《高等代數》課程建設的思路

姜文英

摘 ? 要：高等代數是數學科學和一切自然科學最重要的基礎之一， 在數學、自然科學、工程技術以至經濟人文等領域都有著廣泛的應用。從教學內容的處理、教學原則的確定、教學手段的改革和學生能力的訓練四個方面闡述了高等代數課程建設的思路和建議。

關鍵詞：高等代數 ?課程建設 ?教學內容 ?教學原則

中圖分類號：O15-4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）10（b）-0207-02

高等代數是我院數學與應用數學及應用統計學專業的主干課程之一，它是在中學數學基礎上的進一步深化和提高，高等代數的理論和方法也是學生學習其他后繼相關課程的基礎。通過高等代數課程的學習，學生不但可以掌握代數學的基礎知識，學會嚴密的邏輯推理方法，理解數學中常用的數學思想方法，例如公理化方法、同構方法、等價分類方法等，而且還能提高學生的歸納演繹和抽象概括的能力。高等代數是數學科學和一切自然科學最重要的基礎之一，該課程的地位與作用日益突出。基于對高等代數課程及教學內容的深入理解，確定了該課程建設的基本思路。

1 ?教學內容的處理

結合高等代數課程的教學大綱及人才培養方案的規定，考慮學院的應用型人才培養的要求，在教學過程中對高等代數的教學內容進行了適當的調整。對部分內容要進行了順序調整及重組，符合大學生認識的規律，使內容更方便掌握.在不改變高代內容體系的基礎上，可適當降低課程內容的理論難度，考慮將高等代數的過分繁雜的理論推導和一些陳舊內容進行更新和重組。根據不同專業的要求及本院學生的層次和特點， 可對一部分內容作適當刪減，精選一些抽象、繁雜的內容問題，制作多媒體課件，可以適當降低課程難度。對于統計專業學生，可適當加入數學軟件的應用，讓學生課下通過數學軟件進行較復雜的代數計算。在不增加內容學時的基礎上，要賦予一定的文化內涵，在合適的章節引入數學史的介紹，數學家的事跡，體現數學文化的滲透，培養學生的數學人文素質，注重對素質培養的思想和方法的講授。由于教材安排的例題習題較少，為了加深學生對代數基本概念及計算方法的掌握，教師要適當補充一部分例題和習題，幫助他們理解教學內容。對于比較抽象的概念和理論，教師可以從具體應用的實例或簡單的例子引入，比如線性空間概念的教學，可以從學生熟悉的多項式、矩陣的集合入手講解，從簡單的實例抽象出線性空間的概念，這樣學生接受起來更容易，對概念的理解也更深刻.

2 ?教學原則的確定

在教學過程中，通過與學生的溝通發現，多數學生認為高等代數的內容抽象性比較強，不容易理解和掌握，由于課上聽不懂，直接影響了他們學習的積極性，缺少學習的動力。因此在教學中注重貫徹以下原則：（1）知識與思想方法并重的原則，在講授知識的同時，注意揭示知識的來龍去脈及其中所蘊含的思想方法。例如公理化演繹思想，分類思想等。用代數學的基本思想方法指導教學活動，首先要把握重點。從不同的角度解讀重點，以抑揚頓挫的語言來突出重點，用構造習題和考題鞏固重點;其次化解難點。用思想的高度理解難點，用詳細的語言講述難點，用分散的方法化解難點。對一些典型方法引導學生歸納總結，比如引導學生總結出矩陣的初等變換方法在線性方程組的求解、向量組的線性相關性的判定、矩陣的秩的計算等方面的應用。（2）體現現代教育理念的原則，在教學中有意識的貫徹認識論或教育學的基本原則。作為大學低年級的入門課程，其理論的闡述應當符合人的認識規律，即由淺入深，從具體到抽象，由形象直觀到理性思維。例如，通過分析線性方程組結構的直觀上的特點導出向量空間和矩陣及其運算的基本理論，對于向量組線性相關和無關的概念，可以借助齊次線性方程組是否有非零解來導出。給學生安排一些探究性內容，擴寬學生的認知結構，搭建好終身學習所需要的高等代數的基礎，反映出現代數學的新觀念。（3）返璞歸真原則。教學中注重將高等代數與初等數學、幾何及其他學科的聯系，加強應用性問題教學，盡可能的從實際出發，引入概念，提高學生的綜合能力。高等代數的理論知識在數學、自然科學、工程技術以至經濟人文等領域都有廣泛的應用，在教學中加入一些實際應用的例題是十分必要的，也有助于提高學生學習本課程的積極性和興趣。比如，可以向學生介紹經濟學、線性規劃、電路、動力系統及網絡流等都與線性方程組緊密相關，計算機圖形學，人口統計學，飛機設計，馬爾可夫鏈應用等均用到矩陣的知識等等。（4）體現與時俱進的原則。教師不能一本教材用多年，一本教案用終生。要及時關注學科的新發展，采用國內最新版的教材。把課程的前沿知識、研究現狀和發展趨勢，及時貫徹到教學過程中，及時更新教學內容，做到常講常新。

