對2018年高考浙江卷中一道數(shù)列試題的變式探究

張少華 秦進

摘 要：針對2018年高考數(shù)學浙江卷中第20題，應用探究解析的方法，從解法、變式探究方面進行了研討，做出了6個變式，獲得了一些解法。

關鍵詞：高考數(shù)學；數(shù)列；試題；解法；變式

數(shù)列是每年高考數(shù)學必考的知識點，都會出現(xiàn)一些趣味的題目。下面對今年浙江卷一道高考數(shù)列試題進行探討。

2018年高考數(shù)學浙江卷中20題：已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項，數(shù)列bn滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1-bn）an}的前n項和為2n2+n，（1）求q的值；（2）求數(shù)列bn的通項公式。

一、 解法探索

（一） 題分析：欲求等比數(shù)列{an}的公比q，由已知a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項，得a3+a4+a5=3a4+4，可得a4=8，a3+a5=20，利用等比數(shù)列的通項公式，考慮到q>1，立即可求出公比q=2，問題得解。易知an=2n-1。（解題過程略。）

（二） 題分析：要求數(shù)列bn的通項公式，由于數(shù)列{（bn+1-bn）an}的前n項和為2n2+n，則當n≥2時，（bn+1-bn）an=2n2+n-2（n-1）2-（n-1）=4n-1。

當n=1時，（b2-b1）a1=3。因此，（bn+1-bn）an=4n-1。由（1）有an=2n-1。所以，bn+1-bn=（4n-1）2-n+1。因而求數(shù)列{bn-bn-1}的前n-1項的和，可得bn=-（4n+3）2-n+2+15。

解：設cn=（bn+1-bn）an，由于數(shù)列{（bn+1-bn）an}的前n項和為2n2+n，因此，當n≥2時，cn=2n2+n-2（n-1）2-（n-1）=4n-1。又當n=1時，c1=3。故cn=4n-1。由（1）有an=2n-1，因此，bn+1-bn=（4n-1）2-n+1，進而bn-bn-1=（4n-5）2-n+2（n≥2）。

bn-1-bn-2=（4n-9）2-n+3…b2-b1=3，以上n-1個式子兩邊分別相加，得

bn-b1=（4n-5）2-n+2+（4n-9）2-n+3+…+7·2-1+3。

又b1=1，因此，bn=-（4n+3）2-n+2+15。

二、 對試題進行變式探究

對高考數(shù)學試題進行變式探究，能夠曲徑通幽，引人入勝。這對老師培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維及學生的創(chuàng)造性學習可以起到促進作用。下面進行變式探索。

變式1 對于數(shù)列{an}，設其前n項和Sn=∑ni=1ai，求Tn=∑ni=1Si（2018年高考數(shù)學天津卷18題（1）題）。

分析：由原問題（1）有an=2n-1，從而Sn=∑ni=1ai=∑ni=12i-1=2n-1，因此，可得

Tn=∑ni=1Si=∑ni=1（2i-1）=2n+1-n-2。

變式2 設dn=an+cn，求數(shù)列{dn}的前n項和Sdn。

分析：由于dn=an+cn，而數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，故要求數(shù)列{dn}的前n項和，采取重新分組，分成等比數(shù)列、等差數(shù)列分別求和即可。

解：由（1）有an=2n-1，cn=4n-1，又dn=an+cn，則Sdn=（a1+c1）+（a2+c2）+

（a3+c3）+…+（an+cn）=（a1+a2+a3+…+an）+（c1+c2+c3+…+cn）

=（1+2+22+…+2n-1）+（3+7+11+…+（4n-1））=2n+n（2n+1）-1。

變式3 設un=cnan，求數(shù)列{un}的前n項和Sun。

分析：un=cnan，數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故可用解決原問題（2）的方法求解。

解：Sun=3·1+7·2+11·22+…+（4n-1）2n-1，

2Sun=3·2+7·22+7·23+…+（4n-1）2n。

上述兩式相減，得

-Sun=4·1+4·2+4·22+…+4·2n-1-（4n-1）2n-1，則Sun=2n（4n-5）+5。

變式4 設vn=cnan，求limn→+∞vn。

分析：由于vn=cnan=4n-12n-1是離散函數(shù)，則設連續(xù)函數(shù)f（x）=4x-12x-1，將離散問題連續(xù)化。當x→+∞時，f（x）的極限屬于∞∞型，利用洛必達法則，問題迎刃而解。

解：設f（x）=4x-12x-1，則limx→+∞f（x）=limx→+∞4x-12x-1=limx→+∞（4x-1）′（2x-1）′

=8ln2limx→+∞12x=0。因此，limn→+∞vn=0。

變式5 設數(shù)列{an}的首項a1=3，前n項和為Sn，且Sn=4an-1+5（n≥2），求其通項公式。

分析：欲求數(shù)列{an}的通項公式，已知其前n項和Sn的表達式Sn=4an-1+5，考慮用an=Sn-Sn-1來求解。

解：由于n≥2時，Sn=4an-1+5，于是當n≥3時，an=Sn-Sn-1=（4an-1+5）-（4an-2+5）

=4an-1-4an-2，從而，an-2an-1=2（an-1-2an-2），故an-2an-1=（a2-2a1）2n-2。又a1=3，S2=4a1+5=4·3+5=17，因此，a2=S2-S1=17-3=14。因此，an-2an-1=2·2n。兩邊同時除以2n，得an2n-an-12n-1=2。這樣，數(shù)列an2n為等差數(shù)列。所以，

an2n=a12+2（n-1）=32+2（n-1）=4n-12，故an=（4n-1）2n-1。

當n=1時，a1=（4·1-1）21-1=3；當n=2時，a2=（4·2-1）22-1=14。因此，當n∈N*，an=（4n-1）2n-1，這就是所求的數(shù)列{an}的通項公式。

變式6 設數(shù)列{an}的首項a1=3，an=2an-1+4n-1（n≥2），求其通項公式。

分析1：欲求數(shù)列{an}的通項公式，已知了遞推關系an=2an-1+4n-1（n≥2），可考慮將問題轉(zhuǎn)換成一個新數(shù)列，使其后一項與前一項的差為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項的乘積，從而進行求解。

解法1 因為an=2an-1+4n-1，等式兩邊同時除以2n，得an2n-an-12n-1=4n-12n。利用累加法及解原問題（2）的方法可得an=7·2n-4n-7。

分析2：構(gòu)造等比數(shù)列{an+αn+β}，利用待定系數(shù)法求解。

解：設an+αn+β=2[an-1+α（n-1）+β]，則an=2an-1+nα-2α-β。①又an=2an-1+4n-1。②由①②兩式比較系數(shù)，得

α=4-2α+β=-1，解得α=4β=7。因此，an+4n+7=7·2n，即an=7·2n-4n-7。

參考文獻：

[1]中國校長網(wǎng).2018年全國高考數(shù)學（理科）試題及參考答案Word版[DB/OL].（2018-06-22）.

[2]張少華，潘永會.對一道高考幾何題的探究[J].中學數(shù)學教學參考，2015（7）：74-76.

[3]姜旭東.高中數(shù)學教學中學生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)[J].考試周刊，2018（99）：87.

作者簡介：

張少華，秦進，貴州省遵義市，遵義師范學院，數(shù)學學院。