費馬原理在幾何光學中的應用

李立純 黃豐

【中圖分類號】? G633.6? ?? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2019）01-248-01

存在即合理，大自然就是以千姿百態、而又是合理的方式呈現在世人面前，你不得不佩服它的偉大和美麗。

作為研究光線的反射和折射的結果，1657年費馬曾得出這樣的結論：自然界總是通過最短的路徑發生作用的。即著名的最短時間原理：一束光在兩點間實際所走的路徑是所用時間最短路徑。1679年，費馬原理由后來的物理學家重新加以表述，并得到公認：光線從A點到B點的實際路徑，是光程（或所需傳播時間）為平穩的路徑。狹隘地理解平穩的含意：光程取極小值、恒定值、極大值。在許多光學系統中和許多光現象里，光線實際走的路徑其光程為極小值或恒定值更為常見。

費馬原理在光的反射應用中，反射光線沿反射角等于入射角的角度進行反射。

證明如下：在界面上任取一點O作為入射光線的入射點，光線由A點射向O點，再從O點反射到B點，以界面MN為對稱軸，畫A點的對稱點A，連接AO和AO，在ΔAOB中，AO+OB>AB，則說明O點處才是它的反射點。

費馬原理也可以推導幾何光學中的光的折射定律：光由一種介質n1的A點進入另一種介質n2中的B點，應符合折射規律：

證明如下：設A點在介質n1中，入射角為ɑ，B點在介質n2中，折射角為β，折射點O在介面MN上，在界面MN上任取一點E，作CE//OA，ED//OB，AC⊥CE，EF⊥AO，OH⊥ED，

BD⊥ED

由圖可知，CE=AF，HD=OB，

則：OF=OEsinɑEH=OEsinβ

光在介質n1中，OF段的時間t1=■=■，

光在介質n2中，EH段的時間t2=■=■

由折射定律得：■=■，即光在這兩段路徑運動的時間相等t1=t2

經過E點的光路為AE、EB，在RtΔACE中CE<AE，在RtΔEDB中ED<EB，

設光沿AEB路徑的時間tAEB，光沿AOB路徑的時間為tAOB=tCED

則tAEB>tAOB=tCED

光似乎知道以什么方式經過一種介質才是最短的時間，復雜的物理現象背后往往隱藏著最簡單的道理，只是人類很難發現罷了。大道至簡，至簡至美，作為一名老師，我們不但傳授書本知識，更是自然科學思想的傳播者，在課堂上講一百遍枯燥的知識，不如通過科學思想的介紹，讓學生領略大自然的神秘和偉大。