迷人的特殊素數

謝鳴

最近，一位來自美國佛羅里達州的業余數學愛好者，發現了人類已知的最大素數2^82589933-1;該數有24862048位，如果用普通字號將它打印下來，其長度將超過100公里！有關專家認為，這是數學領域的一項重大突破。

眾所周知，數學的起點是自然數，自然數的基礎是素數（prime numbers）。素數又稱質數或不可約數，是指在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，無法被其他自然數整除的數;換句話說，就是該數除了1和它本身以外不再有其他約數的數。比1大但不是素數的數稱為合數，1和0既非素數也非合數，而合數是由若干個素數相乘而得到的。

2300多年前，古希臘數學家歐幾里得已證明素數有無窮多個，如2、3、5、7、11、13等等。由于素數具有許多獨特性質，它一直吸引著眾多的數學家和無數的業余數學愛好者;人們對它的認識和研究有一個過程，是逐步深化的。在數學中，有幾種特殊素數十分迷人。

梅森素數

形如2^P-1（即2的P次方減1，其中指數P為素數）的數，稱為梅森數。它是以17世紀法國數學家梅森（M. Mersenne）之名命名的;如果梅森數是素數，就稱為梅森素數，如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。

梅森在歐幾里得、費馬等人有關研究的基礎上，對2^P-1z做了大量的計算和驗證，并于1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：在不大于257的素數中，當P=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時，2^P-1是素數，其他都是合數。前面的7個數（即2、3、5、7、13、17、19）已被前人所證實，而后面的4個數（即31、67、127、257）則是梅森自己的推斷。當時有人相信梅森的斷言（也稱“梅森猜想”）是正確的，但后來人們才知道他的斷言其實包含著若干錯漏。

在手算筆錄年代，人們歷盡無數艱辛，一共只找到12個梅森素數。而電子計算機的出現，尤其是網格計算時代的到來，大大加快了梅森素數探究的步伐。至今人們已找到51個梅森素數，其中最新最大的是2^82589933-1;該數也是人類已知的最大素數。目前全球有近70萬人參與一個名為“互聯網梅森素數大搜索”的國際合作項目，動用了超過185萬核中央處理器，聯網來尋找新的梅森素數。

在梅森素數的基礎研究方面，法國數學家盧卡斯（F. Lucas）和美國數學家雷默（D. Lehmer）都作出了重要貢獻;以他們命名的“盧卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森數素性的最佳方法。另外，中國數學家及語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式;這一研究成果被國際上譽為“周氏猜測”，并受到了很高的評價。

17世紀法國數學家梅森

費馬素數

形如2^（2^N）+1（其中指數N為非負整數）的數稱為費馬數，它是以17世紀法國數學家費馬（P. Fermat）之名命名的;如果費馬數是素數，就稱為費馬素數，如2^（2^0）+1=3、2^（2^1）+1=5、2^（2^2）+1=17、2^（2^3）+1=257等。

費馬于1640年提出一個猜想：2^（2^N）+1的數一定為素數，但他并沒有給出一個完全的證明。1732年，瑞士數學家及物理學家歐拉（L. Euler）在研究這個問題時發現，2^（2^5）+1=641×6700417不是素數;這意味著它是一個合數，因此費馬猜想是錯誤的。以后人們又陸續找到了不少反例，如2^（2^6）+1=274177×67280421310721、2^（2^7）+1=59649589127497217×5704689200685129054721等。迄今為止，費馬素數除了被費馬本人所證實的那5個外，竟然沒有再發現一個！

目前，許多數學難題的研究都是利用計算機的高速運算功能來進行的，但即使如此，所得結果也很有限。例如，目前只知道5個費馬數是素數，并發現226個費馬數是合數，但這對于無限個費馬數來說，可以說知之甚少。

順帶一提，費馬小定理是現代素數判定方法的基礎，如果該定理的逆命題成立的話，那么判別素數就變得很容易了。不幸的是，費馬小定理的逆定理并不成立，使之不成立的合數稱為偽素數，可見偽素數在數學的研究中占有重要地位。

實際上，千百年來，人們一直在尋找這樣一個能求出所有素數的公式。但直到現在，誰也未能找到這樣一個公式，而且誰也未能找到證據，說這樣的公式就一定不存在。雖然費馬猜想失敗了，但有意思的是，1801年德國數學家及物理學家高斯（J. Gauss）卻證明了參照費馬素數，可以用直尺和圓規將圓周等分;他本人就據此作出了正十七邊形。

孿生素數

孿生素數也稱為雙生素數，是指一對素數，它們之間相差2，如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。目前已知的一對最大孿生素數為2996863034895×2^1290000±1;它有388342位數，是在2016年9月發現的。

在手算筆錄年代，人們歷盡無數艱辛，一共只找到12個梅森素數。

費馬素數除了被費馬本人所證實的那5個外，竟然沒有再發現一個！

歐幾里得是最早注意到孿生素數這種有趣現象的人，他曾大膽猜想：存在無窮多對孿生素數。這一猜想被稱為“孿生素數猜想”。

法國數學家波利尼亞克（A. Polignac）在1849年提出了更一般的猜想（即“波利尼亞克猜想”）：對所有正整數K，存在無窮多個素數對（P，P+2K）。K等于1時就是孿生素數猜想，而K等于其他正整數時就稱為弱孿生素數猜想（即孿生素數猜想的弱化版）。因此，也有數學家把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。

英國數學家哈代（G. Hardy）和李特爾伍德（J. Littlewood）在1921年提出一個與波利尼亞克猜想類似的猜想，現在通稱為“哈代-李特爾伍德猜想”或“強孿生素數猜想”（即孿生素數猜想的強化版）。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。由于孿生素數的分布極不均勻，并且隨著數的增大變得越來越稀疏，研究孿生素數分布模式的難度也就非常之大。

值得一提的是，在孿生素數的基礎研究方面，美籍華人數學家張益唐取得了重大突破;他在2013年證明：存在無窮多個之差小于7000萬的素數對。雖然7000萬貌似一個非常大的數字，但不管數字多大，有限范圍的存在意味著，相連素數之差并不是一直增長的;而且，從2到7000萬的跨越，與7000萬到無窮大的跨越不可同日而語。

回文素數

回文素數（palindromic primes）是指既是素數又是回文數的整數，如十進制中的11、101、131、151等。除了最小的回文素數11，偶數位的數不存在回文素數。人們已知：兩位回文素數1個，三位回文素數15個，五位回文素數93個，七位回文素數668個，九位回文素數5172個。目前已知最大的回文素數有320237位數，是在2014年3月發現的。

需要指出的是，回文素數與記數系統的進位制有關。目前，人們還不知道在十進制中是否有無窮多個回文素數;在二進制中，回文素數包括梅森素數和費馬素數。

這些特殊素數有的具備實用價值（如梅森素數），有的還看不到任何實用價值（如孿生素數）。不管怎樣，它們都是著名的數學難題。探究這些難題，揭開其奧秘，正是人們長久以來的科學追求。正如德國數學家希爾伯特（D. Hilbert）所言：“我們必須知道，我們必將知道?！?/p>