基于兩個(gè)相關(guān)資產(chǎn)的亞式期權(quán)定價(jià)研究

賈念念 謝嘉欣

摘要：本文研究具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式期權(quán)，應(yīng)用物理概率測(cè)度和公平保費(fèi)原理的理論，求出亞式期權(quán)的期權(quán)定價(jià)公式。假設(shè)房?jī)r(jià)波動(dòng)遵循非齊次泊松跳躍擴(kuò)散過(guò)程，期權(quán)敲定價(jià)格滿足公式，得到亞式期權(quán)的定價(jià)公式及亞式看漲期權(quán)的平價(jià)公式。

關(guān)鍵詞：亞式期權(quán)定價(jià) 公平保費(fèi) 非齊次泊松跳躍擴(kuò)散

一、問(wèn)題介紹

近幾十年來(lái)，金融衍生市場(chǎng)發(fā)展迅速，期權(quán)作為一種金融衍生產(chǎn)品，其定價(jià)模型依賴于原生資產(chǎn)價(jià)格的演化模型。隨著市場(chǎng)需求復(fù)雜程度的提高，金融機(jī)構(gòu)推出交易方式、交易價(jià)格更靈便的新型期權(quán)。本文研究的是新型期權(quán)中的一種強(qiáng)路徑依賴期權(quán)，即亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。亞式期權(quán)已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于金融市場(chǎng)中，但是其定價(jià)問(wèn)題仍然沒(méi)有得到很好的解決，主要原因是其需滿足市場(chǎng)無(wú)套利及市場(chǎng)的完備性。如果市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)或者不完備，那么亞式期權(quán)無(wú)法用傳統(tǒng)的Black-Scholes公式進(jìn)行定價(jià)。1998年Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg第一次提出期權(quán)的精算定價(jià)方法，在沒(méi)有以上市場(chǎng)假設(shè)的前提下，給出了精確的歐式期權(quán)定價(jià)公式，證明了房?jī)r(jià)波動(dòng)滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)，同時(shí)求出精算定價(jià)和Black-Scholes定價(jià)。然而由于他們沒(méi)有假設(shè)市場(chǎng)無(wú)套利，所以其公式被廣泛的應(yīng)用于完備的市場(chǎng)，而對(duì)于無(wú)套利的不完備市場(chǎng)仍不可適用。

亞式期權(quán)是一種新型期權(quán)，由標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)衍生而來(lái)，按執(zhí)行價(jià)格類型可分為固定執(zhí)行價(jià)格和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格。本文只解決具有浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，引入精算思想，假設(shè)房屋波動(dòng)價(jià)格滿足非齊次的泊松跳躍擴(kuò)散過(guò)程，兩資產(chǎn)的浮動(dòng)價(jià)格遵循一個(gè)過(guò)程相關(guān)模型，得出亞式看漲期權(quán)表達(dá)式及其平價(jià)公式。

二、精算定價(jià)模型

由精算定價(jià)滿足公平保費(fèi)原則，多方期權(quán)、期權(quán)有效期內(nèi)的短期收益將承擔(dān)一些潛在風(fēng)險(xiǎn)，這些風(fēng)險(xiǎn)除了保險(xiǎn)費(fèi)外，還有期權(quán)的附加費(fèi)用，我們將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為期權(quán)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度大小問(wèn)題。考慮到連續(xù)時(shí)間內(nèi)金融市場(chǎng)只有兩個(gè)資產(chǎn)：一個(gè)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即在t時(shí)刻的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;另一個(gè)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即在t時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格，考慮到在上，是定義在完備概率空間上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其中，是一個(gè)大于零的常量，在此引入精算定價(jià)的期權(quán)的概念。

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)價(jià)格和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足：

和為負(fù)常數(shù)，為收益率，為房?jī)r(jià)的波動(dòng)率，為完備概率空間下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

定義1.1：假設(shè)是關(guān)于時(shí)間t的實(shí)值函數(shù)，即在t時(shí)刻的瞬時(shí)收益，則房?jī)r(jià)的期望值為

定義1.2：，分別表示到期日的看漲看跌期權(quán)價(jià)格，敲定價(jià)格K，在t=0時(shí)期權(quán)價(jià)格為：

和是A和B的指示函數(shù)，看漲-看跌期權(quán)在到期日可以實(shí)施當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件：

注：①定義1.2缺少金融市場(chǎng)對(duì)期權(quán)定價(jià)的先決條件，因此在無(wú)套利的平衡市場(chǎng)或是存在套利機(jī)會(huì)的不平衡市場(chǎng)都是有效的，然而在由預(yù)期貼現(xiàn)率計(jì)算潛在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)貼現(xiàn)到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的時(shí)候仍存在風(fēng)險(xiǎn)。

