用幾何直觀解碼數學抽象

余鳳君

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）新增核心概念之一，關于幾何直觀及其意義，《課標》中有清晰的論述，此處不再贅言。在整個義務教育階段，《課標》對“幾何直觀”的目標設置層次也不豐富：第一學段的課程目標沒有涉及幾何直觀，第二學段的“數學思考”目標中提出了讓學生“感受幾何直觀的作用”，第三學段的“數學思考”目標中提出了讓學生“經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀”。加之畫線段圖在分析、解決數學問題上不可撼動的“霸主”地位，因而很多教師對這一概念的理解僅停留在“利用圖形描述和分析問題”上，對于它的價值所在也僅限于“把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果”。然而學習數學，解題不是最重要的，因而把握幾何直觀的價值，不僅在于“探索解決問題的思路”，更重要的是“幫助學生直觀地理解數學”。“直觀”是相對于“抽象”而言的，抽象作為人頭腦中的思維活動，往往具有隱性的特征。幾何直觀正是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生的對事物的性質或數量關系的直接感知與認識，對于數學教學來說，有學者將幾何直觀的表現形式分為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀，將以往教學中教師經常使用的直觀手段都放在幾何直觀的范疇里，其意義也就在于凸顯數學教育要靈活地運用各種幾何直觀形式形成認識事物的能力。

荷蘭數學教育家弗萊登塔爾指出：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”在數學教學中，我們常會發現，有的學生對一些概念性的知識朗朗上口，但應用起來往往漏洞百出，其原因是對于以形象思維為主的小學生而言，抽象的概念理解起來往往非常困難，如能將一些概念、定理等與幾何直觀手段相結合，就能使抽象的概念具體化、復雜的問題簡單化，學生也就容易接受了。眾所周知，周長、面積、體積是小學階段重要的幾何概念，在整個圖形與幾何的知識體系學習中意義重大。學生在一維的長度概念基礎上，學習二維的面積概念，并為后面學習三維的體積概念奠定基礎，逐漸建立空間觀念，形成對客觀世界的完整認知。下面以北師大第四版教材三年級下冊“什么是面積”的教學為例，談談幾何直觀手段在學生理解抽象的數學概念過程中產生的解碼作用。

片段一：

（1）師：我們常常用到數學書，現在請伸出手摸摸數學書的表面，再來摸摸聽算本的表面，再摸一摸你的課桌面，你有什么發現嗎？

生：他們的表面都很滑。

師：我們這節課就從研究這些物體的表面開始。關于這些表面你們還有別的發現嗎？

生：它們都是長方形的。

師：哦，你還從這些表面上發現了圖形。

生：我還發現它們的表面有的大有的小。

師：哇，真仔細。那你能說一說它們誰的表面大誰的表面小嗎？

生：桌子的表面大，數學書的表面小。數學書的表面比聽算本的表面大。

師：數學書表面的大小就是數學書表面的面積。你能像這樣也說一說什么是課桌和聽算本表面的面積嗎？

生：……

師：物體表面的大小就是他們的面積。你還能像這樣找出身邊其他物體的表面，并說一說什么是它們的面積嗎？看一看，摸一摸，和同桌說一說。

生同桌交流。

（2）師：剛才有位同學還找到了學過的圖形，老師上課前也從一些物體上拓畫了幾個圖形在黑板上，想請同學到黑板上涂色比賽。要求在規定的時間內把圖形涂滿顏色。

生：……

師：時間到，同學們有什么想法嗎？

生：左邊這個同學雖然很快，但是沒有涂滿。右邊這個同學涂得慢，但是涂滿顏色了。

師：你是什么意思呢，你能到臺上給大家解釋下嗎？

生（邊指邊說）：意思就是這里沒有封口，你就要一直涂下去，一直涂下去，邊沒有封起來就涂不滿。

師：哦，也就是說涂到這里有張開的口子我們就要一直往外涂，一直往外涂，如果這個黑板足夠大，還要往外涂。（邊說邊演示）你們同意他的觀點嗎？

生：……

師：看來像這些封口的圖形的大小我們就能確定，我們涂色就不能超出邊線了。像這樣封口的圖形我們稱為封閉圖形。那這樣不封口的圖形你們覺得叫什么圖形好？

生：……

師：封閉圖形的大小，就是它們的面積。（手勢）三角形的大小就是三角形的面積。你能和同桌說一說剩下的封閉圖形的面積嗎？

【思考】針對學生的實際情況，我將概念進行分層解讀，設計了尋找身邊物體的面這一環節，通過看一看、摸一摸、說一說來直觀感受面的存在，形成關于面的表象，構建面積的概念模型，使學生體會：面在體上，面有大小，它指的是一塊被包裹的區域。接下來，我通過涂色活動讓學生感受只有封閉圖形才能確定大小，開放圖形無法確定大小，所以“封閉圖形的大小就是它們的面積”。兩次活動將概念進行分層解讀，有效降低了學生的理解難點，借助身邊常見的直觀材料，通過看、比、涂等感知活動中把抽象的數學意義轉換成兒童易于理解和運用的具體感受、直觀形式，建立面積表象，逐步在活動中理解概念，把握概念的本質內涵，最終抽象出面積概念。

