等間隔灰色GM(1,1r)模型病態性再研究

摘要：在文獻的基礎上，繼續研究等間隔灰色模型病態性問題，結合文獻[9]的思想，結合反向累積法、向量的數乘變換和旋轉變換從系數矩陣條件數和模型預測精度兩方面來改善灰色模型的病態性。實例表明對原始序列在反向累積法下做數乘變換和旋轉變換可以更有效地降低模型參數矩陣的條件數，使其達到良態，且模型精度也比傳統模型要高。本方法為其他灰色模型的病態性研究提供了一種參考。

關鍵詞：灰色模型 反向累積法 數乘變換 旋轉變換

灰色模型的病態性問題主要是由累加法和最小二乘法數乘法產生，初期主要采用數乘變換和仿射變換來解決病態性問題，該方法可從減小模型參數矩陣條件數方面來改善模型的病態性，但對模型的預測精度沒有改變。后期，累積法和反向累計法（一種曲線擬合技術）被引入到GM模型的參數估計中，較好的改善了模型的病態性。近期，向量的數乘和旋轉變換被用于解決離散GM模型的病態性問題，通過齊次指數序列的實例驗證，得出較好的結論。

灰色模型是含有時滯項目的模型，對陡變數據建模效果非常好，但有時候也會存在精度波動較大的病態性問題，目前關于該模型病態性的改善方法主要是通過對原始數乘變換和反向累積法來修正，雖能對病態性有一定程度改善，但模型系數矩陣仍存在輕微病態性。目前對這一具體模型病態性的研究較少，本文基于文獻和的思想，結合反向累積法、向量的數乘變換和旋轉變換從系數矩陣條件數和模型預測精度兩方面來改善灰色模型的病態性，得出結論：（1）對原始序列數乘變換后進行反向累積法一般可使得矩陣條件數小于10;（2）若（1）中矩陣條件數大于10，再通過旋轉變換可進一步降低參數矩陣條件數，使其變為良態。

一、模型的定義與矩陣條件數

（一）定義

定義1令為原始序列，，則稱 （1）

為模型的定義型。其中表示系統的延遲時間，為具有時間變化灰輸入的次數。顯然，當時模型即為經典模型[10]，故規定;因此模型為模型的進一步推廣。模型的參數列記為，可表示為如下：

其中

（二）矩陣條件數

定義2在線性方程組中，設，為非奇異矩陣，為定義在上的矩陣，稱

為關于范數的條件數。

若矩陣的條件數大，則稱對于求解的線性方程組而言是病態的，反之為良態。實踐中一般認為：若，則矩陣為良態;若，則矩陣為輕度病態;若，則矩陣為中等程度或較強病態;若，則矩陣為嚴重的病態;為分析便利，本文采用最常見的譜條件數，即為譜范數，即

當為實對稱矩陣時，有

其中和分別為矩陣的模最大和最小特征根。

二、數乘變換下反向累積法建模機理

根據反向累積法和數乘變換，此處給出數乘變換下基于反向累積法模型的參數如下：

對反向累積法模型的原始序列進行數乘變換得到變換后序列，即可知，

其中由可得

基于反向累積法和數乘變換的等間隔模型的一級參數包矩陣計算公式如下

其中。

定理2.1[1]當時，

數乘變換序列的模型的參數矩陣條件數達到最小，且條件數最小值為

（7）

三、向量旋轉變換的建模機理

若為非零向量，模型的參數矩陣文獻指出，矩陣的條件數由列向量和長度比值和夾角確定。當且僅當向量和的夾角，數乘變換才可將矩陣降為良態矩陣。若夾角不屬于上述范圍，可以借助向量的旋轉變換來將矩陣降為良態。

引理3.1[9]已知為非零向量，矩陣，，，為向量和的夾角，則有：

1）當向量夾角時，即且，

取常數，則，矩陣的列向量與的長度相等，夾角。為良態矩陣，條件數，其中。

2）當向量夾角時，即且，

取常數，則，矩陣的列向量與的長度相等，夾角，為良態矩陣，條件數，其中。

四、模型病態性的處理步驟

（1）通過數乘變換數乘變換和反向累積法建立模型，其中若參數矩陣的條件數小于10，則為良態，由（6）計算出參數，為簡化計算，取模型中的參數，回代模型可以得出解。如果條件數大于10，那么可以繼續第（2）步，對變換后的進行旋轉變換。

（2）通過旋轉變換可得系數矩陣，其

中常數，的條件數小于10，為良態矩陣

由（6）計算出參數，取模型中的參數，回代模型可以得出解。

五、實例分析

選取文獻[7]中的數據進行模擬比較，即某省SO2排放量的時間序列為原始數據進行建模分析。

采用文獻[8]中的反向累積法建立為模型一，采用數乘變換下的反向累積法建立為模型二，采用數乘變換和旋轉變換下的反向累積法建立為模型三，取模型中的參數，最終得出三種模型的時間響應序列如下

三種模型條件數及精度比較見表1所示

從表1可知，模型二和模型三的參數矩陣的條件數有所降低。針對本案例，雖在精度上三個模型沒變化，但通過數乘變換和旋轉變換下的反向累積法建立的模型三的效果最好，將矩陣直接降到了良態，根據模型病態性理論，此方法有效地改善了模型的病態性。

六、結論

運用數乘變換、旋轉變換和反向累積法研究模型的病態性問題，發現病態性與序列夾角有關，運用反向累積法和數乘變換下的反向累積法均可在一定程度上降低參數矩陣條件數，若有需要，同時使用反向累積法、數乘變換、旋轉變換效果會更好。

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