一次函數應用的教學與反思

摘 要：通過對《一次函數的實際應用》的教學過程的具體闡述以及課后的反思，優化了《一次函數的實際應用》的教學，同時也讓我對一次函數的應用有了更加深刻的理解。

關鍵詞：反思 函數 問題 模型

這節課我講的是《一次函數的實際應用》，在備課、上課的過程中讓我對一次函數的實際應用有了更深的領悟，也感覺到有些不足之處。

在本節課之前，學生已經學習了一次函數的圖象和性質.本節課根據《課標（2011年版）》（內容標準）對一次函數概念的教學要求和教材的教學意圖，以有代表性的實際問題為載體（對教材提供的載體作了優化與充實），學生將進一步研究一次函數圖象和性質，并利用其解決生活中的實際問題，學生在對函數圖象分析中，是否能夠將所學的知識與實際問題相聯系，并利用一次函數的性質解決，將是本節課的難點。基于以上分析，本節課的教學難點是：理解實際問題中一次函數的模型，并利用所學知識解決問題。

下面我先大致介紹我這一節的上課思路，《一次函數的實際應用》這堂課，不是一節新授課，更是一節通過復習回顧、設置情境、引導探究、變式練習等一系列途徑及活動方式建構的復習提升課。在本節課之前，學生已經學習了一次函數的圖象和性質.本節課，學生將進一步研究一次函數圖象和性質，并利用其解決生活中的實際問題，學生在對函數圖象分析中，是否能夠將所學的知識與實際問題相聯系，并利用一次函數的性質解決，將是本節課的難點。

本節課是以問題串的形式為主線，層層遞進。整節課分為五大塊。

首先復習一次函數的一般形式和k和b在具體問題中的意義，再到提出一次函數與一次不等式的有關問題，如一次函數y=40x+60中何時y=60、什么時候y>60、什么時候y<60，再到兩條線y1=40x+60與y2=60x中什么時候y1>y2、什么時候y1

第二塊把沒有實際意義的數學問題如復習回顧中兩條線y1=40x+60與y2=60x賦予實際意義，鼓勵學生創建數學問題的背景，比如追擊問題，工程問題，銷售量問題等等，確實有同學成功地回答出來，也開拓了全體學生的思路。

第三塊教師針對復習回顧中兩條線y1=40x+60與y2=60x賦予實際意義，提出典型的追擊問題

如：某一公路上有一肇事摩托車逃跑，執法部門迅速從A地派出警車實行追趕。警車出發時與肇事摩托車相距60公里，圖（2）是兩車相對與A地的距離y（公里）與追趕時間x（小時）之間的關系）能否在4小時內警車追上肇事摩托車？

警車能否在250公里以內追上摩托車？

這樣提出能否在規定的定時間或者限定距離追上肇事摩托車。

第四塊對上述問題進行了變式，

當警車出發時與肇事摩托車相距m公里，兩車的速度保持不變，要保證警車在4小時以內追上摩托車，則m的最大值是多少？

當警車出發時與肇事摩托車相距m公里，兩車的速度保持不變，要保證警車在250公里以內追上摩托車，則m的最大值是多少？

以不知道兩車的距離為前提，提出能否在規定的時間或者限定距離追上肇事摩托車，求出兩車初始距離的最大值這樣的兩個問題，與第三塊提出的問題有聯系，但又同時加深了難度。對于這個問題，我利用了幾何畫板的動態圖展示讓學生找到臨界點的方法，讓學生覺得淺顯易懂。

第五塊總結歸類這類問題是高起點、低增長，低起點、高增長的模型，把上述實際問題上升到建模問題了。

一些教學環節在心里琢磨了好多遍。設想時，覺得這么安排很完美，可實際上課時，問題很多，存在著很多變數，反復思考的多是：怎樣安排教學會更流暢，用什么樣的語言過渡會更自然，各環節怎樣調整才更利于學生理解，對可能出現的問題估計不足。課后的評課讓我受益匪淺，特別真誠的感謝大家尤其是龔教授和章蓓蓓校長對我的幫助很大，對我提出了很多建設性的寶貴的意見。

反思一：課堂中沒有形成群體對話關系

主要表現在學生個體比較突出，群體比較沉默，不利于學習共同體的成長。教師與學生依然是一對一的對話關系，沒有形成群體對話關系。當老師跟學生一對一對話時，有可能這個同學掌握了，還有一批同學是應激性地點頭或贊同，實際上只是對他敘述的語言表示贊同，并不表明他已經掌握了這一概念。從課堂情況來看，學生沒有生成性問題，基本上靠單干，沒有合作能夠解決的問題。

問題的解決：要有合理的課堂留白。同時，建議在運用背景分析數學和生活聯系時用詞要注意準確。學生可以用關鍵字詞的形式體現自己的思維過程，教師可以幫助歸納總結形成完整、規范的定義。

反思二：教師要了解高中教材

初中的教師要了解高中教材。函數知識是初高中教學的重點和難點，是高考試題中相關度最高的一個考點。所涉及的分類討論、數形結合、聯系與轉化等數學思想方法也能為高等數學的深入學習奠定良好的基礎。但是，基于當前各個學校師資配備的小循環特性，初高中的教學脫節現象非常嚴重，尤其是重要的函數知識學習，初高中教學的側重點差異很大。

初中的教師還可以考慮通讀上海所用的滬教版，與合肥所用的滬科版結合起來，用教材而不是簡單地教教材，這樣可以更好地促進學生和教師思維的共同生長，共同促進課堂的良好生態成長。

反思三：怎樣安排教學會更流暢

這個問題中章蓓蓓校長給我了不少啟發和幫助，從復習一次函數以及一次函數與一次不等式之間的關系如何過渡到實際問題，鼓勵學生創建數學問題的背景，比如追擊問題，工程問題，銷售量問題等等，這樣的過渡不僅僅自然，還具有創造性也同時涉及到了數學的建模思想。

反思四：教學預設不周全

問題：當警車出發時與肇事摩托車相距m公里，兩車的速度保持不變，要保證警車在4小時以內追上摩托車，則m的最大值是多少？

對于這個問題我的設想是借助幾何畫板的動態演示，有動態的圖像可知當y1=40x+m與y2=60x兩條線的交點在x=4的右邊，警車不能在4小時以內追上摩托車，而當y1=40x+m與y2=60x兩條線的交點在x=4的左邊，警車就能在4小時以內追上摩托車，這樣讓孩子們找到臨界點（4，240）。卻沒有想到有個孩子的思維更加巧妙直接用60-40=20，然后20×4=80，算出正確的結果。

反思五：問題警車能否在250公里以內追上摩托車？

這個到底是方程的思想還是不等式的思想？

這個數學問題值得探討：250公里之內追上，這是方程思想還是不等式思想？如果是恰好在250公里追上這是方程思想，如果是在250公里之內追上這就是不等式的思想，適用一元一次不等式解決問題。課后我仔細了解數學問題的延伸，這是高中數學有一個章節叫線性規劃，就是利用不等式求可行域解決實際問題。所以我們不能只想著初中教什么，還要考慮到以后高中學什么。

從整個教學環節的安排上看，自己感覺還是滿意的。在教學中想體現的學習的方法也做了適當的滲透，雖然沒有達到預期的效果，但也做了有益的嘗試，是一個讓我思考和成長的機會。

作者信息：張琴，女（1989.1—），漢族，安徽馬鞍山人，本科，中學數學老師。