàn)在除偏遠(yuǎn)山區(qū)和海島之外，社交軟件信息傳播幾乎沒(méi)有時(shí)空限制，師生不管彼此在什么地方什么時(shí)候隨時(shí)都可發(fā)送課程信息。因此，概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)可借助社交平臺(tái)延伸課堂，通過(guò)建立課程群布置作業(yè)、上傳資料、課后答疑，這些都極大方便教學(xué)。

3.多元評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)成績(jī)

考核評(píng)價(jià)是教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是評(píng)估教學(xué)質(zhì)量和檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的重要手段。概率統(tǒng)計(jì)的課程考核方式通常是平時(shí)成績(jī)+考試成績(jī)，其中平時(shí)成績(jī)占30%，考試成績(jī)占70%，平時(shí)成績(jī)由作業(yè)交送和上課出勤構(gòu)成。通過(guò)批改作業(yè)發(fā)現(xiàn)，抄襲作業(yè)情況時(shí)常發(fā)生，平時(shí)成績(jī)很難反映真實(shí)情況。由于隨著社交網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)發(fā)展，課堂教學(xué)模式在向課后延伸，考核方式應(yīng)做相應(yīng)改革，比如考試成績(jī)占60%，平時(shí)作業(yè)和出勤成績(jī)占20%，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)發(fā)自選作業(yè)成績(jī)占20%，這樣通過(guò)延伸評(píng)價(jià)內(nèi)容可激勵(lì)學(xué)生課后學(xué)習(xí)。

三、結(jié)語(yǔ)

概率統(tǒng)計(jì)是普通高校大多數(shù)專業(yè)的必修課，課程理論知識(shí)比較抽象，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到這樣或那樣的困難。通過(guò)增加理論知識(shí)在社會(huì)生活、學(xué)科發(fā)展和身邊生活中的應(yīng)用可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；通過(guò)將條塊分割的章節(jié)有意識(shí)地整合和分解，讓學(xué)生既可見(jiàn)整體也能見(jiàn)局部，建立系統(tǒng)性知識(shí)結(jié)構(gòu)；通過(guò)將抽象性問(wèn)題直觀化，降低學(xué)生理解問(wèn)題的難度，提高形象化記憶能力；通過(guò)課堂平臺(tái)為主，社交軟件平臺(tái)為輔的成績(jī)考核可激勵(lì)學(xué)生課后學(xué)習(xí)。總之，在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，運(yùn)用多元化的教學(xué)手段可使原本抽象、枯燥的概率統(tǒng)計(jì)理論知識(shí)變得直觀、有趣，同時(shí)可提高教與學(xué)的效果。