基于兩個相關(guān)資產(chǎn)的亞式期權(quán)定價研究

賈念念 謝嘉欣

摘要：本文研究具有浮動敲定價格的亞式期權(quán)，應(yīng)用物理概率測度和公平保費(fèi)原理的理論，求出亞式期權(quán)的期權(quán)定價公式。假設(shè)房價波動遵循非齊次泊松跳躍擴(kuò)散過程，期權(quán)敲定價格滿足公式，得到亞式期權(quán)的定價公式及亞式看漲期權(quán)的平價公式。

關(guān)鍵詞：亞式期權(quán)定價 公平保費(fèi) 非齊次泊松跳躍擴(kuò)散

一、問題介紹

近幾十年來，金融衍生市場發(fā)展迅速，期權(quán)作為一種金融衍生產(chǎn)品，其定價模型依賴于原生資產(chǎn)價格的演化模型。隨著市場需求復(fù)雜程度的提高，金融機(jī)構(gòu)推出交易方式、交易價格更靈便的新型期權(quán)。本文研究的是新型期權(quán)中的一種強(qiáng)路徑依賴期權(quán)，即亞式期權(quán)的定價問題。亞式期權(quán)已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于金融市場中，但是其定價問題仍然沒有得到很好的解決，主要原因是其需滿足市場無套利及市場的完備性。如果市場存在套利機(jī)會或者不完備，那么亞式期權(quán)無法用傳統(tǒng)的Black-Scholes公式進(jìn)行定價。1998年Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg第一次提出期權(quán)的精算定價方法，在沒有以上市場假設(shè)的前提下，給出了精確的歐式期權(quán)定價公式，證明了房價波動滿足幾何布朗運(yùn)動，同時求出精算定價和Black-Scholes定價。然而由于他們沒有假設(shè)市場無套利，所以其公式被廣泛的應(yīng)用于完備的市場，而對于無套利的不完備市場仍不可適用。

亞式期權(quán)是一種新型期權(quán)，由標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)衍生而來，按執(zhí)行價格類型可分為固定執(zhí)行價格和浮動執(zhí)行價格。本文只解決具有浮動執(zhí)行價格的亞式期權(quán)定價問題，引入精算思想，假設(shè)房屋波動價格滿足非齊次的泊松跳躍擴(kuò)散過程，兩資產(chǎn)的浮動價格遵循一個過程相關(guān)模型，得出亞式看漲期權(quán)表達(dá)式及其平價公式。

二、精算定價模型

由精算定價滿足公平保費(fèi)原則，多方期權(quán)、期權(quán)有效期內(nèi)的短期收益將承擔(dān)一些潛在風(fēng)險(xiǎn)，這些風(fēng)險(xiǎn)除了保險(xiǎn)費(fèi)外，還有期權(quán)的附加費(fèi)用，我們將期權(quán)定價問題轉(zhuǎn)換為期權(quán)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)測度大小問題。考慮到連續(xù)時間內(nèi)金融市場只有兩個資產(chǎn)：一個是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即在t時刻的無風(fēng)險(xiǎn)利率;另一個是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即在t時刻的資產(chǎn)價格，考慮到在上，是定義在完備概率空間上的一個隨機(jī)過程，其中，是一個大于零的常量，在此引入精算定價的期權(quán)的概念。

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價價格和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價格滿足：

和為負(fù)常數(shù)，為收益率，為房價的波動率，為完備概率空間下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

定義1.1：假設(shè)是關(guān)于時間t的實(shí)值函數(shù)，即在t時刻的瞬時收益，則房價的期望值為

定義1.2：，分別表示到期日的看漲看跌期權(quán)價格，敲定價格K，在t=0時期權(quán)價格為：

和是A和B的指示函數(shù)，看漲-看跌期權(quán)在到期日可以實(shí)施當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件：

注：①定義1.2缺少金融市場對期權(quán)定價的先決條件，因此在無套利的平衡市場或是存在套利機(jī)會的不平衡市場都是有效的，然而在由預(yù)期貼現(xiàn)率計(jì)算潛在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)貼現(xiàn)到無風(fēng)險(xiǎn)利率的時候仍存在風(fēng)險(xiǎn)。

②與傳統(tǒng)實(shí)施條件不同的是，精算模型的實(shí)施條件為。

③表示由實(shí)際概率分布得到的期權(quán)價格。

三、亞式期權(quán)模型

在金融市場中，房價波動分為兩個部分：其一為普通的價格波動，由個人無意識的交易引起，對市場影響較小;其二為不尋常的價格波動，由于一些重要政策、信息的發(fā)布使得房價忽高忽低，這樣的變化沒有理論可以遵循，因此這樣變化的房價滿足非齊次泊松跳躍擴(kuò)散過程，該模型在1976年由Merton提出。

具有浮動執(zhí)行價格的亞式期權(quán)其最終收益依賴于某一時間段內(nèi)隨機(jī)波動的平均價格，但它的穩(wěn)定性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過房價本身，并沒有出現(xiàn)波動異常，其過程由隨機(jī)過程的價格變化來描述。由于浮動執(zhí)行價格變化的過程滿足過程，所以綜上本章中亞式期權(quán)下的兩個相關(guān)資產(chǎn)模型服從非齊次泊松跳躍擴(kuò)散模型，浮動敲定價格滿足公式。

考慮到連續(xù)時間內(nèi)的金融市場已經(jīng)成熟，在完備的概率空間下，無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，房價和具有浮動敲定價格的亞式看漲期權(quán)分別滿足以下微分方程：

是定義在概率空間上的二維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，且，，由時間確定函數(shù)可得出在此特定環(huán)境下隨機(jī)微分方程的解。表示在上的跳躍次數(shù)，是非齊次泊松過程中的獨(dú)立參數(shù)。表示分布隨機(jī)變量，表示跳躍高度，和、相互獨(dú)立且，滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

，表示的方差。是的無條件

期望，由泊松跳躍過程在房價中逐漸增長。

定理2.1隨機(jī)微分方程（3）、（4）的解為：（證明見[3]）

定理2.2，，，對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，，有以下結(jié)論：（證明見[4]）：

推論2.3表示房價中亞式期權(quán)的價格，表示波動區(qū)間內(nèi)（3）、（4）的各自行使價格，亞式期權(quán)價格及平價公式分別為：

其中，

注：①當(dāng)趨于0時，房價不再跳躍，推論2.3是房價波動時的價格公式。

②當(dāng)連續(xù)時，服從均勻泊松跳躍過程。

③對于支付紅利的亞式期權(quán)同樣適用于以上公式，消去紅利的貼現(xiàn)值即為當(dāng)前房產(chǎn)價格。

四、結(jié)語

本文參考了[1]中的亞式期權(quán)保險(xiǎn)精算定價模型，證明了房價的波動遵循幾何布朗運(yùn)動及一致連續(xù)的Black-Scholes公式。對于相應(yīng)市場的亞式期權(quán)定價，假設(shè)房價遵循非齊次泊松跳躍擴(kuò)散過程，浮動敲定價格滿足公式，得到兩種相關(guān)資產(chǎn)的亞式期權(quán)定價公式及平價公式。

參考文獻(xiàn)：

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