永磁同步電機變指數(shù)快速冪次趨近律滑模控制

黃 燦，張遠來，李京鴻，段燕芳

(山東科技大學，青島 266590)

0 引 言

三相永磁同步電機(以下簡稱PMSM)是一個強耦合、多變量的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，具有體積小、效率高、可靠性強等優(yōu)點,在許多高精度控制場合被廣泛應(yīng)用。目前PMSM調(diào)速大都采用PI調(diào)節(jié)器進行控制，但是當電機內(nèi)部參數(shù)發(fā)生變化或者有外部擾動時，傳統(tǒng)的PI控制算法難以實現(xiàn)理想的高精度的調(diào)速要求。因此，PMSM的控制系統(tǒng)中應(yīng)用了許多效果優(yōu)異的非線性控制方法，其中包括滑模控制[1]、預(yù)測控制[2]、魯棒控制[3]、自抗擾控制[4]等。

滑模變結(jié)構(gòu)控制由于其魯棒性強、對參數(shù)變化和外部擾動不敏感等優(yōu)點，成為研究的熱點，并在電機控制系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。文獻[5]在等速趨近律中加入了系統(tǒng)狀態(tài)變量。該方法根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)距離平衡點的遠近，自適應(yīng)調(diào)整等速趨近律的趨近速度，并減小抖振。文獻[6]采用最大轉(zhuǎn)矩電流比控制分配定子d，q軸電流，選取合適的積分滑模面和切換增益，增強了系統(tǒng)的魯棒性。文獻[7]通過引入非線性冪次組合fal函數(shù)，構(gòu)造了基于跟蹤偏差的變速趨近律，使得切換增益具有隨系統(tǒng)偏差自適應(yīng)調(diào)整的特性，抑制系統(tǒng)抖振。文獻[8]提出輸出受限約束下的變指數(shù)冪次趨近律，滿足無抖振、有限時間趨近滑模面、提高收斂速度的要求。

為了提高PMSM調(diào)速系統(tǒng)的動靜態(tài)性能,本文研究了一種變指數(shù)快速冪次趨近律的方法。在變指數(shù)冪次趨近律中加入純指數(shù)項和含有e-μ|s|項的函數(shù)，使系統(tǒng)狀態(tài)在趨近滑模面時收斂速度快，在滑模面上運動時抖振小。基于本文的趨近律，設(shè)計速度控制器，選取積分滑模面函數(shù)，在PMSM矢量系統(tǒng)中，與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制、PI控制進行仿真對比，驗證變指數(shù)快速冪次趨近律速度控制器的優(yōu)越性。

1 PMSM數(shù)學模型

為了方便控制器的設(shè)計，簡化分析，所選PMSM為表貼式，建立d，q坐標系下的數(shù)學模型：

(1)

式中：ud和uq分別是定子電壓的d，q軸分量；id與iq分別是定子電流的d，q軸分量；R，Ls是d，q軸坐標下的定子電阻與定子電感；p是電機磁極對數(shù)；ψf為永磁體磁鏈；TL是負載轉(zhuǎn)矩；J是轉(zhuǎn)動慣量；ωm是轉(zhuǎn)子機械角速度；B為摩擦系數(shù)[9]。

為了得到良好的控制效果，在表貼式PMSM控制系統(tǒng)中，令id=0。對式(1)進行整理可得如下數(shù)學模型：

(2)

設(shè)計PMSM矢量控制系統(tǒng)的速度控制器，就是為了讓電機在任何工況下的實際轉(zhuǎn)速ωm能快速準確地跟蹤給定轉(zhuǎn)速ω，所以定義PMSM的狀態(tài)變量：

x=ω-ωm(3)

對式(3)進行求導并結(jié)合式(2)得：

(4)

令u=iq，b=B/J，d=3pψf/(2J)，e=dω/dt，f=(Bω+TL)/J。把ω和TL的變化量當作擾動量，對式(4)進行整理，可以得到PMSM轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(5)

式中：Δb，Δd，Δf是電機參數(shù)變化量。令η=-Δbx-Δdu+Δf，式(5)可以簡化：

(6)

2 滑模速度控制器設(shè)計

滑模速度控制器的設(shè)計需要選擇合理的滑模面和設(shè)計合適的控制律，使系統(tǒng)軌跡在控制律的作用下快速趨近滑模面并沿著滑模面運動。針對PMSM轉(zhuǎn)速控制方程式(6)進行滑模面的選取與趨近律的設(shè)計。

