待定系數法在圓錐曲線標準方程中的應用

王瑞華

一、待定系數法的定義及其理論依據

將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新形式，這樣就得到一個恒等式，然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫作待定系數法。更廣泛地說，是要確定變量間的函數關系，設出某些未知數，然后根據所給條件確定這些未知數，使問題得到解決的方法。其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)≡g(x)的充要條件：對于一個任意的a值，都有f(a)=g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。

二、待定系數法的應用步驟

利用待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程，使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決。要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。使用待定系數法解題的一般步驟可歸納為以下三點。

1.確定所求問題含待定系數的解析式；

2.根據恒等條件，列出一個(組)含待定系數的方程；

3.解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決。

如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析：利用對應系數相等列方程；由恒等的概念用數值代入法列方程；利用定義本身的屬性列方程；利用幾何條件列方程。

三、待定系數法在圓錐曲線標準方程中的應用

橢圓與雙曲線的標準方程推導方法相同，得出方程形式類似，所以它們的解法也就有很多共同點，比如：已知曲線的軌跡是橢圓或雙曲線時，求標準方程時都可用待定系數法，若焦點位置確定，直接設標準方程來求解；但若焦點位置不確定，直接設標準方程來求解需要討論兩種情況，有可能會導致漏解或過程繁瑣，運算量增大。這就要加強對題目條件合理的使用，對方程進行適當的“改造”，達到避繁就簡，事半功倍的效果。

解：設橢圓的半焦距為c，則橢圓的離心率為。可得到關系式，即 得，c=2，根 據a2=b2+c2，得b=2，故標準方程為。設等軸雙曲線的標準方程為，由于等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，則有m=2。

評注：要用待定系數法求解解析式，首先要知道函數解析式的形式，然后用字母表示出解析式，然后根據題目中給出的已知條件解出未知數，最后寫出解析式。

解：可設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m ＞0，n ＞0，m≠n)，將兩點帶入，得解得，n=1。故標準方程為

評注：當橢圓的焦點在x軸上時，標準方程為，焦點在y軸上時，標準方程為。從形式上看分別是x2和y2前的系數，所以可以將標準方程統一改造成mx2+ny2=1，當m ＞n ＞0時，橢圓的焦點在y軸上；當n ＞m ＞0時，橢圓的焦點在x軸上，從而避免了討論。

待定系數法實際就是將待定的未知數與已知數建立等式關系，從而列出方程或方程組，解方程或方程組即可得待定的未知數，只需根據題目給出的條件解題即可。用待定系數法解題，思路較為清晰，操作比較方便，在很多解題過程中都可以用到。但是在解題過程中，待定系數法并不是最為簡單、合適的方法。因此解題時要根據具體的題目，選擇簡單又適合的方法。