淺談不等式證明題的常用方法與技巧

李陽剛

摘 要：一般來說，不等關(guān)系以及相等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最為基本的數(shù)量關(guān)系。不等式的內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中占據(jù)著重要的比重，它是高中數(shù)學(xué)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，在日常生活、學(xué)習(xí)中不等式的證明方法以及相關(guān)的應(yīng)用都會(huì)得到相應(yīng)的體現(xiàn)。在高中不等式的教學(xué)過程中，不等式的證明方法是豐富多樣的。主要介紹了一些能夠有效證明常見不等式的解題思路和技巧，希望對(duì)學(xué)生解決不等式問題有一些幫助。

關(guān)鍵詞：不等式證明；方法與技巧；教學(xué)策略

不等關(guān)系是在客觀世界中廣泛存在的一種基本關(guān)系，其中，各種類型的不等式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中都應(yīng)用得較為廣泛。不等式，即利用不等號(hào)（“<”“>”或者是“≠”）來表示不等式關(guān)系的式子。在高中數(shù)學(xué)不等式的證明過程中，其證明方法都有相對(duì)應(yīng)的技巧和模式，利用絕對(duì)值來求解不等式、結(jié)合分段討論的方法求解不等式法、綜合法、放縮法、比較法、換元法等都是證明和求解不等式的簡便方法。因此，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不等式題型的特點(diǎn)，合理地選用不等式證明方法和技巧，通過簡便的途徑來有效地解決問題，提高解題效率。以下我們就來實(shí)際列舉一些不等式證明的常見方法與技巧。

一、利用絕對(duì)值解不等式

在高中數(shù)學(xué)的不等式解題過程中，處理絕對(duì)值樣式的不等式的解題思路在于將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為非絕對(duì)值的不等式。絕對(duì)值本質(zhì)上表示數(shù)軸上的點(diǎn)位于原點(diǎn)之間的距離，所以教師只有幫助學(xué)生清晰地認(rèn)知絕對(duì)值的含義，才能夠幫助學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，透徹地掌握絕對(duì)值解不等式的解題思路，有效地證明不等式。

例如，在證明“不等式x-3-x+5>2成立”的過程中，x-3可以表示為數(shù)軸上的點(diǎn)到3的距離，那么相應(yīng)的x+5就表示為數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)-5之間的距離。那么，不等式x-3-x+5>2的解則會(huì)體現(xiàn)在數(shù)軸中，所以，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生：數(shù)軸上的點(diǎn)距離3的長度與點(diǎn)到-5的長度之差能夠大于2的所有點(diǎn)都滿足這個(gè)不等式的解，則有了以下證明。

二、換元法證明不等式

在眾多的解題方法中，換元法可以針對(duì)性的解決一些形式上較為復(fù)雜的不等式題型，在觀察不等式的結(jié)構(gòu)中尋找解題突破口，采用變量代換的方法，將生疏的公式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)橹匾牟坏仁浇Y(jié)構(gòu)，從而簡化形式，有效地證明不等式。這種換元的方法可以提升學(xué)生的思維靈活程度，鍛煉學(xué)生的代替能力，給學(xué)生提供更加多樣的證明方法。

例如，在證明不等式x-1<2成立的題目中，可以采取以下方法。

證明：將字母x設(shè)置為未知數(shù)，當(dāng)x取某一個(gè)數(shù)值a的時(shí)侯，x-1的值就會(huì)小于2，也就是說當(dāng)x=a時(shí)，不等式x-1<2就會(huì)成立；而當(dāng)x取另一個(gè)數(shù)值b的時(shí)侯，x-1的值不能小于2，即當(dāng)x=b時(shí)，不等式x-1<2不成立。

三、綜合法證明不等式

在高中不等式證明的解題方法中，綜合法也是一種思路較為清晰，過程較為便捷的方法。這種方法有利于鞏固學(xué)生的不等式知識(shí)基礎(chǔ)，使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用不等式的性質(zhì)來解決常見問題。

四、反證法證明不等式

所謂反證法，就是利用逆向思維，從否定的角度出發(fā)去推翻所給的結(jié)論。通過縝密、正確的推理過程，最終必然可以引出一個(gè)相對(duì)于結(jié)果矛盾的現(xiàn)象，從而肯定了原命題的準(zhǔn)確性。這種反證法可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)，讓學(xué)生通過結(jié)果去反推過程，最終證明原命題的錯(cuò)誤，快速準(zhǔn)確地證明不等式。

總之，在高中數(shù)學(xué)的不等式證明學(xué)習(xí)階段，不等式的證明方法是多種多樣的，為了幫助學(xué)生更快掌握較為便捷、有效的證明方法，在不等式教學(xué)過程中，教師要摒棄傳統(tǒng)的單純講解的教學(xué)模式，注重教授給學(xué)生靈活簡便的不等式解題思路，使學(xué)生在理解的前提下，充分掌握各種不等式證明的技巧和規(guī)律。同時(shí)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生在解題之后對(duì)題目及時(shí)歸納和總結(jié)，幫助學(xué)生達(dá)到活學(xué)活用的學(xué)習(xí)目標(biāo)，提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率。

參考文獻(xiàn)：

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