相信學生 讓學生的生成超越老師的預設

摘 要：新課程理念比以往任何時候都更強調學生的主體地位，只有相信學生、給學生不斷創造機會讓他們“動”起來，才能使所學的知識“活起來”；教師只有學會“放手”學生才能學會“自己走路”并讓他們真正感受到學習的樂趣和動力。

關鍵詞：課堂教學；兩圓方程；相信學生

教師應認真備課，精心預設，但更應相信我們的學生他們有這個能力，他們的生成可以超越我們的預設，形成別樣的教學風景線。在最近一年的教學中我經歷了多次“出我意料”，體驗了學生生成的能力。

一、 我的經歷

在練習冊《優化設計》必修二第77頁關于圓系方程的結論：若圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，則兩圓的方程相減就得到兩圓公共弦所在的直線方程即（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0。

老師問：你們能用哪些方法證明這個結論？

學生1：可以聯立兩圓方程，求出交點坐標，再用兩點式即可求得；但這樣計算量比較大。

老師：這是一種常規方法，可行。但卻較繁瑣。有沒有其他同學有更好的方法？

大家都投入到思考中，教室一片寂靜。過了二、三分鐘，學生2舉了手。

學生2：其實不用這么麻煩，聯立兩圓方程后，我們可通過加減消元法得到（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0很明顯，我們會聯立一個圓的方程與直線方程，即x2+y2+D1x+E1y+F1=0（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0，而這兩點很顯然會滿足這條直線方程，另一方面兩點確定一條直線。所以這就說明直線（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0就是所求。

老師：很好！他從存在性與唯一性兩個方面來證明了這個結論，確實是一種較好的方法！（掌聲四起！）

學生3：但我覺得這有問題。

老師：為什么？

學生3：因為只要兩圓的方程不完全相同，不管這兩圓是相離、相切還是相交，兩圓方程相減就會得到一條直線方程，那怎么解釋這條直線？另如果只給兩圓的一般方程，這兩圓的位置關系也不好判斷，雖然這個結論有說這兩圓相交。

老師：很好！考慮得很周到！當然，這個結論是針對具體的圓的方程而言的，在這種情況下，兩圓的位置關系就好定了！大家鼓勵鼓勵！（掌聲四起！）

我本想就此結束，進行應用訓練，這時學生4有了疑問；

學生4：順著學生3的想法，我們能不能來證明這條直線方程與這兩圓之間有何聯系呢？

我心中一驚，雖然也有幾次想起要來證明，但從來沒有去深究過這個問題；怎么辦？是就此打住，還是繼續？我在心中思量著，由以往幾次的經歷及我對自己學生的理解和把握，決定相信學生，嘗試一下，說不定又會有意想不到的收獲。

老師：這位同學質疑得非常好；老師我也一直都沒有去思考過這個問題，但我相信這個問題值得去研究研究，也相信你們能解決它！

學生4：應該從分類討論的角度來入手，首先考慮相切的情況，這時這條直線會不會是兩圓的公切線。

老師：怎么證？

學生4：只需驗證兩圓心到直線的距離都等于對應的半徑即可，圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0到直線（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0的距離可表示為d1=（D1-D2）-D12+（E1-E2）-E12+F1-F2（D1-D2）2+（E1-E2）2，而圓C1的半徑為r1=D21+E21-4F12，做到這里，學生面露難色，要證明d1=r1有難度。

學生5：可以再進行分類，考慮外切與內切，這樣就可以增加條件，如外切時就可有條件D21+E21-4F1+D22+E22-4F2=（D1-D2）2+（E1-E2）2，學生往下算后發現計算量很大，也行不通。

這時，忽然學生6高興地叫起來：“我想到啦！”并高高地舉著手！同學們有的質疑，有的趕緊問：“你是怎么做的？”而有的仍在思考中。

老師：興奮地說：“你來說說看。”

學生6：我們應該從前面的解答中找到更好的解題思路；前面我們證明當兩圓相交時，兩圓方程相減就得到它們公共弦方程時，我們就沒有去硬算，因為我們發現計算量實在是大；因而我們應從另一個角度來思考這個問題，我們利用前面同學2的證明方法可知，不管兩圓是相交還是相切，它們的交點或切點一定在直線（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0上。

學生6還沒說完，很多同學就質問到：“為什么？”當我聽到學生6的回答后，我也茅塞頓開，恍然大悟，心中一片激動！但我沒有急于表達我的想法，只是安撫其他同學先靜下來聽同學來分析，并示意學生6繼續。

