“出入相補原理”在小學幾何圖形中的應用

崔桃平

摘 要：在小學課堂中進行數學史的滲透與教育，是學習數學的必要內容，學生可以感受數學的內涵和底蘊。“出入相補原理”是一種重要的數學思想方法。以求平行四邊形的面積為例，對數學史融入數學課堂和“出入相補原理”在求小學幾何圖形的應用進行闡述。

關鍵詞：數學史；出入相補；圖形面積

一、將數學史融入數學課堂

1.小學數學教材中的數學史知識

《新課標》指出數學文史知識作為教材的組成部分應滲透到整套教材中，教材可以結合孩子實際進行介紹數學文化背景知識……數學發展史的有關材料……可以介紹《九章算術》、珠算、《幾何原本》、黃金分割等。教材內容設計一定要有彈性……要提供一定的閱讀材料，供學生選擇閱讀。

從課標的解讀中我們可以看出數學史在教材中的呈現越來越多，以北師大版教材為例，教材中一般都以“智慧老人”的介紹，“讀一讀”和“你知道嗎”來呈現有關數學史知識。如五年級呈現了“哥德巴赫猜想”的小知識。教材43頁以練習題的形式和“你知道嗎”的介紹形式呈現了“埃拉托斯特尼”發明的尋找質數的方法。在“多邊形的面積”單元學習時，以“智慧老人”的介紹呈現了“出入相補原理”。

2.現在小學數學課堂中數學史知識的教育情況

數學教材中已經以多種形式滲透了數學史的知識，但是在數學課堂中，教師對于數學史知識的重視是不夠的，只是輕描淡寫地提了一下或者是讓學生自己進行閱讀。學生對于數學史的知識也是認識不夠，對于數學史的興趣也不濃，不能夠體會到濃厚的數學文化底蘊。

二、“出入相補原理”概述

大約在兩千年前，我國數學名著《九章算術》中的“方田章”就論述了小學幾何圖形面積的計算方法。書中說：“方田術曰，廣從步數相乘得積步。”其中“方田”是指長方形田地，“廣”和“從”是指長和寬。也就是說：長方形的面積=長×寬。還說：“圭田術曰，半廣以乘正從。”就是說：三角形面積=底×高÷2。《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，而“出入相補原理”可以說貫穿在劉徽的整個《九章算術》中，是系統化了的一種獨特的數學方法。

所謂的“出人相補原理”就是一般所說的“割補法”，即“以盈補虛法”。是小學幾何中求平面圖形面積的重要思想方法，通過對圖形的割、補，實現轉化，分析使原問題順利獲解。

三、數學史知識的應用列舉

1.“出入相補原理”在教材中的體現

北師大版的義務教育教科書數學學科中五年級“多邊形的面積”和“組合圖形的面積”都應用了“出入相補原理”。

教材第49頁，“比較圖形的面積”這一節內容中，引導學生通過割補的方式進行比較，以智慧老人的介紹引入“出入相補原理”。

教材中寫道“像這樣的割、補后，圖形的面積沒有發生變化。這就是數學上的‘出入相補原理。”

教材《探索活動：平行四邊形的面積》中，利用“出入相補原理”將平行四邊形面積轉化成長方形面積進行計算；《探索活動：三角形的面積》中，教學中，將三角形轉化成同底等高的平行四邊形，讓學生進行嘗試，進行正遷移學習應用“出入相補原理”；《探索活動：梯形的面積》中，利用“出入相補原理”將梯形轉化成平行四邊形，面積不變，從而得到梯形的面積公式。

在探索了梯形的面積公式以后，教材組合圖形的面積可以看作是對前面知識的一個應用，本單元又讓數學知識回歸到平時的生活中來進行應用。

2.《探索活動：平行四邊形的面積》的教學過程案例：

一、從數學史入手，引入新課

1.在前面學習《比較圖形的面積》中，智慧老人給大家介紹了“出入相補原理”。

2.介紹《九章算術》及我國著名數學家劉徽：我國數學名著《九章算術》方田章主要論述平面圖形直線形和圓的面積計算方法。劉徽（生于公元250年左右），三國后期魏國人，是中國古代杰出的數學家，人們把他稱作“中國數學史上的牛頓”。

二、提出問題，探究新知

1.出示問題，求草坪的面積？

2.學生動手操作、自主探究。

那現在就請你自己利用手上的平行四邊形紙片剪一剪、拼一拼，看看能不能轉化成長方形或正方形來求面積。

三、學習新知

1.學生交流。（請學生交流自己割、補的方法）

2.教師指導。（利用課件做動態演示）

3.得出結論。平行四邊形的面積=底×高

四、鞏固練習

（1）看圖計算下面兩個平行四邊形的面積。

（2）要用幾個小平行四邊形可以拼成大平行四邊形？說一說你是怎么想的。

五、課堂小結

在本節課中，你學到了什么？

四、小結

“出入相補原理”能夠激發學生的學習興趣，從而使其感受一定的數學史內涵。在小學數學課堂教學中，加強對數學文化教學，融入數學史，可讓數學課堂更加豐富多彩。

參考文獻：

[1]馮艷青.“出人相補原理”的思想方法啟示[J].常州師專學報，2001（4）.

[2]陳曉情.“出入相補”巧導平行四邊形面積教學案例[J].赤子（上中旬），2015（1）.

[3]黃育萍.如何將數學史適當融入小學數學課堂教學[J].求知導刊，2016（4）.

編輯 段麗君