②與傳統(tǒng)實(shí)施條件不同的是，精算模型的實(shí)施條件為。

③表示由實(shí)際概率分布得到的期權(quán)價(jià)格。

三、亞式期權(quán)模型

在金融市場(chǎng)中，房?jī)r(jià)波動(dòng)分為兩個(gè)部分：其一為普通的價(jià)格波動(dòng)，由個(gè)人無(wú)意識(shí)的交易引起，對(duì)市場(chǎng)影響較小;其二為不尋常的價(jià)格波動(dòng)，由于一些重要政策、信息的發(fā)布使得房?jī)r(jià)忽高忽低，這樣的變化沒(méi)有理論可以遵循，因此這樣變化的房?jī)r(jià)滿足非齊次泊松跳躍擴(kuò)散過(guò)程，該模型在1976年由Merton提出。

具有浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的亞式期權(quán)其最終收益依賴于某一時(shí)間段內(nèi)隨機(jī)波動(dòng)的平均價(jià)格，但它的穩(wěn)定性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)房?jī)r(jià)本身，并沒(méi)有出現(xiàn)波動(dòng)異常，其過(guò)程由隨機(jī)過(guò)程的價(jià)格變化來(lái)描述。由于浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格變化的過(guò)程滿足過(guò)程，所以綜上本章中亞式期權(quán)下的兩個(gè)相關(guān)資產(chǎn)模型服從非齊次泊松跳躍擴(kuò)散模型，浮動(dòng)敲定價(jià)格滿足公式。

考慮到連續(xù)時(shí)間內(nèi)的金融市場(chǎng)已經(jīng)成熟，在完備的概率空間下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，房?jī)r(jià)和具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式看漲期權(quán)分別滿足以下微分方程：

是定義在概率空間上的二維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且，，由時(shí)間確定函數(shù)可得出在此特定環(huán)境下隨機(jī)微分方程的解。表示在上的跳躍次數(shù)，是非齊次泊松過(guò)程中的獨(dú)立參數(shù)。表示分布隨機(jī)變量，表示跳躍高度，和、相互獨(dú)立且，滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

，表示的方差。是的無(wú)條件

期望，由泊松跳躍過(guò)程在房?jī)r(jià)中逐漸增長(zhǎng)。

定理2.1隨機(jī)微分方程（3）、（4）的解為：（證明見(jiàn)[3]）

定理2.2，，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，，有以下結(jié)論：（證明見(jiàn)[4]）：

推論2.3表示房?jī)r(jià)中亞式期權(quán)的價(jià)格，表示波動(dòng)區(qū)間內(nèi)（3）、（4）的各自行使價(jià)格，亞式期權(quán)價(jià)格及平價(jià)公式分別為：

其中，

注：①當(dāng)趨于0時(shí)，房?jī)r(jià)不再跳躍，推論2.3是房?jī)r(jià)波動(dòng)時(shí)的價(jià)格公式。

②當(dāng)連續(xù)時(shí)，服從均勻泊松跳躍過(guò)程。

③對(duì)于支付紅利的亞式期權(quán)同樣適用于以上公式，消去紅利的貼現(xiàn)值即為當(dāng)前房產(chǎn)價(jià)格。

四、結(jié)語(yǔ)

本文參考了[1]中的亞式期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)模型，證明了房?jī)r(jià)的波動(dòng)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)及一致連續(xù)的Black-Scholes公式。對(duì)于相應(yīng)市場(chǎng)的亞式期權(quán)定價(jià)，假設(shè)房?jī)r(jià)遵循非齊次泊松跳躍擴(kuò)散過(guò)程，浮動(dòng)敲定價(jià)格滿足公式，得到兩種相關(guān)資產(chǎn)的亞式期權(quán)定價(jià)公式及平價(jià)公式。

參考文獻(xiàn)：

[1]Bladt M，Rydberg T H. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions[J]. Insurance：Mathematics and Economics. 1998.22（1）：65-73.

[2]Merton M.C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J]. Journal of Financial Economics，1976（3），125-144.

[3]Knut K，Aase. Contingent claims valuation when the security price is combination of an Ito process and a random point process[J]. Stochastic process andt heir Applications，1988.28（2）：185-220.

[4]A.Dravid，m. Richardon，and T.sun. Pricing Foreign Index Contingent Claims：An Application to Nikkei Index Warrants[J]. The Journal of Derivatives，F(xiàn)all 1993，pp. 33-51.

[5]John. Hull，options futures and derivatives[M]. Zhang Tao wei，translated. Beijing：Huaxia publishing

house 1997：424-426.

[6]Jiang Li，option pricing in mathematical models and methods[M]Beijing：higher education press，2003：74-89.

[7]Yan Hai feng，Liu Sanyang，stock option pricing model with Poisson jump[J]Journal of engineering mathematics，2003（5）：35-4.