2.1 積分滑模面的選取

傳統(tǒng)的滑模面函數(shù)中包含速度誤差的微分分量，容易產(chǎn)生高頻噪聲，引起系統(tǒng)抖振[10]。積分滑模面函數(shù)具有平滑轉(zhuǎn)矩、減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差、削弱抖振、增強控制器穩(wěn)定性的良好品質(zhì)，所以本文針對PMSM轉(zhuǎn)速控制方程式(6)選取積分滑模面函數(shù)，進行速度滑模控制器的設(shè)計。積分項的s函數(shù)基本形式如下：

式中：k>0。

對式(7)進行求導，得到積分滑模面如下：

(8)

k值的大小影響系統(tǒng)響應(yīng)趨于穩(wěn)定的快慢。k值越大，穩(wěn)定時間越短，但是k值太大，會加大滑模的抖振。k需要根據(jù)具體情況來選擇。

2.2 變指數(shù)快速冪次趨近律的設(shè)計

系統(tǒng)狀態(tài)在到達滑模面時并不是嚴格按照所設(shè)計的運動軌跡在滑模面上運動，而是在滑模面上下穿越，從而造成抖振。研究者為克服滑模控制的這一缺點，在等速趨近律、指數(shù)趨近律、冪次趨近律、一般趨近律的基礎(chǔ)上衍生出快速趨近律、多冪次趨近律等多種趨近律[11-13]，但大多都只是采用固定指數(shù)與固定增益的方法。本文在文獻[8]的基礎(chǔ)上設(shè)計了變指數(shù)快速冪次趨近律：

(9)

式中：ε>0，q>0，α>0，0<β<1，0<λ<1。

趨近律的第一部分是變指數(shù)冪次趨近項和含有指數(shù)項e-μ|s|的函數(shù)，第二項是純指數(shù)項。

1)當系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑模面時，|s|的值較大，e-μ|s|趨近于零，h(s)趨近于1/λ，增大了變指數(shù)冪次項的增益，提高了趨近速度。在系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模面時，e-μ|s|趨近于1，h(s)趨近于1，變指數(shù)冪次趨近項的增益保持不變，保留變指數(shù)冪次趨近項的優(yōu)點。

2)當|s|≥1時，變指數(shù)快速冪次趨近律|s|的指數(shù)是|s|/α，能使系統(tǒng)狀態(tài)快速趨近滑模面，解決了傳統(tǒng)冪次趨近律趨近速度慢的問題。

3)當|s|<1時，變指數(shù)快速冪次趨近律|s|的指數(shù)是大于0小于1的常數(shù)，此時系統(tǒng)按照冪次趨近項和純指數(shù)項靠近滑模面，既減小了系統(tǒng)抖振，也增加了趨近滑模面的速度。

用經(jīng)典的系統(tǒng)對本文所設(shè)計的趨近律與冪次趨近律、指數(shù)趨近律對比分析。考慮如下被控對象：

(10)

滑模函數(shù)：

(11)

式中：c>0。

跟蹤誤差：

(12)

式中：θd是理想位置信號。則：

(13)

式中：S為趨近律。

滑模控制器：

(14)

式中：c取15，指令信號θd(t)=sint。

冪次趨近律、指數(shù)趨近律、變指數(shù)快速冪次趨近律如下：

(a) 冪次趨近律

(b) 指數(shù)趨近律

(c) 變指數(shù)快速冪次趨近律

冪次趨近律、指數(shù)趨近律、變指數(shù)快速冪次趨近律仿真參數(shù)如表1所示。

表1 三種趨近律參數(shù)

三種趨近律仿真結(jié)果如圖1～圖3所示。相比指數(shù)趨近律、冪次趨近律的控制效果，變指數(shù)快速冪次趨近律無論是在趨近速度還是抑制抖振方面都有較好的優(yōu)點，在趨近運動中收斂速度快，滑模運動中無抖振。

圖1滑模面函數(shù)s隨時間t變化曲線

圖2控制輸入u隨t變化曲線

圖3不同趨近律相軌跡趨近過程

基于變指數(shù)快速冪次趨近律的優(yōu)點，采用該趨近律式(9)、系統(tǒng)狀態(tài)方程式(6)和滑模面函數(shù)式(8)可以得到速度控制器的表達式：

