基于兩個相關(guān)資產(chǎn)的亞式期權(quán)定價研究

賈念念 謝嘉欣

摘要：本文研究具有浮動敲定價格的亞式期權(quán)，應用物理概率測度和公平保費原理的理論，求出亞式期權(quán)的期權(quán)定價公式。假設(shè)房價波動遵循非齊次泊松跳躍擴散過程，期權(quán)敲定價格滿足公式，得到亞式期權(quán)的定價公式及亞式看漲期權(quán)的平價公式。

關(guān)鍵詞：亞式期權(quán)定價 公平保費 非齊次泊松跳躍擴散

一、問題介紹

近幾十年來，金融衍生市場發(fā)展迅速，期權(quán)作為一種金融衍生產(chǎn)品，其定價模型依賴于原生資產(chǎn)價格的演化模型。隨著市場需求復雜程度的提高，金融機構(gòu)推出交易方式、交易價格更靈便的新型期權(quán)。本文研究的是新型期權(quán)中的一種強路徑依賴期權(quán)，即亞式期權(quán)的定價問題。亞式期權(quán)已經(jīng)被廣泛的應用于金融市場中，但是其定價問題仍然沒有得到很好的解決，主要原因是其需滿足市場無套利及市場的完備性。如果市場存在套利機會或者不完備，那么亞式期權(quán)無法用傳統(tǒng)的Black-Scholes公式進行定價。1998年Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg第一次提出期權(quán)的精算定價方法，在沒有以上市場假設(shè)的前提下，給出了精確的歐式期權(quán)定價公式，證明了房價波動滿足幾何布朗運動，同時求出精算定價和Black-Scholes定價。然而由于他們沒有假設(shè)市場無套利，所以其公式被廣泛的應用于完備的市場，而對于無套利的不完備市場仍不可適用。

亞式期權(quán)是一種新型期權(quán)，由標準期權(quán)衍生而來，按執(zhí)行價格類型可分為固定執(zhí)行價格和浮動執(zhí)行價格。本文只解決具有浮動執(zhí)行價格的亞式期權(quán)定價問題，引入精算思想，假設(shè)房屋波動價格滿足非齊次的泊松跳躍擴散過程，兩資產(chǎn)的浮動價格遵循一個過程相關(guān)模型，得出亞式看漲期權(quán)表達式及其平價公式。

二、精算定價模型

由精算定價滿足公平保費原則，多方期權(quán)、期權(quán)有效期內(nèi)的短期收益將承擔一些潛在風險，這些風險除了保險費外，還有期權(quán)的附加費用，我們將期權(quán)定價問題轉(zhuǎn)換為期權(quán)承擔的風險測度大小問題。考慮到連續(xù)時間內(nèi)金融市場只有兩個資產(chǎn)：一個是無風險資產(chǎn)，即在t時刻的無風險利率;另一個是風險資產(chǎn)，即在t時刻的資產(chǎn)價格，考慮到在上，是定義在完備概率空間上的一個隨機過程，其中，是一個大于零的常量，在此引入精算定價的期權(quán)的概念。

假設(shè)風險資產(chǎn)價價格和無風險資產(chǎn)價格滿足：

和為負常數(shù)，為收益率，為房價的波動率，為完備概率空間下的標準布朗運動。

定義1.1：假設(shè)是關(guān)于時間t的實值函數(shù)，即在t時刻的瞬時收益，則房價的期望值為

定義1.2：，分別表示到期日的看漲看跌期權(quán)價格，敲定價格K，在t=0時期權(quán)價格為：

和是A和B的指示函數(shù)，看漲-看跌期權(quán)在到期日可以實施當且僅當滿足條件：

注：①定義1.2缺少金融市場對期權(quán)定價的先決條件，因此在無套利的平衡市場或是存在套利機會的不平衡市場都是有效的，然而在由預期貼現(xiàn)率計算潛在風險資產(chǎn)、無風險資產(chǎn)貼現(xiàn)到無風險利率的時候仍存在風險。

②與傳統(tǒng)實施條件不同的是，精算模型的實施條件為。

③表示由實際概率分布得到的期權(quán)價格。

三、亞式期權(quán)模型

在金融市場中，房價波動分為兩個部分：其一為普通的價格波動，由個人無意識的交易引起，對市場影響較小;其二為不尋常的價格波動，由于一些重要政策、信息的發(fā)布使得房價忽高忽低，這樣的變化沒有理論可以遵循，因此這樣變化的房價滿足非齊次泊松跳躍擴散過程，該模型在1976年由Merton提出。

具有浮動執(zhí)行價格的亞式期權(quán)其最終收益依賴于某一時間段內(nèi)隨機波動的平均價格，但它的穩(wěn)定性遠遠超過房價本身，并沒有出現(xiàn)波動異常，其過程由隨機過程的價格變化來描述。由于浮動執(zhí)行價格變化的過程滿足過程，所以綜上本章中亞式期權(quán)下的兩個相關(guān)資產(chǎn)模型服從非齊次泊松跳躍擴散模型，浮動敲定價格滿足公式。

考慮到連續(xù)時間內(nèi)的金融市場已經(jīng)成熟，在完備的概率空間下，無風險利率為常數(shù)，房價和具有浮動敲定價格的亞式看漲期權(quán)分別滿足以下微分方程：

是定義在概率空間上的二維標準布朗運動，且，，由時間確定函數(shù)可得出在此特定環(huán)境下隨機微分方程的解。表示在上的跳躍次數(shù)，是非齊次泊松過程中的獨立參數(shù)。表示分布隨機變量，表示跳躍高度，和、相互獨立且，滿足標準正態(tài)分布

，表示的方差。是的無條件

期望，由泊松跳躍過程在房價中逐漸增長。

定理2.1隨機微分方程（3）、（4）的解為：（證明見[3]）

定理2.2，，，對于任意實數(shù)a，b，c，d，，有以下結(jié)論：（證明見[4]）：

推論2.3表示房價中亞式期權(quán)的價格，表示波動區(qū)間內(nèi)（3）、（4）的各自行使價格，亞式期權(quán)價格及平價公式分別為：

其中，

注：①當趨于0時，房價不再跳躍，推論2.3是房價波動時的價格公式。

②當連續(xù)時，服從均勻泊松跳躍過程。

③對于支付紅利的亞式期權(quán)同樣適用于以上公式，消去紅利的貼現(xiàn)值即為當前房產(chǎn)價格。

四、結(jié)語

本文參考了[1]中的亞式期權(quán)保險精算定價模型，證明了房價的波動遵循幾何布朗運動及一致連續(xù)的Black-Scholes公式。對于相應市場的亞式期權(quán)定價，假設(shè)房價遵循非齊次泊松跳躍擴散過程，浮動敲定價格滿足公式，得到兩種相關(guān)資產(chǎn)的亞式期權(quán)定價公式及平價公式。

參考文獻：

[1]Bladt M，Rydberg T H. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions[J]. Insurance：Mathematics and Economics. 1998.22（1）：65-73.

[2]Merton M.C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J]. Journal of Financial Economics，1976（3），125-144.

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