片段二：

師：下面兩個圖形你能比出它們誰的面積大，誰的面積小嗎？

生：一眼就看出來了，左邊圖形面積小，右邊圖形面積大。

師：“看”出來的，這種比較面的方法叫“觀察法”。那下面這兩個圖形你還能用觀察法比出它們的面積大小嗎？

生：可以把它們“重”起來比。（邊演示邊解釋：就是把它們一邊對齊，看看誰多出來了，就像以前比角的大小一樣。）

師：真棒！還能用學過的辦法解決今天的問題，這種方法叫“重疊法”。

師：下面還有一組圖形，你怎樣比較它們的面積？課件出示淘氣量每條邊的長度，再加起來比較。

師：你認為應該怎么比，可以在小組內討論。

生：我們小組認為淘氣這樣比較面積不對，因為他量每條邊的長度，再加起來實際上是在計算它們的周長，比的也是它們的周長，而面積是在里面包著的一片。

師：面積是里面包著的一片？什么意思？

生：我可以上來指一指嗎？（邊指邊說）就是一周的邊線圍起來的里面這一片的大小。（教師板書：周長→線，面積→面的大小）

……

【思考】結合具體的問題情境通過觀察、操作、估計和直觀推理等活動認識面積的含義，初步學會面積的比較方法。在學習面積的比較方法時，基于學生的生活經驗，通過設計直接觀察比較，再到用重疊法比較，最后前兩種方法都無法直接比較正方形，長方形的面積，產生動手實踐需求，充分應用直觀手段逐步引導學生走向思維的縱深處。周長和面積是刻劃圖形兩個重要因素，也是學生容易混淆的知識點，根據淘氣的比較方法，在小組內交流辨析，思維產生碰撞，引發學生進一步思考，依托構建的概念表征，直達抽象的概念本質。

片段三：

師：除了剛才我們找到的這些比較面積的方法，你還有別的比較方法嗎？請比較信封中兩個圖形的面積（一個正方形、一個長方形），你可以用老師提供的材料（1角硬幣、小正方形、剪刀、尺子、方格紙……），也可以自己想辦法試一試。小組選擇一種方法合作完成。

交流匯報。

生1：我們用硬幣排滿兩個圖形，發現正方形擺了16個硬幣，長方形擺了15個，所以正方形面積大。

生2：我們跟他們結果一樣，但是我們沒有用那么多硬幣。我們都用了7個。我們先橫著擺一排，再豎著擺一列。發現正方形橫著數擺4個，豎著數也是4個，角上有一個公用的。長方形橫著數3個，豎著數5個，角上一個公用的。因為長方形對邊相等，我們沿著它的長和寬擺，就能想象出要3排，每排5個，一共3個5就能擺滿。正方形也可以這樣想。

師：剛才兩組的擺法有什么相同和不同之處？

生：……

師：還有別的方法嗎？

（生先后匯報了用小正方形和方格紙）

師：對于這幾種方法你有什么發現嗎？

生1：都是看這個圖形可以擺滿多少個一樣的東西。

生2：我還有一種計算方法。我用尺子分別量出長方形的長和寬，然后乘起來。

……

【思考】通過小組活動促使學生在操作實踐中進一步豐富了對面積概念的理解，提供啟發學生思維的腳手架，小組探究中學生體會到計量面積最基本的方法，即用相同的單位直接計量，為下一步學習面積單位打基礎。尤其是一個小組出現的半鋪法是我事先沒有預想到的，但是也說明了學生的思維已經有了跳躍性，這將為后面長方形和正方形面積的計算埋下思考的種子，只要老師悉心澆灌，定會長出參天大樹。

全課反思：

本課內容是關于面積的概念學習。文本呈現的內容也比較簡單。但是數學概念教學中知道和了解只是淺層次的要求，理解才能內化成學生的學科素養。學生身邊都是實實在在的物體，對于線、面等是從來不曾單獨存在的，它們只抽象地存在于我們的想象中，小學生生活經驗不足，主體思維多以形象思維為主，對概念理解起來有一定的難度，這就需要教師充分重視利用幾何直觀去揭示看不見摸不著的東西，化難為易，化隱為顯，化繁為簡，變抽象為具體。《課標》中，幾何直觀是作為數學思考的一種方式提出的，它不只是目的，而且是手段，不是要教會學生，而是滲透直觀是解決困難問題的“利器”，其深遠的價值在于“幫助學生直觀地理解數學”，這便要求教師要具有良好的幾何直觀的課程意識，多用幾何直觀的方式深入淺出地說明數學內在道理，防止學生死記硬背。正如我國數學家張廣厚所言，“數學無疑是一門高度抽象的學科，需要人們具有高度抽象思維的能力，但是也同樣需要很強的幾何直觀能力。抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握住問題的實質”。

編輯 溫雪蓮