3 ?教學手段的改革

現在的教學改革注重現代信息技術在教學中的應用，目前我院的教師教學多數采用多媒體課件教學。對于高等代數課程來說，我們對適當利用多媒體持肯定態度，但從教學的實際情況來看的，單純的依賴多媒體課件教學，并不會取得好的教學效果。首先，本學院的部分學生，其數學基礎相對較差。利用多媒體課件教學雖然可以幫助解決教與學上的一些難點問題，從表面上看，似乎教學效率提高了，但往往由于教學“節奏”加快了，學生跟不上上課速度，被動的接受知識，缺少了思考和消化的時間。課件只是把教學內容濃縮到“幻燈片”中去，減少了板書的時間，對于定理的推導不如板書的演示更具體和直接，留給學生思考的時間，課件不能解決內容的難度，也不能降低內容的抽象性。所以，只使用多媒體課件教學，不會獲得好的教學效果，甚至教學效果是糟糕的。其次，稍有教學經驗的教師都清楚，面對基礎較差的學生，教師課堂上的主導作用就越重要。不僅對教師教學的藝術性要求越高，而且更需要師生間的情感互動和情緒間的交流。這都是利用多媒體課件教學所欠缺的。因此，我們應該利用多媒體課件輔助高等代數的教學，而不能起到主導性的作用。適當利用多媒體課件教學是必要的，但要用得恰當適當。現在有些重點大學數學課堂的老師們還是通過粉筆板書的形式進行教學，肯定有他的道理存在。

4 ?學生能力的訓練

高等代數作為重要的一門專業必修課，它是數學在其他學科應用的必需基礎課程，又是數學修養的核心課程。通過高等代數的學習，可以使學生了解到代數學最基本的概念，理論和方法，培養學生基本的邏輯思維能力，除此之外，從高等代數課程本身的特點來看，在教學過程中對學生應當貫穿課程始終的還有以下幾個方面的訓練。（1）代數學基本思想的訓練。高度的抽象性和一般性是代數學的特點之一，代數學的一些重要內容，例如線性空間的概念中涉及到的集合的線性運算及其滿足的八條運算法則、等價關系等內容，可以采用類比的方法進行講授，使學生能觸類旁通，舉一反三。正是由于概括了許多具體的客觀事物的共性之后抽象出的非常一般的規律，從而使得代數的理論有著廣泛的應用。這種抽象思維的訓練，不但在數學各個方向是需要的，在其它學科及實際工作中也都是很重要的，這是提高學生整體素質的一個重要方面。從事抽象思維訓練，是代數學的特有的優點，在本課程教學中應當緊緊抓住這一點，使學生初步接受抽象代數學的基本思想，經過代數學基本思想的訓練，體現由具體事物抽象出一般概念，再從一般概念回到具體事物的這種辯證觀點和嚴格的邏輯推理方法。使學生理解如何把數學對象抽象為數學結構的思想方法，進一步掌握具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關系，培養其辯證唯物主義觀點。（2）代數學基本方法的訓練。培養學生在抽象線性空間內處理理論問題的能力，能把較具體的問題如線性方程組、矩陣領域的問題轉化為抽象線性空間和線性變換領域的問題來處理;又會把抽象領域的問題具體化（如計算線性變換特征值轉化為解代數方程），初步學習抽象代數中普遍使用的基本方法，如行列式的計算方法、線性方程組的求解方法，向量組線性相關性的判定方法、二次型化為標準形的方法等等。

（3）代數基本計算能力的訓練。高等代數的教學過程中，有許多重要的計算方法需要學生掌握，比如行列式的計算，線性方程組的求解，求矩陣的秩，求逆矩陣，求線性變換特征值與特征向量，用正交變換化實對稱矩陣成對角形等等，經過這些數學計算的訓練，提高學生的解題能力及計算能力。（4）綜合運用分析、幾何、代數方法處理問題的初步訓練。在教學中體現代數和其他學科的緊密聯系，既體現了代數理論應用的廣泛性，又能夠培養學生綜合運用所學知識解決問題的能力。

參考文獻

[1] 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].4版.北京：高等教育出版社，2013.

[2] 高等代數教學工作總結，http：//www.zongjie100.com/arts/316358/.