學生6：前面同學2已證明了相交的情況，我就不再解釋，我只說明相切的情況，如果兩圓相切，那么這兩個圓就只有一個交點，也就說明方程組x2+y2+D1x+E1y+F1=0（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0 只有一組解，顯然這組解所對應的點在直線（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0上；直線與圓只有一個交點就說明這條直線與這個圓是相切的；同理也可說明直線與另一個圓也相切！

同學們報以熱烈的掌聲，臉上都蕩漾著成功的喜悅，并高聲說：“小子，真不愧是數學才子！”我也對學生們投向贊許的眼光并鼓勵：“我相信你們是最棒的！你們是一定會超越我的，畢竟我只考取了師大，而你們中的許多人都可以考取名校！加油吧！小年輕們！”

正當大家沉浸在興奮與喜悅中時，同學7淡淡地問了一句：“那當兩圓相離時，為什么還是有這條直線？這條直線與兩圓的位置關系是怎樣的？”大家的心境立即來了個大轉彎，又重新投入到新的戰斗中！我對這個問題也沒有認真研究過，于是，我又把問題拋還給同學們：“這位同學提得非常好，的確兩圓的位置關系有三大類，還有相離這種情況我們還沒研究；為什么相離也還有這條直線？它與兩圓的位置關系又如何呢？挖掘你們的智慧與潛力吧！”大家都陷入了思考中……（停頓了幾分鐘）

有幾個學生舉手示意他（她）們想到了，于是我點名提問了一個平常較內向的女生。

學生8：靦腆地說：“其實這個問題在前面也已經證明了，因為當兩圓相離時，聯立兩圓方程所得的方程組無解也就是方程組x2+y2+D1x+E1y+F1=0（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0無解，這就說明直線與圓C1是相離的，同理可證明直線與圓C2也是相離的。”（稍微停頓了一下，我以為她回答完了她想到的。）

老師：大家對這位同學的回答表示贊揚！（掌聲熱烈）其實每個同學都有自己的獨到之處，很多時候只要我們敢于去表達我們自己的想法，你就會發現其實我們和其他老師常表揚的學生一樣優秀！平常較少發言的同學們，大膽嘗試吧！你會發現當你敢于發言后你的世界變得更精彩！學生8示意她還想發言。

學生8：其實我發現這條直線不管它與這兩圓的位置關系如何，這條直線與兩圓的圓心連線互相垂直。

老師：是嗎？依據呢？（同學們中一部分也在疑問，一部分則很快就點頭肯定了她的回答）

學生8：因為兩圓的圓心坐標分別為C1-D12，-E12、C2-D22，-E22，所以這兩點連線的斜率為KC1C2=-E12--E22-D12--D22=E2-E1D2-D1；而直線（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0的斜率為Kl=-D2-D1E2-E1，所以KC1C2·Kl=-1即KC1C2⊥Kl；當然還得考慮當有一條直線的斜率不存在的情況結論仍然成立。不過，為了避免分類討論，我們也可以求出直線C1C2的方程，C1C2：y--E22-E12--E22=x--D22-D12--D22（E2-E1）x-（D2-D1）y+D1E2-D2E12=0顯然它與直線（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0是垂直的。

老師：很好，考慮得很全面，確實我們在學習數學的過程中，考慮問題一定要仔細與全面，尤其是對一些極端與特殊情況不能忘記。

二、 幾點感悟與提升

（一） 教師要努力營造出使學生敢于提問與質疑的氛圍

教育學家布魯巴克說：“最精湛的教學藝術遵循的最高準則是讓學生自己提出問題。”提出問題是探究性學習的最佳表現與創新的開始。所以，作為教師首先要在班級中培育出積極健康提問風氣，只有這樣才能為學生問問題的意識的成長提供土壤、陽光與水分；進而讓其生根發芽、開花結果。

（二） 教師的教學以“問題”為中心或載體是較好的一種教學方法

只要有了問題，學生就才有了思考的方向、討論的載體與展示的機會；課堂也就自然“活”起來了。當然這種問題，不一定要是教師設計或提出的，學生提出的在很多時候或許會打破教師的預設，但也有可能會讓我們大家都進入到教學或學習的另一種境界。

（三） 課堂教學是有藝術的，課堂教學質量的高低就取決于課堂教學激勵的藝術

精彩的課堂生成其實就是靈活應用好各種教學激勵手段的過程；教學激勵是否有效要看兩個方面：一是是否有良好的師生關系；二是要看方法或手段的使用是否適當。

參考文獻：

[1]陳祿勝.數學課堂教學激趣術[J].數學通訊，2014（8）下半月5-7.

[2]董入興.意外探究，別樣生成，不一樣的精彩——“直線兩點式議程”的教學[J].中學數學教學參考，2014（3）上旬13-15.

作者簡介：

林志坤，福建省龍巖市，福建省長汀一中。