(15)

3 滑模速度控制器穩(wěn)定性分析

為了分析所設(shè)計的速度控制器的穩(wěn)定性，首先定義Lyapunov函數(shù)：

(16)

對V(x)求導，則有：

4 系統(tǒng)仿真及其分析

仿真對比變指數(shù)快速冪次趨近律滑模控制、指數(shù)趨近律滑模控制和PI控制。以表貼式三相PMSM矢量控制系統(tǒng)為例，應(yīng)用MATLAB/Simulink搭建系統(tǒng)模型，PMSM的參數(shù)如下：極對數(shù)p=4，定子電阻R=2.875Ω，定子電感Ls=8.5mH，永磁體磁鏈ψf=0.175Wb，轉(zhuǎn)動慣量J=0.000 8kg·m2，阻尼系數(shù)B=0.001N·m·s。基于變指數(shù)快速冪次趨近律速度控制器的PMSM調(diào)速系統(tǒng)框圖如圖4所示，其中Nr為實際電機轉(zhuǎn)速，Nref為給定電機轉(zhuǎn)速。

圖4基于變指數(shù)快速冪次趨近律速度控制器的PMSM調(diào)速系統(tǒng)框圖

上述三種控制方法的電流控制器均采用PI控制器，并且參數(shù)相同。仿真總時間為0.3s。仿真步驟如下：初始給定轉(zhuǎn)速200r/min，電機起動時負載轉(zhuǎn)矩為2N·m；在0.1s時，給定電機轉(zhuǎn)速600r/min；在0.2s時，電機負載由2N·m變?yōu)?N·m。

本文所設(shè)計的趨近律控制方法參數(shù)如下：k=2，εc=200，qc=200，α=18，β=0.5，λ=0.5；指數(shù)趨近律控制參數(shù)如下：c=55，εb=200，qb=300；PI控制器中比例增益kp=0.05,積分增益ki=0.25。

轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖5所示。從圖5(a)可知，當電機以給定速度起動時，PI控制有超調(diào)，并且響應(yīng)一段時間才能恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速；指數(shù)趨近律控制雖然無超調(diào)，但趨近速度慢；變指數(shù)快速冪次趨近律趨近速度快，無超調(diào)。從圖5(b)可知，變指數(shù)快速冪次趨近律雖然都有一定量的超調(diào)，但是比PI控制、指數(shù)趨近律控制小得多。

(a) 0～0.1 s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

(b) 0.1～0.2 s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖5給定速度變化時轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

負載轉(zhuǎn)矩變化時轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖6(a)所示，圖6(b)是0.25～0.29s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線放大圖。從圖6可知，變指數(shù)快速冪次趨近律控制時受擾動量小，在速度穩(wěn)定時抖振小。

(a) 0.2～0.3 s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

(b) 0.25～0.29 s轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖6負載變化時轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

為了更好地比較仿真結(jié)果，以速度響應(yīng)無超調(diào)、響應(yīng)時間更短為評價標準，從轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線得到速度響應(yīng)評價表，如表2所示。表2中的數(shù)據(jù)進一步說明了變指數(shù)快速冪次趨近律控制響應(yīng)速度快，魯棒性強。

表2 速度響應(yīng)評價表

5 結(jié) 語

針對傳統(tǒng)趨近律趨近速度慢，滑模變結(jié)構(gòu)中固有抖振影響轉(zhuǎn)速系統(tǒng)性能的問題，設(shè)計了變指數(shù)快速冪次趨近律的控制方法。在變指數(shù)冪次趨近律的基礎(chǔ)上加入純指數(shù)項和含有e-μ|s|的函數(shù)，使系統(tǒng)狀態(tài)在遠離滑模面時趨近速度快，在滑模面運動時抖振小。基于變指數(shù)快速冪次趨近律，設(shè)計了積分滑模速度控制器，用Lyapunov函數(shù)證明了控制器的穩(wěn)定性。在PMSM矢量控制系統(tǒng)中，該控制器與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器和PI控制器進行了仿真對比。結(jié)果表明，變指數(shù)快速冪次趨近律速度控制器在跟蹤速度、抑制抖振和消除外部負載擾動的影響等方面有較好的動靜態(tài)表現(xiàn)，具有較強的魯棒性和自適應(yīng)性。